Base (modul)

Begrebet grundlaget for et modul er en generalisering af begrebet grundlaget for et vektorrum i det matematiske underområde af algebra . Som med disse defineres en base af et modul som et lineært uafhængigt genereringssystem; I modsætning til vektorrum har dog ikke alle moduler et grundlag.

definition

Et system af elementer i et modul over en ring med et element definerer et kort ${\ displaystyle \ {x_ {i} \ mid i \ i I \}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle \ xi \ colon R ^ {(I)} \ longrightarrow M}$

fra den direkte sum af kopier efterfølgende fra illustrationer ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle R \ til M, \ quad 1 \ mapsto x_ {i}}$

induceres.

• Hvis injektionsvæske kaldes lineært uafhængig .${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} \ mid i \ i I \}}$
• Hvis Surjective , derefter en genererende system kaldes .${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} \ mid i \ i I \}}$
• Hvis bijective , så kaldes en base fra .${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} \ mid i \ i I \}}$${\ displaystyle M}$

Grundlaget er derfor et lineært uafhængigt genereringssystem.

egenskaber

Den lineære uafhængighed af svarer til det faktum, at 0 kun kan repræsenteres som den trivielle lineære kombination: ${\ displaystyle \ {x_ {i} \ mid i \ i I \}}$

${\ displaystyle \ sum a_ {i} x_ {i} = 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad a_ {i} = 0 \ \ mathrm {f {\ ddot {u}} r \ all} \ i \ in I.}$

Hvis et sæt er lineært afhængigt, følger det generelt ikke - i modsætning til tilfældet med vektorrum - at et af elementerne kan repræsenteres som en lineær kombination af de andre. Dette har følgende konsekvenser:

• Generelt kan en lineært uafhængig delmængde ikke føjes til et grundlag.
• En maksimalt lineært uafhængig delmængde er generelt ikke et grundlag.
• Et minimalt genereringssystem er generelt ikke et grundlag.

Overvej modulet som et eksempel : Systemet {2} er maksimalt lineært uafhængigt, systemet {2,3} er et minimalt genererende system, ingen af ​​de to er et grundlag. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Et modul over en ring med et enkelt element har en base, hvis og kun hvis det er gratis . Udtrykket gratis modul er en generalisering af den grundlæggende eksistens på moduler, hvis basering ikke nødvendigvis har et enkelt element. Hvert undermodul i et gratis modul er gratis igen via de vigtigste ideelle ringe .

Induktiv beregning af en base

Hvis et gratis modul er over en hovedidealring og et undermodul af , kan et induktivt grundlag beregnes: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$

Vær en base for , overvej . ${\ displaystyle \ {m_ {1}, \ dotsc, m_ {n} \}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N_ {i} = N \ cap \ langle m_ {1}, \ dotsc, m_ {i} \ rangle}$

Det ideelle genereres af ringelementet, og det er det ${\ displaystyle \ {r \ i R: \ eksisterer m \ i N_ {i + 1} {\ tekst {med}} m = m '+ r \ cdot m_ {i + 1} {\ tekst {og}} m '\ in \ langle m_ {1}, \ dotsc, m_ {i} \ rangle \}}$${\ displaystyle a_ {i + 1}}$

${\ displaystyle n_ {i + 1} = m '+ a_ {i + 1} \ cdot m_ {i + 1} \ i N_ {i + 1} {\ tekst {med}} m' \ i \ langle m_ { 1}, \ dotsc, m_ {i} \ rangle}$,

gælder derefter . ${\ displaystyle N_ {i + 1} = N_ {i} \ oplus R \ cdot n_ {i + 1}}$

eksempel

Lad være et modul, og undermodulet er defineret af . ${\ displaystyle M = \ mathbb {Z} ^ {3} = \ langle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle N: = \ {z \ in \ mathbb {Z} ^ {3}: 2z_ {1} + 3z_ {2} + 4z_ {3} = 0 \ land 5 {\ text {divides}} z_ {2 } \}}$

Et grundlag for kan nu beregnes som følger: ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle N_ {1} = N \ cap \ langle (1,0,0) \ rangle = \ {z \ in \ mathbb {Z} ^ {3}: 2z_ {1} = 0 \} = \ {( 0,0,0) \}}$

${\ displaystyle N_ {2} = N \ cap \ langle (1,0,0), (0,1,0) \ rangle = \ {z \ in \ mathbb {Z} ^ {3}: 2z_ {1} + 3z_ {2} = 0 \ land 5 \ vert z_ {2} \}}$

Vi leder nu efter det mindste positive, der opfylder ovenstående ligning. ${\ displaystyle z_ {2}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow N_ {2} = \ langle (-15,10,0) \ rangle}$

${\ displaystyle N_ {3} = N \ cap \ langle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \ rangle = N}$

Vi ser efter det mindste positive, der tilfredsstiller ligningen. ${\ displaystyle z_ {3}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow N_ {3} = N_ {2} \ oplus \ langle (-2,0,1) \ rangle}$

Vi har fundet en base . ${\ displaystyle N = \ langle (-15,10,0), (- 2,0,1) \ rangle}$

Eksempler

ℤ som et modulmodul

Lad det være den abelske gruppe af heltal som et modul over ringen af ​​heltal. Derefter ${\ displaystyle M = \ mathbb {Z}}$

• ${\ displaystyle \ {2 \}}$ en maksimal lineært uafhængig delmængde, men intet genererende system.
• ${\ displaystyle \ {2,3 \}}$ et minimalt genereringssystem, men ikke lineært uafhængigt.

De eneste baser for er og . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ {1 \}}$${\ displaystyle \ {- 1 \}}$

Gitter i ℝ ⁿ som ℤ modul

Lad der være lineært uafhængige vektorer af det euklidiske vektorrum . Derefter kaldes det modulet ${\ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ Gamma: = \ langle b_ {1}, \ prikker, b_ {m} \ rangle _ {\ mathbb {Z}}: = \ venstre \ {\ venstre. \ tekststil \ sum \ grænser _ {i = 1} ^ {m} g_ {i} b_ {i} \ \ right | \, g_ {i} \ in \ mathbb {Z} \ right \}}$

et gitter med en base af rang . ${\ displaystyle \ {b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {m} \}}$${\ displaystyle m}$

Gitre i spiller en central rolle i teorien om elliptiske funktioner og elliptiske kurver , gitre i er relateret til komplekse Tori og Abelian sorter . ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} = \ mathbb {R} ^ {2g}}$