Lineární algebra

Lineární algebry (včetně vektorové algebry ) je odvětví matematiky , která se zabývá vektorových prostorů a lineárních map zaměstnává mezi nimi. To zahrnuje zejména zvážení lineárních systémů rovnic a matic .

Vektorové prostory a jejich lineární zobrazení jsou důležitým nástrojem v mnoha oblastech matematiky. Kromě čisté matematiky lze aplikace nalézt v přírodních vědách , informatice a ekonomii (například v optimalizaci ).

Lineární algebra vyplynula ze dvou konkrétních požadavků: na jedné straně řešení lineárních soustav rovnic, na druhé straně matematický popis geometrických objektů, takzvaná analytická geometrie (proto někteří autoři označují lineární algebru jako lineární geometrie ).

Dějiny

Počátky algebry a tedy i pojem sám o sobě vrátit se co nejdále do perskými choresm matematik , astronom , geograf a polymath Al-Khwarizmi , který musel přeložit svá díla do arabštiny vzhledem k islamizaci v Íránu, a tak na přišlo jméno „al-jabr“. Z toho je odvozen termín algebra.

Zatímco vývoj algebry začal ve starověkém Egyptě, vývoj lineární algebry jako samostatné podoblasti začal až v 17. století s teorií determinantu . Vývoj této teorie zahájili nezávisle Gottfried Wilhelm Leibniz a Seki Takakazu . V roce 1750 Gabriel Cramer zveřejnil Cramerovo pravidlo pojmenované po něm . Bylo to poprvé, kdy byl k dispozici vzorec řešení pro mnoho lineárních systémů rovnic.

Historie moderní lineární algebry sahá do let 1843 a 1844. V roce 1843 William Rowan Hamilton (od kterého pochází termín vektor ) vymyslel rozšíření komplexních čísel s čtveřicemi . V roce 1844 vydal Hermann Graßmann svou knihu Teorie expanze Die lineale. Arthur Cayley poté v roce 1857 s maticemi představil jeden z nejzákladnějších algebraických nápadů. ${\ displaystyle (2 \ krát 2)}$

Od 20. století se většina lidí zabývala konceptem vektorového prostoru . Přípravné práce pro to provedli zejména matematici August Ferdinand Möbius , Constantin Carathéodory a Hermann Weyl . Například bylo zjištěno, že lineární mapování mezi konečnými trojrozměrnými vektorovými prostory lze popsat maticemi . Na základě těchto znalostí Stefan Banach jako první uvedl axiomatickou definici skutečných vektorových prostorů.

Soustavy lineárních rovnic

Systém lineárních rovnic je kombinací rovnic typu

${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = 1}$

${\ displaystyle 3x_ {1} + 6x_ {2} = 4}$

Takové systémy rovnic se získávají z mnoha každodenních otázek, například:

V jakém poměru musíte míchat 30% roztok (odpovídá ) a 60% roztok (odpovídá ), abyste získali 40% roztok?${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Základním krokem abstrakce lineární algebry je pochopení levých stran jako funkce neznáma (v tomto případě soubor příslušných řešení): ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2})}$

${\ displaystyle A (x) = {\ begin {pmatrix} x_ {1} + x_ {2} \\ 3x_ {1} + 6x_ {2} \ end {pmatrix}}}$

Potom se roztok soustavy rovnic se stane problém: najít takové , které ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle A (x) = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 4 \ end {pmatrix}}}$

platí. Přepisování je pouze formalismus , aby bylo možné vypořádat se s více než jedním číslem současně.

Místo toho, abyste jednoduše zapsali příslušná čísla ve formě obdélníku a zavolali objekt matici : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 6 \ end {pmatrix}}}$

Vidíte, že funkce má speciální vlastnosti, jedná se o lineární mapování . Pokud existuje řešení soustavy rovnic a řešení soustavy rovnic , pak je ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A (x) = b}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle A (y) = c}$

${\ displaystyle z = x + y = {\ begin {pmatrix} x_ {1} + y_ {1} \\ x_ {2} + y_ {2} \ end {pmatrix}}}$

řešení . Můžete to také napsat do formuláře . Pokud je dále jakékoli reálné číslo , pak je ; je tady ${\ displaystyle A (z) = b + c}$${\ displaystyle A (x + y) = A (x) + A (y)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A (\ lambda x) = \ lambda \ cdot A (x)}$

${\ displaystyle \ lambda x = {\ začátek {pmatrix} \ lambda x_ {1} \\\ lambda x_ {2} \ konec {pmatrix}}}$.

