Skupinové heslo

V teorii kódování ( informatika ) je skupinový kód speciální kódování, které lze použít pro detekci a opravu chyb . Pro kódování se používá skupina (algebraická struktura).

Kódování

Skupinový kód je blokový kód , což znamená, že všechna kódová slova mají stejnou délku (v dalším textu označíme délku kódových slov ). ${\ displaystyle n}$

Každá skupina abelian se používá jako abecedy pro kódování , obvykle v cyklické skupiny z řádu dva, jako své dva prvky mohou být identifikovány s bity 0 a 1. ${\ displaystyle (A, {\ mathord {+}})}$${\ displaystyle (\ {0,1 \}, {\ mathord {+}})}$

Tyto zdroje kódované slova jsou prvky skupiny . (Všechna slova se symboly z délky ) ${\ displaystyle (A, {\ mathord {+}}) ^ {k}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$

Pro kódování skupiny je vybrán injektivní homomorfismus . Obraz je podmnožina of . ${\ displaystyle (A, {\ mathord {+}}) ^ {k}}$ ${\ displaystyle f \ colon (A, {\ mathord {+}}) ^ {k} \ to (A, {\ mathord {+}}) ^ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (C, {\ mathord {+}})}$${\ displaystyle (A, {\ mathord {+}}) ^ {n}}$

${\ displaystyle C}$je kód skupiny. přidružená funkce kódování. ${\ displaystyle f}$

Na rozdíl od „libovolných“ kódování, každé kódové slovo se nebude muset být specifikován (uloženy) samostatně, ale stačí definovat na systém generující o skupiny . Kódování zbývajících prvků lze poté vypočítat pomocí jejich zastoupení jako součtu generujících prvků. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (A, {\ mathord {+}}) ^ {k}}$

Příklady

příklad 1

skupina ${\ displaystyle (\ {0,1 \}, {\ mathord {+}})}$

Zdrojové kódování: ${\ displaystyle (\ {0,1 \}, {\ mathord {+}}) ^ {3}}$

generování systém: , ,${\ displaystyle e_ {1} = (1,0,0)}$${\ displaystyle e_ {2} = (0,1,0)}$${\ displaystyle e_ {3} = (0,0,1)}$

Kódování: , ,${\ displaystyle f (e_ {1}) = (1,1,0,0,0)}$${\ displaystyle f (e_ {2}) = (0,0,1,1,0)}$${\ displaystyle f (e_ {3}) = (1,0,1,0,1)}$

Nyní buďte slovo ve zdrojovém kódování. Při výpočtu kódování postupujte následovně: ${\ displaystyle c = (1,0,1)}$${\ displaystyle f (c)}$

Jeden představuje jako součet generujících prvků:${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c = (1,0,1) = e_ {1} + e_ {3}}$

a poté vypočítá součet kódů stejných ${\ displaystyle f (c) = f (e_ {1}) + f (e_ {3}) = (1,1,0,0,0) + (1,0,1,0,1) = (0 , 1,1,0,1)}$

Příklad 2

Skupina , Kleinová skupina čtyř${\ displaystyle (\ {0,1, x, x + 1 \}, {\ mathord {+}})}$

Zdrojové kódování: ${\ displaystyle (\ {0,1, x, x + 1 \}, {\ mathord {+}}) ^ {2}}$

generování systém: , , ,${\ displaystyle e_ {1} = (1,0)}$${\ displaystyle e_ {2} = (x, 0)}$${\ displaystyle e_ {3} = (0,1)}$${\ displaystyle e_ {4} = (0, x)}$

Kódování: , , ,${\ displaystyle f (e_ {1}) = (1,0,0)}$${\ displaystyle f (e_ {2}) = (1,1,0)}$${\ displaystyle f (e_ {3}) = (x, 1,1)}$${\ displaystyle f (e_ {4}) = (0,0, x)}$

Nyní buďte slovo ve zdrojovém kódování. ` ` ${\ displaystyle c = (1, x + 1)}$${\ displaystyle c = e_ {1} + e_ {3} + e_ {4}}$${\ displaystyle f (c) = f (e_ {1}) + f (e_ {3}) + f (e_ {4}) = (1,0,0) + (x, 1,1) + (0 , 0, x) = (x + 1,1, x + 1)}$

charakteristiky

Skupinové kódy mají následující vlastnosti:

• Kódová slova tvoří skupinu
• V případě kódu binární skupiny je rozdělení vzdálenosti stejné pro všechna kódová slova a také stejné jako rozdělení hmotnosti.
• Každý kód skupiny obsahuje „ nulový vektor “ jako platné kódové slovo.
• Váha skupinového kódu je definována jako nejmenší váha kódového slova ( Hammingova váha ) kromě váhy nulového vektoru.
• V případě binárních skupinových kódů odpovídá Hammingova vzdálenost hmotnosti kódu.

Viz také

• Lineární kód je kódování, ve kterém je konečné pole použita namísto skupiny .