Norma máxima

La norma máxima , norma máxima o norma de Chebyshev es una norma especial para funciones o para vectores o matrices . Es un caso especial de la norma suprema .

definición

Sea un espacio compacto y el conjunto de todas las funciones continuas de valor real o complejo . Entonces la función se llama a través de ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C (B)}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ max} \ colon C (B) \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {\ max}: = \ max _ {t \ in B} | f (t) |}$

se define, norma máxima. La función también se denomina y cumple las tres propiedades características de un estándar . La norma máxima está bien definida sobre la base del principio de mínimo y máximo , que asegura la existencia del máximo. ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$

caracteristicas

• El conjunto de funciones continuas en un conjunto compacto es un espacio completo normalizado con la máxima norma .${\ Displaystyle C (B)}$

• Junto con el producto , el espacio normalizado es un álgebra de Banach conmutativa .${\ Displaystyle (fg) (x): = f (x) g (x)}$${\ Displaystyle (C (B), \ | \ cdot \ |)}$

Casos especiales

Un caso especial importante es la norma máxima para vectores . Si elige y equipa el conjunto con la topología discreta , entonces hay un espacio compacto y cada función real o de valor complejo es continua . Así, los corresponde espaciales a la espacio vectorial dimensional y la norma máxima en vectores es un caso especial de la norma máximo para funciones continuas en conjuntos compactos. Si uno ve una matriz como un vector im correspondientemente largo , también es posible definir la norma máxima en matrices. ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle B = \ {1, \ ldots, n \}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C (\ {1, \ ldots, n \})}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m \ cdot n}}$

Como norma vectorial

Para un vector uno llama ${\ Displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ max}: = \ max (| x_ {1} |, \ ldots, | x_ {n} |)}$

la norma máxima de . La norma máxima también puede verse como un caso límite de las normas p . Si dejamos que se acerque al infinito, obtenemos la norma máxima de la norma p . Por esta razón, la norma máxima para los vectores también se conoce como la norma (norma de infinito). ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ | x \ | _ {p}: = (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p}) ^ {1 / p}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ infty}$

Las esferas con respecto a la norma máxima son precisamente los cubos dimensionales , cuyos bordes corren todos paralelos a los ejes de coordenadas. Los puntos extremos de una "esfera" tan cerrada son precisamente los puntos de las esquinas de este cubo. El conjunto de estos puntos es (para ) un subconjunto real del borde del cubo, que consta de todas las (hiper) superficies del borde del cubo. con la norma máxima para es, por tanto, un espacio no estrictamente convexo . Sin embargo, la norma máxima es equivalente a la norma euclidiana , lo que la hace estrictamente convexa. ${\ Displaystyle n}$
${\ Displaystyle n> 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle n> 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Como norma matricial

De manera análoga a la norma vectorial , la norma máxima para matrices tiene la representación ${\ Displaystyle A = (a_ {ij}) _ {i, j} \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ max}: = \ max _ {{i = 1, \ ldots, m} \ sobre {j = 1, \ ldots, n}} | a_ {ij} | \, .}$

Sin embargo, esta norma no es sub-multiplicativa , por lo que a menudo se usa la norma general sub-multiplicativa en lugar de esta norma en relación con las matrices . ${\ Displaystyle \ textstyle \ | A \ | _ {G}: = {\ sqrt {mn}} \ cdot \ max _ {{i = 1, \ ldots, m} \ encima de {j = 1, \ ldots, n }} | a_ {ij} |}$

Ejemplos

Vector de columna

Lo siguiente se aplica al vector de columna ${\ Displaystyle (-5,7,4, -9) ^ {T}}$

${\ Displaystyle \ left \ | {\ begin {pmatrix} -5 \\ 7 \\ 4 \\ - 9 \ end {pmatrix}} \ right \ | _ {\ max} = \ max (| -5 |, | 7 |, | 4 |, | -9 |) = 9 \,.}$