Analytická geometrie

Další původ lineární algebry lze nalézt v aritmetickém popisu 2- a 3-dimenzionálního (euklidovského) prostoru, nazývaného také „vizuální prostor“. Pomocí souřadnicového systému lze body v prostoru popsat trojnásobkem čísel. Typ mapování posunutí vede ke konceptu vektoru, který označuje směr a velikost posunutí. Mnoho fyzikálních veličin , například sil , má vždy tento směrový aspekt. ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

Protože vektory lze také popsat trojicemi čísel , je separace mezi vektory a body rozmazaná: bod odpovídá svému pozičnímu vektoru , který ukazuje od počátku souřadnic . ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$

Mnoho typů mapování uvažovaných v klasické geometrii, například rotace kolem os přes počátek nebo odrazy v rovinách počátkem, patří do třídy lineárního mapování , která již byla zmíněna výše.

Vektorové prostory a lineární algebra

Koncept vektorového prostoru vzniká jako abstrakce výše uvedených příkladů: Vektorový prostor je množina, jejíž prvky se nazývají vektory, spolu s

• přidání vektorů
• množení vektorů s prvky pevné tělo , nazvaný skalární násobení (vnější násobení).

Toto přidání a skalární násobení stále musí splňovat některé jednoduché vlastnosti, které se vztahují také na vektory ve vizuálním prostoru.

Dalo by se říci, že vektorové prostory jsou přesně definovány takovým způsobem, že lze hovořit o lineárních zobrazeních mezi nimi.

Svým způsobem je koncept vektorového prostoru pro lineární algebru již příliš obecný. Každému vektorovému prostoru lze přiřadit dimenzi , například letadlo má rozměr a vizuální prostor má rozměr . Existují však vektorové prostory, jejichž rozměry nejsou konečné, což znamená, že mnoho známých vlastností je ztraceno. Ukázalo se však jako velmi úspěšné vybavit nekonečně dimenzionální vektorové prostory další topologickou strukturou ; zkoumání topologických vektorových prostorů je předmětem funkční analýzy . ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 3}$

(Zbytek tohoto článku se zabývá případem konečných dimenzí.)

Důležité věty a výsledky

Každý vektorový prostor má alespoň jeden základ . Každé dvě základny vektorového prostoru mají stejný počet prvků; to je jediný důvod, proč má smysl hovořit o dimenzi vektorového prostoru. Pro součty a průměry podprostorů platí skutečný dimenzní vzorec a pro dimenze faktorových prostorů vzorec . ${\ displaystyle \ dim V / U = \ dim V- \ dim U}$

Každé lineární mapování je jednoznačně definováno určením obrázků na základě . Věta o homomorfismu a věta o hodnosti platí pro lineární zobrazení . Lineární zobrazení mohou být reprezentována maticemi vzhledem k pevným základnám . Provádění lineárních obrazů jeden po druhém odpovídá znásobení jejich reprezentačních matic. ${\ displaystyle f \ dvojtečka V \ až W}$${\ displaystyle V}$

Lineární systém rovnic s , a je řešitelný tehdy a jen tehdy, když se pořadí matice rovná hodnosti matice rozšířeného koeficientu . V tomto případě je sada řešení systému je afinní podprostor o rozměru . U systémů rovnic, které nejsou příliš velké, lze pořadí a výpočet prostoru řešení provést pomocí Gaussovy eliminační metody. ${\ displaystyle A \ cdot x = b}$${\ displaystyle A \ in \ mathbb {K} ^ {{m} \ krát {n}}}$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {K} ^ {m}}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & b \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ displaystyle n- \ mathrm {hodnost} (A)}$

