Teorema de noether

El teorema de Noether (formulado en 1918 por Emmy Noether ) vincula cantidades físicas elementales como carga , energía y momento con propiedades geométricas , a saber, la invariancia (inmutabilidad) del efecto bajo transformaciones de simetría :

Una cantidad de conservación pertenece a toda simetría continua de un sistema físico .

Una simetría es una transformación (por ejemplo, una rotación o un desplazamiento) que no cambia el comportamiento del sistema físico. Lo contrario también es cierto:

Toda cantidad conservada es generadora de un grupo de simetría.

Una cantidad de conservación de un sistema de partículas es función del tiempo , las ubicaciones y las velocidades de las partículas, cuyo valor no cambia en ninguna de las órbitas que atraviesan en el tiempo . Entonces, la energía de una partícula de masa no relativista que se mueve en potencial es una cantidad conservada. Esto significa que para cada camino que satisface la ecuación de movimiento , se aplica lo siguiente en todo momento : ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle x (t)}$${\ Displaystyle E (t, x, v) = {\ tfrac {1} {2}} \, m \, v ^ {2} + V (x)}$${\ Displaystyle m}$ ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle x (t)}$${\ displaystyle m {\ tfrac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ mathrm {grad} \, V (x) = 0}$${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle E {\ bigl (} t, x (t), {\ tfrac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} (t) {\ bigr)} = E {\ bigl ( } 0, x (0), {\ tfrac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} (0) {\ bigr)}}$.

Ejemplos de simetrías y cantidades de conservación asociadas

• De la homogeneidad del tiempo (seleccione Start Time no importa) sigue la conservación de energía ( conservación de energía ). La energía de un péndulo permanece igual si se descuida la fricción, pero no la energía de un columpio en el que un niño cambia la longitud desde la suspensión hasta el centro de gravedad levantando y bajando su cuerpo.
• De la homogeneidad del espacio (la elección del punto de partida no importa) resulta la conservación del momento ( ley de conservación del momento ). El impulso de una partícula libre es constante, pero no el impulso de una partícula en el campo gravitacional del sol; su ubicación es esencial para el movimiento de la partícula. Debido a que la masa de una partícula libre no cambia a una velocidad uniforme en movimiento, cuando se mira a un observador que se mueve uniformemente, la ubicación inicial ponderada es una cantidad conservada . Generalizado a varias partículas, se deduce que el centro de gravedad se mueve a una velocidad uniforme cuando desaparece la fuerza total.${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle S (t, x, v) = m \, (xt \, v)}$${\ Displaystyle S (t, x (t), v (t)) = m \, x (0)}$
• La isotropía del espacio, es decir, la invariancia rotacional (la dirección en el espacio no importa), da como resultado la conservación del momento angular ( ley de conservación del momento angular ). De esta manera, se retiene el momento angular de una partícula en el campo gravitacional del sol, porque el potencial gravitacional es el mismo en todas las direcciones.${\ Displaystyle -G \, m \, M {\ tfrac {1} {r}}}$

Las simetrías que pertenecen a la conservación de la carga eléctrica y otras cargas de las partículas elementales se refieren a las funciones de onda de los electrones , quarks y neutrinos . Cada una de estas cargas es un escalar invariante de Lorentz , es decir, tiene el mismo valor en todos los marcos de referencia , a diferencia de, por ejemplo, el momento angular, la energía o el momento.

Formulación matemática

efecto

La relación entre simetrías y cantidades de conservación formuladas en el teorema de Noether se aplica a sistemas físicos cuyas ecuaciones de movimiento o campo pueden derivarse de un principio de variación . Aquí se requiere que el llamado efecto funcional asuma un valor extremo (ver también principio del efecto más pequeño ).

