Kvadratická rovnice

Kvadratická rovnice je rovnice , která je ve formě

${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0 \ quad}$

s pojďme psát. Zde jsou koeficienty ; je neznámé . Pokud existuje také , hovoří se o čistě čtvercové rovnici . ${\ Displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle a, b, c}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b = 0}$

Vaše řešení lze najít pomocí vzorce

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

určit. V doméně reálných čísel může mít kvadratická rovnice nula, jedno nebo dvě řešení. Pokud je výraz pod kořenem záporný, neexistuje řešení; pokud je nula, existuje řešení; pokud je pozitivní, existují dvě řešení.

Na levé straně této rovnice je termín v kvadratické funkce (obecněji: a polynom druhého stupně ) ,; funkce graf této funkce v systému kartézských souřadnic je parabola . Geometricky je kvadratická rovnice popisuje na nuly této paraboly. ${\ Displaystyle f (x) = sekera ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle f (x) = 0}$

Obecný tvar - normální tvar - nulový tvar

Obecná forma kvadratické rovnice je

${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0 \ qquad (a \ neq 0) \.}$

To znamená kvadratický člen, lineární člen a konstantní člen (nebo také absolutní člen ) rovnice. ${\ Displaystyle sekera ^ {2}}$ ${\ displaystyle bx}$ ${\ displaystyle c}$

Rovnice je v normální formě , pokud má kvadratický člen koeficient 1. Normální forma může být získána z obecné formy ekvivalentní transformací podle dělením. S definicí ${\ displaystyle a = 1}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$

${\ displaystyle p = {\ frac {b} {a}}}$   a   ${\ displaystyle \ displaystyle q = {\ frac {c} {a}}}$

normální formu lze tedy zapsat jako

${\ Displaystyle x ^ {2} + px + q = 0 \.}$

Pokud je na jedné straně rovnice 0, říká se tomu také nulová forma .

V následujícím textu, kvadratické rovnice s reálnými čísly as koeficienty , a nebo ve formě a jsou považovány jako první. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Řešení kvadratické rovnice s reálnými koeficienty

Řešení kvadratické rovnice je číslo, které po nahrazení splňuje rovnici . Pokud jsou jako řešení povolena komplexní čísla , má každá kvadratická rovnice přesně dvě (možná shodná) řešení, nazývaná také kořeny rovnice . Pokud se podíváte pouze na reálná čísla, kvadratická rovnice má řešení od nuly do dvou. ${\ displaystyle x}$

Počet skutečných nul

Počet řešení může být určen pomocí tzv diskriminační (z latinského „discriminare“ = „Rozlišovat“). V obecném případě v normalizovaném případě (odvození viz níže): ${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle D = b ^ {2} -4ac}$${\ displaystyle D = p ^ {2} -4q}$

Obrázek ukazuje vztah mezi počtem skutečných nul a diskriminujícím:

• A.Diskriminační pozitivní: Parabola má dva body průsečíku s -osou, takže existují dvě různé skutečné nuly a${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2} \.}$
• B. Diskriminační nula: Parabola má přesně jeden bod kontaktu s osou, a to s jejím vrcholem . Existuje tedy přesně jedno (dvojité) skutečné řešení. Kvadratickou rovnici lze redukovat na formu .${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$${\ Displaystyle a \ cdot (x-x_ {1}) ^ {2} = 0}$
• C.Negativní diskriminační: parabola nemá průsečík s -osou, neexistuje žádná skutečná řešení kvadratické rovnice. Pokud povolíte komplexní čísla jako základní sadu řešení, získáte dvě různá komplexní řešení. Ty jsou navzájem spojeny , to znamená, že mají stejnou skutečnou část a jejich imaginární části se liší pouze svým znamením .${\ displaystyle x}$

Jednoduché speciální případy

Pokud je koeficient lineárního členu nebo absolutního členu , lze kvadratickou rovnici vyřešit jednoduchými ekvivalenčními transformacemi bez potřeby obecného vzorce. ${\ displaystyle b = 0}$${\ displaystyle c = 0}$

Chybí lineární odkaz

All-čtvercový rovnice s je ekvivalentní ${\ Displaystyle sekera ^ {2} + c = 0}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$