Lineární mapování (tj. Endomorfismus ) konečného trojrozměrného vektorového prostoru lze již invertovat, pokud je injektivní nebo surjektivní. Toto je opět případ právě tehdy, když se jeho determinant nerovná nule. Z toho vyplývá, že vlastní hodnoty endomorfismu jsou přesně nulami jeho charakteristického polynomu . Dalším důležitým výrokem o charakteristickém polynomu je Cayley-Hamiltonova věta . ${\ displaystyle f \ dvojtečka V \ až V}$${\ displaystyle V}$

Endomorfismus (nebo čtvercová matice) může být diagonalizován právě tehdy, když se charakteristický polynom rozpadne na lineární faktory a pro každou vlastní hodnotu se jeho algebraická multiplicita rovná geometrické multiplicitě, tj. Nulovému řádu vlastní hodnoty v charakteristickém polynomu je roven rozměru souvisejícího eigenspace . Ekvivalentní tomu je existence základu vektorového prostoru, který se skládá z vlastních vektorů lineárního mapování. Endomorfismy, jejichž charakteristický polynom je rozdělen na lineární faktory, lze stále trigonalizovat , takže je lze reprezentovat trojúhelníkovou maticí. Trochu hlubším výsledkem je, že reprezentativní matice může být dokonce uvedena do jordánské normální formy .

V vektorových prostorů, na které je zde také skalární součin , norma se používá k definování. V těchto skalárních produktových prostorech vždy existují ortonormální báze, které lze zkonstruovat, například pomocí metody Gram-Schmidt orthonormalizace . Podle věty o projekci lze nejlepší aproximaci v těchto prostorech určit ze subvektorového prostoru pomocí ortogonální projekce . ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle \ | x \ |: = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$

Pokud jde o diagonalizovatelnost endomorfismů ve skalárních produktových prostorech, vyvstává otázka, zda existuje ortonormální základ z vlastních vektorů. Ústředním výsledkem je spektrální věta . Ve skutečném případě platí zejména toto: Pro každou symetrickou matici existuje ortogonální matice , tedy diagonální matice. Použitím tohoto výsledku na kvadratické tvary získáme princip transformace hlavní osy . ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} ^ {{n} \ krát {n}}}$ ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q ^ {T} AQ}$

Také bilineární a sesquilineární lze reprezentovat maticemi pevně zvolených bází. Bilineární forma je symetrická a kladně určitá , tj. Skalární součin, právě tehdy, je-li její reprezentativní matice symetrická a kladně určitá. Symetrická matice je kladně definitivní právě tehdy, jsou-li všechny její vlastní hodnoty kladné. Obecně platí, že Sylvestrovo zákon o setrvačnosti platí pro symetrické bilineární formy a hermitovských sesquilinear forem , které uvádí, že počet kladných a záporných čísel reprezentujících matric nezávisí na výběru základu.

Vektory a matice

Vektory konečných dimenzionálních prostor lze popsat podle jejich komponent, které (v závislosti na aplikaci) jako sloupcový vektor

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ začátek {pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \ konec {pmatrix}}}$

nebo linie vektor

${\ displaystyle \ mathbf {b} = {\ begin {pmatrix} 4 & 6 & 3 & 7 \ end {pmatrix}}}$

být napsán. Čárové vektory jsou často označeny horním indexem T pro transpozici , například . ${\ displaystyle b ^ {T}}$

V literatuře se vektory odlišují od jiných veličin různými způsoby: používají se malá písmena, malá písmena tučně, malá písmena podtržená, malá písmena se šipkou nad nebo malá písmena Fraktur . Tento článek používá malá písmena.

Matice je označena „mřížkou“ čísel. Zde je matice se čtyřmi řádky a třemi sloupci:

${\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ begin {pmatrix} 8 & 2 & 9 \\ 4 & 8 & 2 \\ 8 & 3 & 7 \\ 5 & 9 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Matice jsou většinou označeny velkými písmeny.

