Basel-problem

Det Basel Problemet er et matematisk problem, der blev uløst i lang tid, og der var oprindeligt primært behandlet med af Basel matematikere. Det er et spørgsmål om summen af ​​de gensidige firkantede tal , dvs. værdien af serien

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac { 1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = 1 + {\ frac { 1} {4}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {16}} + \ cdots.}$

Det blev løst i 1735 af Leonhard Euler, der fandt serieværdien . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi ^ {2}} {6}} \ ca. 1 {,} 644934}$

Forsøgte løsninger

I 1644 spekulerede den italienske Pietro Mengoli på, om denne sum konvergerede, og i bekræftende fald mod hvilken værdi, men kunne ikke besvare dette spørgsmål. Lidt senere fandt Basel-matematikeren Jakob I Bernoulli ud af dette problem, men fandt heller ingen løsning (1689). Flere matematikere forsøgte derefter at besvare spørgsmålet, men de lykkedes ikke alle. I 1726 begyndte Leonhard Euler , også en baselmatematiker og elev af Jakob Bernoullis bror Johann , at tackle problemet. I 1735 fandt han løsningen og offentliggjorde den i sin De Summis Serierum Reciprocarum .

Løsninger

Eulers første løsning

For hans oprindelige løsning, Euler overvejet Taylor serie af den kardinal sinusfunktion , så

${\ displaystyle \ mathrm {sinc} (x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}} = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {5!}} - {\ frac {x ^ {6}} {7!}} + - \ cdots}$

og sidestillede det med produktets præsentation af denne funktion.

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2}}} \ højre) = \ venstre (1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2}}} \ højre) \ venstre (1 - {\ frac { x ^ {2}} {4 \ pi ^ {2}}} \ højre) \ venstre (1 - {\ frac {x ^ {2}} {9 \ pi ^ {2}}} \ højre) \ cdots = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {5!}} - {\ frac {x ^ {6}} {7!}} + - \ cdots}$

Når man (hypotetisk) multiplicerer det uendelige produkt, betragtede han kun de produkter, der indeholder og . Da der ikke er nogen anden måde, hvorpå et udtryk kan indeholde et kvadratisk udtryk, skal de to kvadratiske udtryk på de respektive sider være de samme. ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle x ^ {2}}$

${\ displaystyle -x ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2} \ pi ^ {2}}} + { \ frac {1} {3 ^ {2} \ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2} \ pi ^ {2}}} + \ cdots \ right) = - {\ frac {x ^ {2}} {3!}} = - {\ frac {x ^ {2}} {6}}}$

og herfra udledte Euler sin løsning:

${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}$

Løsning via Fubinis sætning

Den uendelige sum af de omvendte firkantede tal er tæt beslægtet med den uendelige sum af summene på det ulige sted.

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {4} {3}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2k + 1) ^ {2}}}}$

Summen af ​​de lige tal er en fjerdedel af det samlede tal. Tilsvarende er summen af ​​de ulige cifre tre fjerdedele af det samlede antal. Derfor er den samlede sum fire tredjedele af summen af ​​de ulige cifre. I det følgende konverteres summen til en integral:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2k + 1) ^ {2}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k + 1)}} \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k + 1)}} \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {artanh} (x)} {x}} \ mathrm {d} x}$

Så følgende udtryk gælder:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {4} {3}} \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {\ operatorname {artanh} (x)} {x}} \ mathrm {d} x}$

Dette kan også illustreres med dilogaritmen :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ operatornavn {Li} _ {2} (1) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} [{\ frac {4} {3}} \ operatorname {Li} _ {2} (x) - {\ frac {1} {3}} \ operatorname {Li} _ {2} (x ^ {2})] \ mathrm {d} x = {\ frac {4} {3}} \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {\ operatorname {artanh} (x)} {x}} \ mathrm {d} x}$

Den viste integral har ingen elementær antiderivativ. Men denne integral kan løses med Guido Fubinis sætning . Første mulige løsning:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {artanh} (x)} {x}} \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ operatorname {arsinh} (x)} {2x {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ { 0} ^ {1} {\ frac {1} {2 (-x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} +1)}} \ mathrm {d} y \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 (-x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} +1) }} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}} \ mathrm {d} y = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}}}$

I det første trin blev følgende udskiftet:

${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {x} {{\ sqrt {x ^ {2} +1}} + 1}}}$

Fordi følgende forhold gælder:

${\ displaystyle [{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {x} {{\ sqrt {x ^ {2} +1}} + 1}}] {\ frac {\ operatorname {artanh} (w)} {w}} (w = {\ frac {x} {{\ sqrt {x ^ {2} +1}} + 1}}) = {\ frac {\ operatorname {arsinh} (x)} {2x {\ sqrt {x ^ {2} +1}}}}$

Anden mulig løsning:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {artanh} (x)} {x}} \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {y} {\ sqrt {(1-x ^ {2} y ^ {2}) (1-y ^ {2})}}} \ mathrm {d} y \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {y} {\ sqrt {(1-x ^ {2} y ^ {2}) (1-y ^ {2})}}} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {arcsin} (y)} {\ sqrt {1-y ^ {2}}}} \ mathrm {d} y = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}}}$