${\ Displaystyle x ^ {2} = - {\ frac {c} {a}} \.}$

Řešení jsou

${\ Displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {- {\ frac {c} {a}}}} \.}$

V případě existují dvě řešení. V případě neexistují žádná skutečná řešení pro. Komplexní řešení jsou pak ${\ displaystyle a \, c <0 \,}$${\ displaystyle a \, c> 0 \,}$${\ displaystyle {\ tfrac {c} {a}}> 0}$

${\ Displaystyle x_ {1,2} = \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {c} {a}}} \.}$

Rovnice má například řešení . Rovnice nemá žádná skutečná řešení, což jsou komplexní řešení${\ displaystyle x ^ {2} -3 = 0}$${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {3}}}$${\ Displaystyle 2x ^ {2} + 8 = 0}$${\ Displaystyle x_ {1,2} = \ pm 2 \ mathrm {i}}$

Případ a kvůli němu , tj. Dvojité řešení, existuje pouze pro rovnice typu s a čte . ${\ displaystyle a \, c = 0}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle c = 0 \,}$${\ Displaystyle ax ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle x_ {1,2} = 0}$

Chybí konstantní termín

Z rovnice , faktoringem , tj. tj. musí nebo platí. Obě řešení tedy jsou ${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx = 0}$${\ Displaystyle x (ax + b) = 0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle sekera + b = 0}$

${\ displaystyle x_ {1} = 0}$ a ${\ displaystyle x_ {2} = - {\ tfrac {b} {a}} \.}$

Rovnice má například řešení a${\ Displaystyle 3x ^ {2} -2x = 0}$${\ displaystyle x_ {1} = 0}$${\ displaystyle x_ {2} = {\ tfrac {2} {3}} \.}$

Rovnice ve vrcholové formě

Tvar vrcholu

${\ Displaystyle a (xd) ^ {2} + e = 0}$

je variací celé čtvercové rovnice . Lze to vyřešit takto „zpětným výpočtem“: Nejprve odečtete a rozdělíte podle . tohle vede k ${\ Displaystyle sekera ^ {2} + c = 0}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle (xd) ^ {2} = - {\ frac {e} {a}} \.}$

Neboť z toho vyplývá ${\ displaystyle - {\ frac {e} {a}} \ geq 0}$

${\ Displaystyle xd = \ pm {\ sqrt {- {\ frac {e} {a}}}}}$

Roztoky se získají přidáním${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle x_ {1} = d + {\ sqrt {- {\ frac {e} {a}}}}}$ a ${\ Displaystyle x_ {2} = d - {\ sqrt { - {\ frac {e} {a}}}} \.}$

Tyto dva komplexní řešení se odpovídajícím způsobem získány ${\ displaystyle - {\ frac {e} {a}} <0}$

${\ Displaystyle x_ {1} = d + \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {e} {a}}}}$ a ${\ Displaystyle x_ {2} = d- \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {e} {a}}} \.}$

Příklad:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} 3 (x-2) ^ {2} -5 & = 0 && | +5 ;: 3 \\ (x-2) ^ {2} & = {\ frac {5} {3}} && | \ pm {\ sqrt {\}} \\ x-2 & = \ pm {\ sqrt {\ frac {5} {3}}} && | +2 \\ x & = 2 \ pm {\ sqrt {\ frac {5} {3}}} \ end {aligned}}}$

Řešte pomocí čtvercového prodloužení

Při řešení s kvadratickým dokončováním se binomické vzorce používají k přivedení kvadratické rovnice v obecné formě nebo v normální formě do vrcholové formy, kterou lze pak snadno vyřešit.

Ve formuláři je použit první nebo druhý binomický vzorec ${\ Displaystyle (x \ pm d) ^ {2} = x ^ {2} \ pm 2dx + d ^ {2} \.}$

Za tímto účelem se kvadratická rovnice transformuje tak, aby levá strana měla tvar . Poté sečtěte na obou stranách . Toto je „čtvercový přídavek“. Levá strana má nyní tvar a lze ji převést na pomocí binomického vzorce . Potom je rovnice ve snadno vyřešené vrcholové formě. ${\ Displaystyle x ^ {2} \ pm 2dx}$${\ displaystyle d ^ {2}}$${\ Displaystyle x ^ {2} \ pm 2dx + d ^ {2}}$${\ Displaystyle (x \ pm d) ^ {2}}$