V případě sloupcových vektorů jsou jednotlivé prvky vektoru obvykle označeny indexem: Druhý prvek vektoru uvedeného výše by pak byl . V řádkových vektorech se někdy používá exponent , přičemž je třeba dávat pozor, zda je přítomen vektorový index nebo exponent : Ve výše uvedeném příkladu má jeden asi . Maticové prvky jsou označeny dvěma indexy. Prvky jsou reprezentovány malými písmeny: je prvek ve druhém řádku třetího sloupce (místo „ve třetím sloupci druhého řádku“, protože to usnadňuje čtení). ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a_ {2} = 7}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b ^ {4} = 7}$${\ displaystyle m_ {2,3} = 2}$${\ displaystyle m_ {2,3}}$

Zobecněný termín pro tyto struktury je tenzor , skaláry jsou tenzory nultého řádu, vektory tenzory prvního řádu, matice tenzory druhého řádu. Tenzor -tého řádu může být reprezentován -rozměrnou číselnou kostkou. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Často je nutné přenést matice do zvláštního tvaru pomocí elementárních transformací čar nebo základních změn . Obzvláště důležité jsou trojúhelníkový tvar , diagonální tvar a jordánský normální tvar .

Endomorfismy a čtvercové matice

Při zobrazení lineárního mapování - jak je popsáno v části Matrix - existuje speciální případ lineárního mapování konečně-dimenzionálního vektorového prostoru na sebe (tzv. Endomorfismus ). Stejný základ lze poté použít pro původní obraz a souřadnice obrazu a získá se čtvercová matice, takže aplikace lineárního mapování odpovídá levému násobení . K vyjádření závislosti na a se používají hláskování jako nebo . Provedení tohoto mapování dvakrát za sebou pak odpovídá násobení atd. A všechny polynomiální výrazy s (součty násobků sil ) lze chápat jako lineární zobrazení vektorového prostoru. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle A = M_ {v} (f)}$${\ displaystyle A = {} _ {v} f_ {v}}$${\ displaystyle A ^ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Invertibilita

Analogicky k pravidlu výpočtu pro čísla je nulovou silou čtvercové matice diagonální matice ( jednotková matice ) s jednotkami na diagonále a ve které jsou všechny zbývající prvky nulové, což odpovídá mapování identity každého vektoru k sobě . Záporné síly čtvercové matice lze vypočítat, pouze pokud je lineární mapování dané invertovatelné, tj. Žádné dva různé vektory a mapy na stejný vektor . Jinými slovy, máte invertibilní matici od vždy následovat lineární systém, takže může být jen řešení . Pro invertibilní matici existuje inverzní matice s . ${\ displaystyle x ^ {0} = 1}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle Au_ {1} = Au_ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle u_ {1} -u_ {2} \ neq 0}$${\ displaystyle A (u_ {1} -u_ {2}) \ neq 0}$${\ displaystyle Au = 0}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$${\ displaystyle A ^ {- 1} A = AA ^ {- 1} = E}$

Determinanty

Determinant je speciální funkce, která přiřadí číslo čtvercové matici. Toto číslo poskytuje informace o některých vlastnostech matice. Lze jej například použít k identifikaci, zda lze matici převrátit. Další důležitou aplikací je výpočet charakteristického polynomu a tedy vlastních čísel matice.

Existují uzavřené vzorce pro výpočet determinantů, například Laplaceova věta o expanzi nebo Leibnizův vzorec . Tyto vzorce jsou však spíše teoretické hodnoty, protože jejich úsilí se s většími maticemi prudce zvyšuje. V praxi je nejjednodušší způsob výpočtu determinantů použít Gaussův algoritmus k převodu matice do horního nebo dolního trojúhelníkového tvaru; determinant je pak jednoduše produktem hlavních diagonálních prvků .

příklad

Výše uvedené pojmy by měly být objasněny na příkladu motivovaném Fibonacciho posloupností .

