Problema inverso
Un problema matemático se denomina problema inverso si se desea deducir la causa en la que se basa el efecto en un efecto observado o deseado de un sistema . Los problemas inversos suelen ser muy difíciles o incluso imposibles de resolver .
Lo opuesto a un problema inverso es un problema directo (a veces también llamado problema directo ), en el que a uno le gustaría derivar el efecto del sistema basándose en la causa conocida .
Se hace una distinción entre problemas inversos bien planteados y mal planteados . Además de las cuestiones de estabilidad matemático-física , también debe tenerse en cuenta la cuestión de la estabilidad numérica (por ejemplo, con grandes sistemas de ecuaciones normales ). Se utilizan métodos de regularización para mejorar la estabilidad numérica.
Ejemplos explicativos
Esta explicación abstracta y la dificultad de los problemas inversos se pueden ilustrar con un ejemplo: Un submarino está en un punto x a una profundidad t en el mar.
El convertidor emite ondas sonoras (ruidos del motor y de la hélice).
Si se conocen las propiedades de estas ondas sonoras ( fuerza , frecuencia ) y el medio que se transmite ( agua ), se puede calcular fácilmente qué tan fuerte un micrófono en un punto distante y puede escuchar el submarino. Este es un problema sencillo que es fácil de resolver. Se deduce de la causa (ruido en la ubicación x a la profundidad t ) del efecto (señal acústica en el micrófono). Por el contrario, en el contexto del seguimiento submarino, uno quisiera saber a partir del ruido del motor medido en la ubicación y dónde ya qué profundidad se encuentra el submarino.
Este es el problema inverso asociado, en el que uno quisiera deducir la causa del efecto. El problema de la ubicación es mucho más difícil de resolver. Si no tiene información sobre la dirección de la que proviene el sonido de la señal recibida, el problema es insoluble, porque incluso si conoce las propiedades de las ondas sonoras emitidas por el submarino, solo puede deducir la distancia entre el submarino y el receptor, no sino la dirección y la profundidad.
Más ejemplos de problemas inversos:
- Con la tomografía computarizada, uno quisiera deducir el curso local de la absorción de rayos X dentro del cuerpo (causa) a partir de las mediciones de un haz de rayos X debilitado cuando brilla a través de un cuerpo (efecto). Surgen muchos problemas inversos en relación con problemas tomográficos .
- Las grabaciones de objetos astronómicos a veces se reducen en calidad por las propiedades de los dispositivos de grabación o por la refracción de la atmósfera terrestre . A uno le gustaría inferir la imagen no adulterada del objeto (causa) de una mala imagen (efecto observado).
- A partir de las señales medidas de un terremoto (efecto), uno quisiera derivar propiedades del interior de la tierra (causa del terremoto).
- A partir de las desviaciones verticales o anomalías de la gravedad , se deben sacar conclusiones sobre la distribución de masa en el interior de la tierra ( problema de inversión de la teoría del potencial ).
- Los datos espectrales de la espectroscopía IR o espectroscopía Raman de una mezcla de gases o líquidos representan una superposición de los espectros de los componentes puros contenidos en la mezcla. Conociendo los espectros de la sustancia pura, se desearía utilizar los diferentes picos intensos en la mezcla espectro (efecto) sobre las concentraciones Causa) de los componentes individuales de la mezcla.
- La calibración de los parámetros de los modelos matemáticos financieros a través de los precios de mercado de los instrumentos derivados negociados (swaptions, caps, floor, etc.) también es un problema inverso.
Para problemas de dispersión inversa del tipo Sturm-Liouville existe la teoría Gelfand-Levitan (1951), después de Israel Gelfand y Boris Levitan . Estos incluyen, por ejemplo, ecuaciones de onda con potencial de dispersión y la ecuación de Schrödinger estacionaria con potencial. La tarea consiste en reconstruir el potencial a partir de los datos dispersos.
Algunos problemas inversos también conducen a ecuaciones integrales del tipo abeliano .
literatura
Problemas inversos generales
- Alfred Louis: Problemas inversos y mal planteados . Teubner, Stuttgart 2001, ISBN 3-519-02084-X .
- Andreas Rieder: No hay problemas con problemas inversos . Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03198-0 .
- Albert Tarantola: Teoría del problema inverso . ( como PDF ), Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia 2005, ISBN 0-89871-572-5 .
- Heinz W. Engl, Martin Hanke, Andreas Neubauer: Regularización de problemas inversos . Springer Netherland, Berlín 1996, ISBN 0-7923-4157-0 .
Problemas inversos en imágenes médicas
- Frank Natterer : Las matemáticas de la tomografía computarizada . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia 2001. ISBN 0-89871-493-1 .
- Frank Natterer y Frank Wübbeling: métodos matemáticos en la reconstrucción de imágenes . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia 2001, ISBN 0-89871-472-9 .