To lze nejlépe vysvětlit pomocí konkrétního numerického příkladu. Je vzata v úvahu kvadratická rovnice

${\ Displaystyle 3x ^ {2} -15x + 18 = 0 \.}$

Nejprve je rovnice normalizována dělením předním koeficientem (zde 3):

${\ Displaystyle x ^ {2} -5x + 6 = 0 \.}$

Konstantní člen (zde 6) se odečte na obou stranách:

${\ Displaystyle x ^ {2} -5x = -6 \.}$

Nyní následuje skutečné přidání čtverce: Levá strana musí být vyplněna takovým způsobem, aby bylo možné použít binomický vzorec (zde druhý) zpět. Že z výše uvedeného binomického vzorce je pak , takže obě strany rovnice musí být přidány: ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}}}$${\ Displaystyle d ^ {2} = \ left ({\ tfrac {5} {2}} \ right) ^ {2}}$

${\ Displaystyle x ^ {2} -5x + \ left ({\ frac {5} {2}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {5} {2}} \ right) ^ { 2} -6 \.}$

Levá strana je přetvořena podle binomického vzorce, pravá strana je zjednodušena:

${\ Displaystyle \ left (x - {\ frac {5} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {4}} \.}$

tohle vede k

${\ displaystyle x - {\ frac {5} {2}} = \ pm {\ frac {1} {2}}}$ ,

tedy ke dvěma řešením a${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {5} {2}} + {\ frac {1} {2}} = 3}$${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {5} {2}} - {\ frac {1} {2}} = 2 \.}$

Obecné vzorce řešení

Kvadratické rovnice lze také vyřešit pomocí jednoho z obecných vzorců řešení odvozených pomocí kvadratického dokončení.

Řešení pro obecnou kvadratickou rovnici ( abc vzorec)

Řešení obecné kvadratické rovnice jsou: ${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$

${\ Displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \.}$

Vzorec je v částech Německa a Švýcarska hovorově známý jako „půlnoční vzorec“, protože studenti by ho měli umět recitovat, i když je vzbudíte o půlnoci a požádáte o vzorec . V Rakousku se používá výraz velký vzorec .

Alternativní formy

Alternativní formulace vzorce abc, které jsou více podobné níže uvedenému vzorci pq, jsou:

${\ Displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b} {2a}} \ pm {\ sqrt {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}}} = -{ \ frac {\ b} {2a}} \ pm {\ sqrt {\ left ( - {\ frac {\ b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {c} {a}}} } \}$

Pokud do formuláře vložíte kvadratickou rovnici

${\ Displaystyle ax ^ {2} +2 \ beta x + c = 0}$

označuje (tj. s ), získá se poněkud jednodušší vzorec řešení: ${\ displaystyle \ beta = b / 2}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac { - \ beta \ pm {\ sqrt {\ beta ^ {2} -ac}}} {a}}}$

Rozšířením vzorce abc o výraz se získá vzorec, který lze použít také pro lineární případ , ale který již nemůže poskytnout výpočet řešení z důvodu dělení nulou. V obou případech není vzorec řešení stejně vyžadován. U velmi malých částek je však alternativní forma odolnější než numerické zrušení. ${\ displaystyle -b \ mp {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle x = {\ frac {-b} {a}}}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {\ left (-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} \ right) \ cdot \ left (-b \ mp {\ sqrt { b ^ {2} -4ac}} \ right)} {2a \ cdot \ left (-b \ mp {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} \ right)}}} = {\ frac {2c} { -b \ mp {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}}}}$

Řešení vzorce abc v případě negativního diskriminátoru

Pokud je výše uvedený diskriminační prvek záporný, musí být pro řešení vypočítán kořen záporného čísla. V rozsahu čísel skutečných čísel pro to neexistují žádná řešení. V oblasti komplexních čísel platí následující . Tento termín určuje imaginární část dvou konjugovaných řešení, jedno s kladným, druhé se záporným znaménkem. Termín před ním se stává konstantní skutečnou součástí těchto dvou řešení: ${\ Displaystyle D = b ^ {2} -4ac}$${\ displaystyle {\ sqrt {D}} = i {\ sqrt {-D}}}$${\ displaystyle - {\ tfrac {b} {2a}}}$

${\ Displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {b} {2a}} \ pm i \ cdot {\ frac {\ sqrt {4ac -b ^ {2}}} {2a}}}$ (složitý případ s negativním diskriminátorem).