Výpočet výkonů pomocí diagonalizace

Sekvence Fibonacci se rekurzivně definován rovnicemi , a pro , což je synonymem pro ${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f_ {0} = 0}$${\ displaystyle f_ {1} = 1}$${\ displaystyle f_ {n + 1} = f_ {n} + f_ {n-1}}$${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle {f_ {1} \ zvolit f_ {0}} = {1 \ zvolit 0}}$

a

${\ displaystyle {f_ {n + 1} \ zvolit f_ {n}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {f_ {n} \ zvolit f_ {n -1}} \ quad {\ text {pro}} \ quad n \ geq 1}$,

z nichž iterací nerekurzivní vzorec

${\ displaystyle {f_ {n + 1} \ zvolit f_ {n}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ^ {n} \ cdot {1 \ zvolit 0} \ quad {\ text {pro}} \ quad n \ geq 0}$

následuje, ve kterém nastane -tá síla matice . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$

Chování takové matice, když je umocněna, není snadné vidět; na druhé straně je -tá síla diagonální matice vypočítána jednoduše zvýšením každého jednotlivého vstupu v diagonále na mocninu. Pokud existuje invertibilní matice , takže má diagonální tvar, lze exponenciaci zredukovat na umocnění diagonální matice podle rovnice (levá strana této rovnice je potom -tou silou diagonální matice). Obecně lze jeho chování (s umocněním, ale také s jinými operacemi) snáze rozpoznat diagonalizací matice. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T ^ {- 1} AT}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (T ^ {- 1} AT) ^ {n} = T ^ {- 1} A ^ {n} T}$${\ displaystyle n}$

Jestliže jeden chápe se matice lineárního zobrazení , pak je transformační matice je základní změna matice na jinou bázi , tj. (Přičemž identita mapování mapuje každý vektor k sobě). Pak jmenovitě . ${\ displaystyle A = {} _ {v} f_ {v}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle T = {} _ {v} e_ {v '}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle T ^ {- 1} AT = {} _ {v '} f_ {v'}}$

Ve výše uvedeném příkladu lze transformační matici nalézt tak, že ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T ^ {- 1} \ cdot A \ cdot T = {\ begin {pmatrix} \ phi & 0 \\ 0 & 1- \ phi \ end {pmatrix}}}$

je diagonální matice, ve které se vyskytuje zlatý řez. Z toho konečně dostaneme Binetův vzorec : ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

${\ displaystyle f_ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ cdot \ left [\ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ vpravo ) ^ {n} - \ left ({\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) ^ {n} \ right]}$

Vlastní čísla

Jak se dostanete z matice k číslu ? Jeden okamžitě rozpozná z diagonální matice ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ phi & 0 \\ 0 & 1- \ phi \ end {pmatrix}} \ cdot {1 \ choose 0} = {\ phi \ choose 0}}$,

což znamená, že vektor je roven nule vynásobením diagonální matice vynásobením: (přesněji srovnatelné je -facht) . Kvůli této vlastnosti se číslo nazývá vlastní číslo matice (s vlastním vektorem ). V případě diagonálních matic se vlastní hodnoty rovnají položkám v diagonále. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle (T ^ {- 1} AT) u = \ phi u}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle T ^ {- 1} AT}$ ${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ phi}$ale je také vlastním číslem původní matice (s vlastním vektorem , protože ), vlastní čísla zůstanou při transformaci matice nezměněna. Diagonální forma matice vyplývá z jejích vlastních čísel a aby bylo možné najít vlastní hodnoty, je třeba prozkoumat, pro která čísla má lineární systém rovnic řešení jiné než nula (nebo, jinými slovy, matice je není invertibilní). ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle Tu}$${\ displaystyle A (Tu) = \ phi (Tu)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Au = xu}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle xE-A}$

Čísla, která hledáme, jsou přesně ta, která činí determinant matice nula. Toto determinantou je polynom výraz v (tzv charakteristický polynom z ); v případě výše zmíněné matice 2 × 2 to dává kvadratickou rovnici se dvěma řešeními a . Přidružené vlastní vektory jsou řešeními lineárních systémů rovnic nebo tvoří sloupce transformační matice . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle xE-A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -x-1 = 0}$${\ displaystyle x = \ phi}$${\ displaystyle x = 1- \ phi}$${\ displaystyle Au = \ phi u}$${\ displaystyle Au = (1- \ phi) u}$${\ displaystyle T}$