Al mover puntos de masa, este efecto es funcional a través de una función lagrangiana de tiempo , lugar y velocidad.${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ dot {x}} = {\ tfrac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (t, x (t), {\ dot {x}} (t))}$

caracteriza y asigna el tiempo integral a cada trayectoria diferenciable${\ Displaystyle x \ colon t \ mapsto x (t)}$

${\ Displaystyle S [x] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \ left (t, x (t), {\ dot {x}} (t ) \ derecha) \, \ mathrm {d} t}$

para. Por ejemplo, en la física newtoniana, la función lagrangiana de una partícula en potencial es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial : ${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle T = {\ frac {m} {2}} v ^ {2}}$${\ Displaystyle V = \ Phi q}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) = {\ frac {1} {2}} \, m \, {\ dot {x }} ^ {2} (t) -V (x (t))}$

El camino realmente atravesado físicamente, que pasa por el punto de inicio en el inicio y por el punto final al final , hace que el valor del efecto sea estacionario (o extremo ) en comparación con todos los demás caminos (diferenciables) que pasan por el mismo inicio. o punto final . El camino realmente atravesado físicamente cumple, por lo tanto, la ecuación de movimiento. ${\ Displaystyle t_ {1}}$${\ Displaystyle x_ {1} = x (t_ {1})}$${\ Displaystyle t_ {2}}$${\ Displaystyle x_ {2} = x (t_ {2})}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ dot {x}}}} {\ mathcal {L}} = { \ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ mathcal {L}}}$

(Para la derivación, consulte el cálculo de variaciones ). Esto corresponde precisamente a la ecuación de movimiento de Newton.

${\ Displaystyle m {\ ddot {x}} = - {\ frac {\ parcial V} {\ parcial x}} (x)}$.

Las ecuaciones diferenciales que pueden derivarse de una acción funcional a través de la variación se denominan autoadjuntos variacionalmente. Todas las ecuaciones elementales de campo y movimiento en física son autoadjuntas variacionalmente.

simetría

Se dice que una ecuación diferencial tiene simetría si hay una transformación del espacio de las curvas que mapea las soluciones de las ecuaciones diferenciales a las soluciones. Esta transformación se obtiene para ecuaciones diferenciales autoadjuntas variacionalmente si la transformación deja la acción invariante funcional excepto para los términos de frontera. El teorema de Noether establece que la invariancia del efecto funcional en comparación con un grupo de transformación continua de un parámetro da como resultado la existencia de una cantidad conservada y que, a la inversa, toda cantidad conservada da como resultado la existencia de una simetría (al menos infinitesimal) de la efecto.

Nos limitamos aquí a las simetrías de la mecánica clásica .

Es un grupo de transformaciones diferenciables de un parámetro (suficientemente diferenciables) curvas en el mapeo de curvas , y pertenecen al valor del parámetro de la imagen idéntica . ${\ Displaystyle \ Phi _ {s}}$${\ Displaystyle \ Gamma \ colon t \ mapsto x (t)}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {s} \ colon t \ mapsto x (s, t, \ Gamma)}$${\ Displaystyle s = 0}$${\ Displaystyle \ Phi _ {0} \ Gamma \ colon t \ mapsto x (t)}$

Por ejemplo, con cada curva se asigna a la curva por la que se pasó anteriormente. La transformación con desplaza cada curva en una constante . ${\ Displaystyle \ Phi _ {s} \ Gamma = \ Gamma _ {s}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {s} \ colon t \ mapsto x (t + s)}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle \ Phi _ {s} \ Gamma = \ Gamma _ {s}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {s} \ colon t \ mapsto x (t) + s \, c}$${\ Displaystyle s \, c}$

Las transformaciones se llaman locales si la derivada está en el mapeo idéntico, la transformación infinitesimal ${\ Displaystyle \ Phi _ {s}}$

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial s}} _ {| _ {s = 0}} x (s, t, \ Gamma) \,}$

vamos a escribir para todas las curvas en función del tiempo, lugar y velocidad , evaluadas en la curva , ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ delta x (t, x, v)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle \ delta x \ left (t, x (t), {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) = {\ frac {\ parcial} {\ parcial s}} _ {| _ {s = 0}} x (s, t, \ Gamma)}$.