${\ Displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {\ b} {2a}} \ pm i \ cdot {\ sqrt {{\ Big |} \ left ( - {\ frac {\ b} {2a} } \ right) ^ {2} - {\ frac {c} {a}} {\ Big |}}} \.}$

Odvození vzorce abc

Obecný tvar je výsledkem přetváření podle metody dokončení čtverce :

${\ Displaystyle {\ begin {array} {rcll} ax ^ {2} + bx + c & = & 0 & | -c \\ [1ex] ax ^ {2} + bx & = & - c & | {} \ cdot 4a \\ [1ex] 4a ^ {2} x ^ {2} + 4abx & = & - 4ac & | + b ^ {2} {\ text {(čtvercová přípona)}} \\ [1ex] (2ax ) ^ {2} +2 \ cdot 2ax \, b + b ^ {2} & = & b ^ {2} -4ac & | {\ text {Přetváření s binomickým vzorcem}} \\ [1ex] (2ax + b ) ^ {2} & = & b ^ {2} -4ac & | \ pm {\ sqrt {\ quad}} \\ [1ex] 2ax + b & = & \ pm {\ sqrt {b ^ {2} - 4ac}} & | -b \\ [1ex] 2ax & = & -b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} & |: (2a) \\ [1ex] x & = & {\ dfrac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} {2a}} & \ end {array}}}$

Příklad výpočtu

Je uvedena kvadratická rovnice

${\ Displaystyle x ^ {2} -x -1 = 0}$.

Tady je a . Pokud tyto hodnoty vložíte do vzorce abc, získáte řešení ${\ Displaystyle a = 1, b = -1}$${\ Displaystyle c = -1}$

${\ Displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} = {\ frac {- (- 1) \ pm {\ sqrt {(-1) ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot (-1)}}}} {2 \ cdot 1}} = {\ frac {1 \ pm {\ sqrt {5}}} {2} }}$.

Vzorec řešení pro normální formu ( pq vzorec)

Pokud je přítomna normální forma , řešení podle vzorce pq jsou : ${\ Displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

${\ Displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {p} {2}} \ right) ^ {2} -q} }}$

V Rakousku je tento vzorec známý jako vzorec malého roztoku .

Řešení vzorce pq v případě negativního diskriminátoru

Stejně jako u vzorce abc platí , že pokud je záporné, ve skutečném číselném rozsahu nejsou žádná řešení. Komplexní řešení pak vedou k: ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} D = \ left ({\ tfrac {p} {2}} \ right) ^ {2} -q}$

${\ Displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {p} {2}} \ pm i \ cdot {\ sqrt {q- \ left ({\ frac {p} {2}} \ right) ^ { 2}}}}$

Odvození vzorce pq

Vzorec vychází z normální formy kvadratické rovnice přidáním čtverce :

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcll} x ^ {2} + px + q & = & 0 & | -q \\ [1ex] x ^ {2} + px & = & - q & | + \ vlevo ({\ dfrac {p} {2}} \ vpravo) ^ {2} {\ text {(čtvercová přípona)}} \\ [1ex] x ^ {2} +2 \ cdot {\ dfrac {p} { 2}} \ x + \ left ({\ dfrac {p} {2}} \ right) ^ {2} & = & \ left ({\ dfrac {p} {2}} \ right) ^ {2} - q & | {\ text {binomický vzorec}} \\ [1ex] \ left (x + {\ dfrac {p} {2}} \ right) ^ {2} & = & \ left ({\ dfrac {p} {2}} \ right) ^ {2} -q & | {\ text {take root}} \\ [1ex] \ left | x + {\ dfrac {p} {2}} \ right | & = & { \ sqrt {\ left ({\ dfrac {p} {2}} \ right) ^ {2} -q}} & | {\ text {rozpustit částku}} \\ [1ex] x + {\ dfrac {p} {2}} & = & \ pm {\ sqrt {\ left ({\ dfrac {p} {2}} \ right) ^ {2} -q}} & | - {\ dfrac {p} {2}} \\ [1ex] x & = & - {\ dfrac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ dfrac {p} {2}} \ right) ^ {2} -q}} \ end {array}}}$