Halvdelen af ​​bueformens firkant tjente som antiderivativ i sidste trin. Samlet set gælder det forhold, der behandles på denne side:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

Om en dobbelt integral

Beviset for en dobbelt integral fremstår som en øvelse i William J. LeVeques lærebog om talteori fra 1956. I den skriver han om problemet: ”Jeg aner ikke, hvor dette problem kom fra, men jeg er ret sikker på, at det er med gjorde ikke stammer fra mig. "

Repræsentationen opnås først via den geometriske række

${\ displaystyle \ zeta (2) = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x \ mathrm {d} y} {1-xy }}.}$

Ved hjælp af en variabel erstatning, og man når frem til ${\ displaystyle u = {\ frac {y + x} {2}}}$${\ displaystyle v = {\ frac {yx} {2}}}$

${\ displaystyle \ zeta (2) = 4 \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {2}} \ left (\ int _ {0} ^ {u} {\ frac {\ mathrm {d} v } {1-u ^ {2} + v ^ {2}}} \ højre) \ mathrm {d} u + 4 \ int _ {\ frac {1} {2}} ^ {1} \ left (\ int _ {0} ^ {1-u} {\ frac {\ mathrm {d} v} {1-u ^ {2} + v ^ {2}}} \ højre) \ mathrm {d} u,}$

hvor de indre integraler kan løses ved hjælp af arktangenten

${\ displaystyle \ zeta (2) = 4 \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}} \ arctan \ venstre ({\ frac {u} {\ sqrt {1-u ^ {2}}} \ højre) \ mathrm {d} u + 4 \ int _ {\ frac {1} {2}} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}} \ arctan \ left ({\ frac {1-u} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}} \ højre) \ mathrm {d} u.}$

Med og du får stavemåden ${\ displaystyle g (u) = \ arctan \ left ({\ frac {u} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}} \ right)}$${\ displaystyle h (u) = \ arctan \ left ({\ frac {1-u} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}} \ højre)}$

${\ displaystyle \ zeta (2) = 4 \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {2}} g '(u) g (u) \ mathrm {d} u + 4 \ int _ {\ frac {1} {2}} ^ {1} h '(u) h (u) \ mathrm {d} u = 2 \ left [g (u) ^ {2} \ right] _ {0} ^ {\ frac {1} {2}} + 2 \ venstre [h (u) ^ {2} \ højre] _ {\ frac {1} {2}} ^ {1} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}$

Om serieudvidelsen af ​​bueskinnen

Følgende formel gælder:

${\ displaystyle (2k + 2) \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} - (2k + 3) \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2k + 3}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ mathrm {d} x =}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} (2k + 2) {\ frac {x ^ {2k + 1}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} - (2k + 3 ) {\ frac {x ^ {2k + 3}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ mathrm {d} x =}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} x ^ {2k + 2} {\ sqrt {1-x ^ {2 }}} \ mathrm {d} x = 0}$

Heraf følger det for alle k ∈ ℕ ₀ :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2k + 3}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ mathrm {d} x = {\ frac { 2k + 2} {2k + 3}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ mathrm {d } x}$

Følgende integral har følgende værdi:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ mathrm {d} x = 1}$

Ved induktion følger det for alle k ∈ ℕ ₀ :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ mathrm {d} x = {\ frac { 4 ^ {k} (k!) ^ {2}} {(2k)! (2k + 1)}}}$

Derudover gælder følgende:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2k)!} {4 ^ {k} (k!) ^ {2} (2k + 1)}} x ^ {2k +1} = \ arcsin (x)}$

Ved at syntetisere de sidste to formler følger det:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {4} {3}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2k + 1) ^ {2}}} =}$

${\ displaystyle = {\ frac {4} {3}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2k)!} {4 ^ {k} (k!) ^ {2} (2k + 1)}} \, {\ frac {4 ^ {k} (k!) ^ {2}} {(2k)! (2k + 1)}} =}$

${\ displaystyle = {\ frac {4} {3}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2k)!} {4 ^ {k} (k!) ^ {2} (2k + 1)}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ mathrm {d} x = }$

${\ displaystyle = {\ frac {4} {3}} \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2k)!} {4 ^ { k} (k!) ^ {2} (2k + 1)}} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ mathrm {d} x = {\ frac {4} {3}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arcsin (x)} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

Omkring en cotangent sum

Et andet bevis bruger den cotangente sum:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {m} \ cot \ left ({\ frac {\ pi n} {2m + 1}} \ right) ^ {2} = {\ frac {m (2m- 1)} {3}}}$

Dette kan forklares på følgende måde:

${\ displaystyle \ tan [(2m + 1) \ varphi] = \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {2m + 1} {2k + 1}} (- 1) ^ { k} \ barneseng (\ varphi) ^ {2m-2k} \ højre] \ venstre [\ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {2m + 1} {2k}} (- 1) ^ { k} \ barneseng (\ varphi) ^ {2m + 1-2k} \ højre] ^ {- 1}}$

Denne ligning skyldes additionssætningen for tangentfunktionen.