Entonces la norma máxima de es 9. ${\ Displaystyle (-5,7,4, -9) ^ {T}}$

función

Para la función racional fraccional definida por aplica ${\ Displaystyle f \ colon [-2,2] \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x) = 1000 (x ^ {2} -6) / (x ^ {3} -6000)}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {\ max} = \ max _ {x \ in [-2.2]} \ left (1000 \ left | {\ frac {x ^ {2} -6} {x ^ {3} -6000}} \ right | \ right) = 1 \,.}$

Esto puede demostrarse mediante derivación doble y determinación de los valores extremos . Por tanto, la norma máxima de la función en el intervalo es 1. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle [-2,2]}$

Norma suprema

A diferencia de la norma máxima, la norma superior no se define para funciones continuas, sino limitadas . En este caso no es necesario que sea compacto; puede ser cualquier cantidad. Dado que las funciones continuas están restringidas a espacios compactos, la norma máxima es un caso especial de la norma supremum. ${\ Displaystyle \ textstyle \ | f \ | _ {\ sup}: = \ sup _ {t \ in X} | f (t) |}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

ilustración

En términos claros, la distancia derivada de la norma máxima siempre es relevante si uno puede moverse en un espacio multidimensional en todas las dimensiones de manera simultánea e independiente entre sí a la misma velocidad.

El movimiento de un rey en un tablero de ajedrez puede servir como un ejemplo simple de esto : según las reglas, el rey puede moverse a una línea o fila adyacente en un movimiento, por lo que ambos pueden combinarse (movimiento diagonal). Para determinar el número mínimo de movimientos que un rey necesita para moverse de un cuadrado a otro, uno tiene que determinar el número máximo de cambios de fila y cambios de línea que se deben realizar. Si representa un campo por un par ordenado de los números 1, ..., 8, necesita directamente de campo a campo${\ Displaystyle (a, b)}$${\ Displaystyle (x, y)}$

${\ Displaystyle \ max (| ax |, | by |) = \ | (a, b) - (x, y) \ | _ {\ max}}$ Trenes.

Ejemplo: Los campos b8 y f3 del tablero de ajedrez están representados en esta notación por los pares y . Por lo tanto, un rey necesita movimientos para moverse de una casilla a otra. No se tuvo en cuenta que el camino puede ser bloqueado por piezas propias o contrarias. ${\ Displaystyle (2.8)}$${\ Displaystyle (6.3)}$${\ Displaystyle \ | (2.8) - (6.3) \ | _ {\ max} = 5}$

De manera más general, la norma máxima puede usarse para determinar qué tan rápido uno puede moverse en un espacio bidimensional o tridimensional, asumiendo que los movimientos en -, - (y -) direcciones ocurren de forma independiente, simultánea y a la misma velocidad. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$

Un sistema puede considerarse incluso de manera más general, cuyo estado está determinado por parámetros independientes. Se pueden realizar cambios en todos los parámetros al mismo tiempo y sin influir entre sí. Entonces, la norma máxima "mide" el tiempo que lleva transferir el sistema de un estado a otro. Sin embargo, el requisito previo para esto es que los parámetros se hayan estandarizado de tal manera que los mismos intervalos entre los valores correspondan a los mismos tiempos de cambio. De lo contrario, habría que utilizar una versión ponderada de la norma máxima que tenga en cuenta las diferentes tasas de cambio de los parámetros. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Evidencia individual

1. ↑ Norma Chebyshev . En: Guido Walz (Ed.): Lexicon of Mathematics . 1ª edición. Editorial Académica Spectrum, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8 . 
2. ↑ norma máxima . En: Guido Walz (Ed.): Lexicon of Mathematics . 1ª edición. Editorial Académica Spectrum, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8 . 
3. ↑ ^{a b} Alt: Análisis funcional lineal . 5ª edición. Springer, 2006, ISBN 3-540-34187-0 , págs. 38 . 
4. ↑ ^{a b} Harro Heuser: Libro de texto de análisis. Parte 2. 14ª edición Teubner Verlag, 2008, ISBN 978-3-8351-0208-8 , págs. 11-12.