Další možností, jak odvodit vzorec, je ten, který je ve vzorci abc , a nastaví jmenovatele a 2 kresby do kořene. ${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle b = p}$${\ displaystyle c = q}$

Rozklad na lineární faktory

Pomocí řešení lze kvadratický normalizovaný polynom rozdělit na lineární faktory:

${\ Displaystyle x ^ {2} + px + q = (x-x_ {1}) \ cdot (x-x_ {2})}$

a nestandardizované v

${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ cdot (x-x_ {1}) \ cdot (x-x_ {2}) \.}$

Věta Vieta

Pokud je kvadratická rovnice v normální formě a má řešení a , pak platí ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

${\ Displaystyle 0 = x ^ {2} + px + q = (x-x_ {1}) \ cdot (x-x_ {2}) = x ^ {2}-(x_ {1} + x_ {2} ) x + x_ {1} x_ {2} \.}$

By porovnání koeficientů , kdo získá vieta teorém

${\ displaystyle \, x_ {1} + x_ {2} = - p}$ a ${\ Displaystyle x_ {1} \ cdot x_ {2} = q \.}$

Zejména pokud a jsou celá čísla , vyzkoušením, zda dvojice dělitelů výsledku jako součet , lze řešení často rychle najít s trochou praxe. Například se získá za roztoky a rozkladem pomocí${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle -p}$${\ Displaystyle x ^ {2} + 4x + 3 = 0}$${\ displaystyle x_ {1} = - 1}$${\ displaystyle x_ {2} = - 3}$${\ Displaystyle 3 = (- 1) (- 3)}$${\ Displaystyle (-1) + (- 3) =- 4 \.}$

Numerický výpočet

Pokud jsou řešení stanovena číselně a liší se řádově, lze problému vyhynutí zabránit změnou výše uvedených vzorců následujícím způsobem:

${\ Displaystyle x_ {1} = - {\ frac {p} {2}} - \ operatorname {sgn} (p) \ cdot {\ sqrt {\ left ({\ frac {p} {2}} \ right) ^ {2} -q}}}$

${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {q} {x_ {1}}}}$

Zde má hodnotu pro a jinak má hodnotu . První vzorec poskytuje největší řešení. Druhý vzorec je založen na Vietově větě . ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (p)}$${\ Displaystyle -1}$${\ displaystyle p <0}$${\ displaystyle 1}$

Příklady

Příklad výpočtu

Pro rovnici

${\ displaystyle 4x ^ {2} -12x -40 = 0}$

výsledek jako řešení podle vzorce abc

${\ Displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-(-12) \ pm {\ sqrt {(-12) ^ {2} -4 \ cdot 4 \ cdot (-40)}}} {2 \ cdot 4}}}$ ,

tak a${\ displaystyle x_ {1} = - 2}$${\ displaystyle x_ {2} = 5 \.}$

Chcete -li použít vzorec pq , obecný tvar se nejprve převede na normální tvar vydělením rovnice číslem 4:

${\ Displaystyle x ^ {2} -3x -10 = 0 \.}$

K řešení vyplývají z pq vzorce

${\ Displaystyle x_ {1,2} = -{\ frac {-3} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {-3} {2}} \ right) ^ {2} - (-10)}}}$ ,

tedy také a${\ displaystyle x_ {1} = - 2}$${\ displaystyle x_ {2} = 5 \.}$

S pomocí těchto rozkladů a jeden dostane stejné řešení s vieta teorému. ${\ displaystyle -10 = ( - 2) \ cdot 5}$${\ displaystyle 5-2 = 3}$

Další příklady

• ${\ Displaystyle x ^ {2} + 2x-35 = 0}$
  Za diskriminační platí: . Dvě skutečná řešení a výsledek${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D> 0}$${\ displaystyle x_ {1} = - 7}$${\ displaystyle x_ {2} = 5 \.}$
• ${\ Displaystyle x ^ {2} -4x + 4 = 0}$
  Diskriminační je . (Dvojité) skutečné řešení je${\ displaystyle D = 0}$${\ Displaystyle x = 2 \.}$
• ${\ Displaystyle x ^ {2} + 12x + 37 = 0}$
  Neexistují žádná skutečná řešení, protože diskriminant je negativní. Komplexní řešení vyplývají z a${\ displaystyle x_ {1} = - 6 + i}$${\ Displaystyle x_ {2} = - 6 -i \.}$