Derfor har følgende ligninger følgende løsninger:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {2m + 1} {2k + 1}} (- 1) ^ {k} x ^ {mk} = 0}$

${\ displaystyle x_ {n} = \ cot \ left ({\ frac {\ pi n} {2m + 1}} \ right) ^ {2}}$

Her skal n antage værdierne fra 1 til m.

Disse værdier danner således det samlede løsningssæt for ligningen. Den sæt Beliggenhed , at opnår negativet af summen af alle opløsninger af hele opløsningen beløb ved, at dividere koefficienten for den højest rangerende standard andet element med koefficienten af den højest rangerende standard medlem. Det højest rangerede medlem tager værdien 1 ud af 2m + 1. Det næsthøjeste medlem tager det negative af værdien 3 ud af 2m + 1. Følgende formel gælder derfor:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {m} \ cot \ left ({\ frac {\ pi n} {2m + 1}} \ right) ^ {2} = {\ binom {2m + 1} {3}} {\ binom {2m + 1} {1}} ^ {- 1} = {\ frac {m (2m-1)} {3}}}$

Dette kan også vises elementært ved hjælp af Eulers identitet .

Derfor gælder følgende:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ pi ^ {2}} {(2m + 1) ^ {2}}} \ cot \ left ({\ frac {\ pi n} {2m + 1}} \ right) ^ {2} =}$

${\ displaystyle = \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {m} {\ frac {\ pi ^ {2}} {(2m + 1) ^ {2}}} \ barneseng \ venstre ({\ frac {\ pi n} {2m + 1}} \ højre) ^ {2} =}$

${\ displaystyle = \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ pi ^ {2}} {(2m + 1) ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {m} \ barneseng \ venstre ({\ frac {\ pi n} {2m + 1}} \ højre) ^ {2} =}$

${\ displaystyle = \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ pi ^ {2}} {(2m + 1) ^ {2}}} \, {\ frac {m (2m-1)} {3}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

Generaliseringer

Euler generaliserede også problemet. For at gøre dette undersøgte han funktionen senere kaldet Riemanns Funktion- funktion

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {1 ^ {s}} } + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + \ cdots}$

og fandt et generelt lukket udtryk for alle naturlige lige nummererede argumenter , nemlig ${\ displaystyle s = 2k}$

${\ displaystyle \ zeta (2k) = (- 1) ^ {k-1} {\ frac {(2 \ pi) ^ {2k}} {2 (2k)!}} B_ {2k}}$

hvor den th repræsenterer Bernoullis nummer . Følgende formel bruges også til at bestemme zeta-funktionsværdierne for lige tal: ${\ displaystyle B_ {2k}}$${\ displaystyle 2k}$

${\ displaystyle \ zeta (2k + 2) = {\ frac {2} {2k + 3}} \ sum _ {n = 1} ^ {k} \ zeta (2n) \ zeta (2k + 2-2n)}$

Hvor k ∈ ℕ. En generel formel for ulige nummererede naturlige argumenter (se f.eks. Apéry-konstant ) er endnu ikke kendt. ${\ displaystyle s}$

Forholdet til Fourier-serien

I teorien om Fourier-serien har man den fuldstændigt kontinuerlige virkelige funktion${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ Phi (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos {ns}} {n ^ {2}}} \; (s \ in \ mathbb {R })}$ ,

hvorved rækken, der vises til højre , ifølge hovedkriteriet er absolut konvergent .

For et givet reelt tal med gælder identitetsligningen her${\ displaystyle s}$${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq 2 \ pi}$

${\ displaystyle \ Phi (s) = \ left ({\ frac {s- \ pi} {2}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}}}$ ,

fører direkte til ligningen

${\ displaystyle \ Phi (0) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6 }}}$

fører.

litteratur

• C. Edward Sandifer: Eulers løsning på Basel-problemet - den længere historie . I: Robert E. Bradley (red.): Euler ved 300 (=  MAA tercentenary Euler-fest. Spektrumserie . Band 5 ). Mathematical Association of America, Washington DC 2007, ISBN 978-0-88385-565-2 , pp. 105-117 (engelsk). 
• Lawrence Downey, Boon W. Ong, James A. Sellers: Beyond the Basel Problem. Summer af gensidige figurer . I: College Mathematics Journal . bånd 39 , nr. 5. november 2008, s. 391-394 (engelsk). 
• Fridtjof Toenniessen : Hemmeligheden bag de transcendente tal . En lidt anden introduktion til matematik. 2. udgave. Springer, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8 , doi : 10.1007 / 978-3-662-58326-5 . 

Weblinks

• Leonhard Euler: De Summis Serierum Reciprocarum (latin, engelsk)
• Evaluering af ζ (2) - 14 bevis for værdien af ​​ζ (2) udarbejdet af Robin Chapman på et websted fra University of Exeter (engelsk; PDF, 181 kB)

Bemærkninger

1. ↑ Den virkelige cosinus-funktionen er afgrænset .

Individuelle beviser

1. ↑ Fridtjof Toenniessen: Hemmeligheden bag de transcendente tal . Springer, 2019, s. 327-337 .