Por ejemplo, los cambios en el tiempo y el lugar son locales y pertenecen a la transformación infinitesimal o a . ${\ Displaystyle \ delta x = v}$${\ Displaystyle \ delta x = c}$

Ahora sé el lagrangiano del sistema mecánico. Entonces, las transformaciones locales se denominan simetrías de efecto si el Lagrangiano para todas las curvas cambia solo por la derivada en el tiempo de una función , evaluada para transformaciones infinitesimales : ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (t, x, v)}$${\ Displaystyle \ Phi _ {s}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle K (t, x)}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial s}} _ {| _ {s = 0}} {\ mathcal {L}} \ left (t, x (s, t), {\ frac {\ parcial x} {\ parcial t}} (s, t) \ derecha) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} K \ izquierda (t, x (t), {\ frac {\ parcial x} {\ parcial t}} (t) \ derecha)}$

Porque entonces el efecto solo cambia por términos de frontera

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} S [\ Gamma _ {s}] _ {| _ {s = 0}} & = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathrm {d} t \, {\ frac {\ partial} {\ partial s}} _ {| _ {s = 0}} {\ mathcal { L}} \ izquierda (t, x (s, t), {\ frac {\ parcial x} {\ parcial t}} (s, t) \ derecha) \\ & = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathrm {d} t \, {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} K \ left (t, x (t) \ right) = K \ izquierda (t_ {2}, x (t_ {2}) \ derecha) -K \ izquierda (t_ {1}, x (t_ {1}) \ derecha) \ end {alineado}}}$.

La conexión entre esta definición de la simetría del efecto y la cantidad conservada se vuelve clara cuando se siguen las derivadas parciales del Lagrangiano , utilizando la definición de la transformación infinitesimal como abreviatura. ${\ Displaystyle s}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial} {\ parcial s}} _ {| _ {s = 0}} {\ mathcal {L}} (t, x (s, t), { \ frac {\ parciales x} {\ parciales t}} (s, t)) & = {\ frac {\ parciales x (s, t)} {\ parciales s}} _ {| _ {s = 0}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ mathcal {L}} (t, x, v) + {\ frac {\ parcial ^ {2} x (s, t)} {\ parcial s \ parcial t}} _ {| _ {s = 0}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial v}} {\ mathcal {L}} (t, x, v) \\ & = \ delta x {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ mathcal {L}} (t, x, v) + {\ frac {\ mathrm {d} \ delta x} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial v}} {\ mathcal {L}} (t, x, v) \ end {alineado}}}$

Si suma un múltiplo de la ecuación de movimiento al primer término y resta la suma del segundo término, el resultado es

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial s}} _ {| _ {s = 0}} {\ mathcal {L}} \ left (t, x (s, t), {\ frac {\ parcial x} {\ parcial t}} (s, t) \ derecha) = \ delta x \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ mathcal {L}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial v}} {\ mathcal {L}} \ derecha) + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ izquierda (\ delta x {\ frac {\ parcial} {\ parcial v}} {\ mathcal {L}} \ derecha)}$

y la ecuación de definición de una simetría infinitesimal de un efecto es

${\ Displaystyle \ delta x \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ mathcal {L}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} { \ frac {\ parcial} {\ parcial v}} {\ mathcal {L}} \ right) + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (\ delta x {\ frac {\ parcial} {\ parcial v}} {\ mathcal {L}} - K \ derecha) = 0}$.

Pero dado que el factor de las ecuaciones de movimiento desaparece en las trayectorias atravesadas físicamente, esta ecuación dice que la función ${\ Displaystyle \ delta x}$

${\ estilo de visualización Q = \ delta x {\ frac {\ parcial} {\ parcial v}} {\ mathcal {L}} - K}$,

la carga noether asociada con la simetría no cambia en los caminos atravesados ​​físicamente:

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} Q \ left (t, x _ {\ mathrm {phys}} (t), {\ frac {\ mathrm {d} x_ {\ mathrm {phys}} (t)} {\ mathrm {d} t}} \ right) = 0}$

Por el contrario, cada cantidad conservada es, por definición, una función cuya derivada temporal desaparece en las trayectorias físicas, es decir, es un múltiplo (de derivadas) de las ecuaciones de movimiento. Este múltiplo define la simetría infinitesimal . ${\ Displaystyle Q (t, x, v)}$${\ Displaystyle \ delta x}$