Zobecnění

Komplexní koeficienty

Kvadratická rovnice

${\ Displaystyle az ^ {2} + bz + c = 0}$

s komplexními koeficienty , má vždy dvě komplexní řešení , které se shodují pouze v případě discriminant nulová. ${\ Displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$${\ Displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle b ^ {2} -4ac}$

Stejně jako ve skutečném případě lze řešení vypočítat přidáním čtverce nebo pomocí výše uvedených vzorců řešení. Obecně je však třeba vypočítat odmocninu komplexního čísla .

příklad

Pro kvadratickou rovnici

${\ Displaystyle z ^ {2} - (\ mathrm {i} +1) z + \ mathrm {i} = 0}$

diskriminátor má hodnotu . Ta dvě řešení a výsledek${\ Displaystyle D = -2 \ mathrm {i} = (\ mathrm {i} -1) ^ {2}}$${\ displaystyle z_ {1} = 1}$${\ Displaystyle z_ {2} = \ mathrm {i} \.}$

Kvadratické rovnice v obecných prstencích

Obecně platí, že v abstraktní algebře se nazývá rovnice formy

${\ Displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

s prvky p , q a těla nebo kroužek s kvadratickou rovnici . V pevných látkách a obecněji v oblastech integrity má nejvýše dvě řešení, v libovolných prstencích může mít více než dvě řešení.

Pokud existují řešení, získají se také v komutativních kruzích se vzorcem pq, pokud charakteristika kruhu není rovná 2. Zde je však třeba vzít v úvahu všechny možné odmocniny diskriminátora. Pro konečného pole charakteristiky 2 podmiňuje přístup a předává prostřednictvím na systému lineárních rovnic pro n koeficienty _i od . ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {2 ^ {n}} \ cong \ mathbb {F} _ {2} (\ varrho)}$${\ Displaystyle x = \ textstyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} \ varrho ^ {i}}$${\ Displaystyle x ^ {2} = \ textstyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} \ varrho ^ {2i}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

příklad

Kvadratická rovnice

${\ Displaystyle x ^ {2} -1 = 0}$

má čtyři řešení 1, 3, 5 a 7 v prstenci zbývající třídy . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 8 \ mathbb {Z}}$

příběh

Již před 4000 lety byly ve starobabylonské říši vyřešeny problémy, které jsou ekvivalentní kvadratické rovnici. Například hliněná tabulka archivovaná pod inventárním číslem BM 34568 v Britském muzeu podle klínového překladu úspěšného Otto Neugebauera ve 30. letech 20. století obsahuje jako devátý problém otázku délky stran obdélníku, kde součet délky a šířka je 14 a tato plocha se rovná 48.

Dráha řešení zdokumentovaná na hliněné tabulce neodhaluje žádné ospravedlnění, ale mezilehlé hodnoty, jako jsou ty, které se objevují v obvyklém vzorci řešení nebo ekvivalentních geometrických úvahách:

Mezilehlé hodnoty uvedené v textu, které jsou zaznamenány na hliněné tabulce v babylonském sexigesimálním systému, také vznikají, když je příslušná kvadratická rovnice vyřešena obvyklým vzorcem řešení. Získají se dvě řešení 8 a 6, která geometricky odpovídají dvěma hledaným délkám stran obdélníku: ${\ Displaystyle x ^ {2} -14x + 48 = 0}$

${\ Displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {14 \ pm {\ sqrt {196-192}}} {2}} = {\ frac {14 \ pm 2} {2}} \.}$

Podle Høyrupa lze předpokládat, že přístup Babyloňanů k řešení citovaných a podobných úkolů jako úkoly byl geometricky motivovaný.