Diagonalita

To, zda lze matici diagonalizovat, závisí na použitém číselném rozsahu. nelze racionalizovat například přes racionální čísla , protože vlastní čísla a iracionální čísla. Diagonalizovatelnost může také selhat bez ohledu na rozsah čísel, pokud není k dispozici „dostatek“ vlastních čísel; tak má Jordanova matice formulářů ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle 1- \ phi}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

pouze vlastní číslo (jako řešení kvadratické rovnice ) a nelze jej diagonalizovat. S dostatečně velkým číselným rozsahem (například nad komplexními čísly ) však může být každá matice diagonalizována nebo transformována do jordánské normální formy . ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle (x-1) ^ {2} = 0}$

Jelikož transformace matice odpovídá změně v základu lineárního mapování, znamená toto poslední tvrzení, že pro lineární mapování s dostatečně velkým číselným rozsahem lze vždy zvolit základnu, která je mapována „jednoduchým způsobem“: V případě diagonalizace se každý bázový vektor stává násobkem sebe sama (je tedy vlastním vektorem); v případě jordánské formy na násobek sebe sama plus případně předchozí základní vektor. Tuto teorii lineárního mapování lze zobecnit na těla, která nejsou „dostatečně velká“; v nich je kromě Jordánské formy třeba brát v úvahu i jiné normální formy (například Frobeniovu normální formu ).

literatura

• Howard Anton: Lineární algebra. Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg, ISBN 978-3-827-40324-7 .
• Albrecht Beutelspacher: Lineární algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 978-3-658-02412-3 .
• Siegfried Bosch: Lineární algebra. Springerova učebnice, ISBN 978-3-540-76437-3 .
• Egbert Brieskorn: Lineární algebra a analytická geometrie. Svazek 1, Vieweg-Verlag, 2012, ISBN 978-3-322-83175-0 .
• Egbert Brieskorn: Lineární algebra a analytická geometrie. Svazek 2, Vieweg-Verlag, 1985, ISBN 978-3-528-08562-9 .
• Theodor Bröcker: Lineární algebra a analytická geometrie. Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-764-37144-9 .
• Gerd Fischer: Lineární algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 978-3-658-03944-8 .
• Günter Gramlich: Lineární algebra. Carl Hanser Verlag, ISBN 978-3-446-44140-8 .
• Günter Gramlich: Aplikace lineární algebry. Carl Hanser Verlag, ISBN 978-3-446-22655-5 .
• Klaus Jänich: Lineární algebra. Springerova učebnice, ISBN 978-3-540-75501-2 .
• Hans-Joachim Kowalsky: Lineární algebra. učebnice de Gruyter, ISBN 978-3-110-17963-7 .
• Burkhard Lenze: Základní znalosti lineární algebry. Springer-Vieweg, 2020, ISBN 978-3-658-29968-2 .
• Jörg Liesen a Volker Mehrmann: Lineární algebra. Springer Spectrum, 2015, ISBN 978-3-658-06610-9
• Falko Lorenz: Lineární algebra. 2 svazky, BI / Spectrum, 2003, ISBN 3-8274-1406-7 .
• Gilbert Strang: Lineární algebra. Springerova učebnice, ISBN 978-0-980-23277-6 .
• Shafarevich Igor, Remizov Alexey: Lineární algebra a geometrie. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9 .

webové odkazy

• Literatura o lineární algebře v katalogu Německé národní knihovny
• Katalog odkazů na téma algebry na curlie.org (dříve DMOZ )
• MIT OpenCourseWare : 34 video lekcí o lineární algebře od profesora Gilberta Strang ; zaznamenané v roce 1999.
• 17 kapitola lineární algebra na: mathproject.de v němčině a angličtině.
• Matematický online kurz - krátké lekce na širokou škálu témat lineární algebry.

Individuální důkazy

1. ^ John Stillwell: Matematika a její historie . Springer, New York, NY 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8 , str. 88-89 , doi : 10.1007 / 978-1-4419-6053-5_6 . 
2. ^ Heinz-Wilhelm Alten : 4000 let algebry. Historie, kultury, lidé . Springer, Berlin a kol. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , str. 335-339 .