Observaciones

• Las simetrías de las ecuaciones de movimiento no siempre son simetrías de efecto. Por ejemplo, el estiramiento es una simetría de la ecuación de movimiento de la partícula libre, pero no una simetría de su efecto con la función lagrangiana . No hay cantidad conservada asociada con tal simetría de las ecuaciones de movimiento.${\ Displaystyle x (t) \ mapsto \ mathrm {e} ^ {s} x (t)}$${\ Displaystyle m {\ ddot {x}} = 0}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ tfrac {1} {2}} \, m \, v ^ {2}}$
• La cantidad de conservación perteneciente a una simetría en función del tiempo, lugar y velocidad desaparece precisamente cuando se trata de una simetría de calibración . En tal caso, las ecuaciones de movimiento no son independientes, pero una ecuación de movimiento cuenta como consecuencia de las demás. Esto es lo que dice el segundo teorema de noether.
• El teorema de noether para movimientos de traslación y rotación
  • Movimientos de traslación : el teorema de Noether explica por qué se obtiene la ley de conservación de la energía al multiplicar las ecuaciones de movimiento de Newton por las velocidades de un potencial independiente del tiempo : la velocidad es el cambio infinitesimal de posición con un cambio de tiempo.
  • Movimientos de rotación : El teorema de Noether también explica por qué el producto de las ecuaciones de movimiento con el producto cruzado conduce a la conservación del momento angular en la dirección de rotación potencial invariante : El producto cruzado es el cambio infinitesimal de al girar alrededor del eje . La ecuación de la turbina de Euler se aplica a la conservación del momento angular a la interpretación de máquinas rotativas (turbinas).${\ Displaystyle {\ vec {n}} \ times {\ vec {x}}}$${\ Displaystyle {\ vec {n}}}$${\ Displaystyle {\ vec {n}} \ times {\ vec {x}}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ vec {n}}}$
• El lagrangiano es estrictamente invariante en el caso de cambios y rotaciones de la ubicación, es decir, la función desaparece. Sin embargo, esto no se aplica a los cambios de tiempo ni a la transformación a un sistema de referencia en movimiento uniforme . El efecto es invariante bajo los cambios de tiempo si el Lagrangiano solo depende de la ubicación y la velocidad , pero no del tiempo. Luego, el Lagrangiano cambia con cambios de tiempo para . La cantidad de conservación asociada es, por definición, la energía${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} K}$${\ Displaystyle K = {\ mathcal {L}}}$

${\ Displaystyle E = v {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial v}} - {\ mathcal {L}}}$.

Si se sabe cómo la energía depende de la velocidad, esta ecuación define la función lagrangiana a excepción de una proporción que es lineal en las velocidades y no contribuye a la energía. Si descompone la función lagrangiana, por ejemplo, en partes que son homogéneas en términos de velocidad, entonces contribuyen a la energía. Así es , entonces es el Lagrangiano ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {n} v ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle v {\ tfrac {\ parcial} {\ parcial v}} {\ mathcal {L}} _ {n} v ^ {n} - {\ mathcal {L}} _ {n} v ^ {n} = (n-1) {\ mathcal {L}} _ {n} v ^ {n}}$${\ Displaystyle \ textstyle E = \ sum _ {n} E_ {n} (x) v ^ {n} \,}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ sum _ {n} {\ frac {1} {n-1}} E_ {n} v ^ {n}}$.

En particular, para la física newtoniana, la energía de la energía cinética es cuadrática en velocidad y la energía potencial independiente de la velocidad . Por tanto, el Lagrangiano es multiplicado por la energía cinética más multiplicado por la energía potencial. En física relativista se aplica en sistemas de medición con una partícula de masa libre para el Lagrangiano y energía : ${\ Displaystyle n = 2}$${\ Displaystyle n = 0}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2-1}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {0-1}}}$${\ Displaystyle c = 1}$${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = - m {\ sqrt {1-v ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle E = {\ frac {m} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}}}$

Evidencia individual

1. ↑ Eugene J. Saletan y Alan H. Cromer: Mecánica teórica . John Wiley & Sons, 1971, ISBN 0-471-74986-9 , págs. 83-86 (inglés). 

literatura

• E. Noether: invariantes de expresiones diferenciales arbitrarias. En: Dios. Nachr. 1918, págs. 37-44. Resumen en Zentralblatt MATH.
• E. Noether: Problemas de variación invariable . En: Dios. Nachr. 1918, págs. 235-257. Resumen en Zentralblatt MATH.