Staří Řekové řešili různé geometrické úlohy, které jsou ekvivalentní kvadratickým rovnicím. Například v Euclidových prvcích je problém:

V dnešním zápisu úkol odpovídá rovnici

${\ Displaystyle a (ax) = x ^ {2}}$ ,

které lze převést na rovnici

${\ Displaystyle x ^ {2} + sekera = a ^ {2} \.}$

V knize Brāhmasphuṭasiddhānta („Dokonalost učení Brahmy “) od indického učence Brahmagupty , která byla napsána kolem roku 628 n. L. , Byly metody řešení kvadratických rovnic popsány verbálně. Brahmagupta již používal záporná čísla a jejich pravidla výpočtu jako např

To umožnilo Brahmaguptě vyhnout se rozlišování případů, když se obrátil na kvadratickou rovnici, která je nyní ve tvaru

${\ Displaystyle a {x} ^ {2} + bx = c}$  s a${\ Displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a> 0}$

poznamenal, popsal následující řešení:

To odpovídá vzorci řešení

${\ Displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}} \.}$

Stejně jako „arabské“ -indické číslice , nálezy indických učenců našly jejich šíření a další rozvoj prostřednictvím islámských učenců. Obzvláště prominentní roli sehrál matematik Al-Chwarizmi , jehož kniha al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala („Stručná kniha o výpočetních metodách doplňováním a vyvažováním“) obsahuje jako první časové obecné techniky pro zpracování rovnic, i když jsou stále popisovány slovně. S ekvivalentními transformacemi rovnic, které Al-Chwarizmi podrobně popsal, by jakákoli kvadratická rovnice mohla být redukována na jeden ze šesti typů. Bylo zapotřebí šest typů, protože na rozdíl od Brahmagupty Al-Khwarizmi nepoužíval záporná čísla.

Al-Chwarizmiho kniha obsahuje metodu geometrického řešení pro všechny typy na základě numerického příkladu, takže jsou možná pouze pozitivní řešení. V následujícím seznamu root znamená řešení, které hledáte, a bohatství druhé mocniny řešení . Kromě toho, a označují nezáporná koeficienty:${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle c}$

• Pokud jde o bohatství, které se rovná kořenům (dnes :) ,${\ Displaystyle ax ^ {2} = bx}$
• Pokud jde o bohatství, která se rovnají číslu (dnes :) ,${\ Displaystyle sekera ^ {2} = c}$
• Pokud jde o kořeny, které se rovnají číslu (dnes :) ,${\ displaystyle bx = c}$
• Pokud jde o bohatství a kořeny, které se rovnají číslu (dnes :) ,${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx = c}$
• Pokud jde o štěstí a počet, které se rovnají kořenům (dnes :) a${\ Displaystyle ax ^ {2} + c = bx}$
• Pokud jde o kořeny a počet, které se rovnají bohatství (dnes :) .${\ Displaystyle ax ^ {2} = bx + c}$

K vyřešení kvadratických rovnic nepoužil al-Chwarizmi žádné ekvivalenční transformace, tedy žádnou algebraickou argumentaci, ale geometrické argumenty založené na řecké tradici. Jako příklad lze uvést rovnici, která se vyskytuje v al-Khwarizmi ,

${\ Displaystyle x ^ {2} + 10x = 39}$

jako speciální případ že řeší geometricky (viz obrázek). Levá strana rovnice je chápána jako čtverec EFIH délky strany (a tedy plochy ) a dvou obdélníků DEHG a BCFE se stranami a (a tedy v každém případě oblastí ). Čtverec a dva obdélníky se spojí, jak je znázorněno na obrázku, a vytvoří gnomon s rohovými body BCIGDE. Podle předpokladu má tento gnomon rozlohu . Pokud do čtverce ACIG přidáte čtverec ABED délky strany (a tím i plochy ), pak má tato plocha . Na druhou stranu však podle konstrukce má tento čtvercový ACIG délku strany a tím i plochu . Kvůli jednomu se zavře a tím . Kvadratická rovnice je tak „doplněna“ (kladným) řešením . Všimněte si, že tato geometrická metoda neposkytuje negativní řešení . ${\ Displaystyle x ^ {2} + px = q}$${\ displaystyle p, q> 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 5x}$${\ Displaystyle x ^ {2} + 10x = 39}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle 25}$${\ displaystyle 39 + 25 = 64}$${\ displaystyle 5 + x}$${\ displaystyle (5 + x) ^ {2}}$${\ displaystyle 64 = 8 ^ {2}}$${\ displaystyle 5 + x = 8}$${\ displaystyle x = 3}$${\ displaystyle (x + 5) ^ {2} = 64}$${\ displaystyle x = 3}$${\ displaystyle x = -13}$

S Heronem z Alexandrie a také s al-Khwarizmi je řešení dáno

${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx = c}$

popsáno slovně; v dnešním zápisu jako

${\ Displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {ac + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2}}} - {\ frac {b} {2}}} { a}} \.}$

Heron však přidává euklidovský způsob jako geometrické ospravedlnění.

Kolem roku 1145 přeložil Robert von Chester a o něco později Gerhard von Cremona spisy al-Chwarizmi do latiny.

To přineslo klasifikaci a metody geometrického řešení do Evropy.

Michael Stiefel napsal v roce 1544 n. L. Knihu Arithmetica integra, která vychází z knihy Behend vnnd Hubsch , založené na důmyslných pravidlech algebry, které Christoph Rudolff běžně říká Coss . Použitím záporných čísel se autorovi daří vyhnout se rozlišování velkých a malých písmen pro kvadratické rovnice. Negativní čísla ale zatím jako řešení nepřipouští, protože je považuje za absurdní.

Nový přístup k řešení kvadratické rovnice nabídla Vietina věta o kořenech , která byla posmrtně publikována v roce 1615 v jeho díle De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo .

V roce 1637 René Descartes popsal ve své práci La Géométrie metodu řešení kvadratických rovnic pomocí kompasů a pravítka . Dále ukázal, že rovnice vyšších úrovní obecně nelze vyřešit pouhým pravítkem a kompasem.

Viz také

• Lineární rovnice
• Kubická rovnice
• Kvartická rovnice

literatura

• Bartel Leendert van der Waerden: Awakening Science . Volume 1: Egyptian, Babylonian and Greek Mathematics . 2. vydání. Birkhäuser 1966.

webové odkazy

• Video: Z řešení kvadratických rovnic - pq formule a půlnoční formule a Vietova věta . Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zpřístupněn Knihovnou technických informací (TIB), doi : 10,5446 / 17884 .

Individuální důkazy

1. ↑ Heiko Tallig: Aplikační matematika pro ekonomy . Oldenbourg, Mnichov, Vídeň 2006, ISBN 978-3-486-57920-8 , s. 29 ( omezený náhled ve Vyhledávání knih Google [přístup 29. prosince 2020]). 
2. ↑ Guido Walz: Rovnice a nerovnice: prostý text pro nematematiky . Springer, 2018, ISBN 9783658216696 , s. 14.
3. ^ ^{A b} Franz Embacher: Kvadratické rovnice . Skript na mathe-online.at.
4. ↑ Toto je prvních pět řádků pravého sloupce. Viz foto na webových stránkách Britského muzea ( celý popis ).
5. ↑ Otto Neugebauer: Prameny a studie z dějin matematiky, astronomie a fyziky, oddíl A: Zdroje, třetí svazek, třetí část , Berlín 1937, s. 14–22 a tabulka 1.
6. ↑ Číselné znaky textu hliněné tabulky jsou vysvětleny v Jörg Bewersdorff : Algebra pro začátečníky: Od řešení rovnic k Galoisově teorii , 6. vydání, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1 , doi: 10,1007 / 978-3-658 -26152-8 , s. 4 ve vyhledávání knih Google.
7. ↑ Jens Høyrup: Délky, šířky, povrchy: Portrét staré babylonské algebry a jejích příbuzných. New York 2002, s. 393-395, ISBN 978-1-4419-2945-7 , doi: 10,1007 / 978-1-4757-3685-4 .
8. ^ I. Todhunter : Prvky Euclid. Toronto 1869, s. 66, online na archive.org.
9. ↑ ^{a b} Citováno z překladu Jörga Bewersdorffa. Algebra pro začátečníky: Od řešení rovnic k Galoisově teorii. 6. vydání, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1 , doi: 10.1007 / 978-3-658-26152-8 , s. 6 f.
10. ↑ Hans Wußing : 6000 let matematiky -svazek 1. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , s. 237-241, doi: 10.1007 / 978-3-540-77192-0 .
11. ^ Helmuth Gericke : Matematika ve starověku, Orient a Occident . 7. vydání. Fourier Verlag, 2003, ISBN 3-925037-64-0 , s. 198.
12. ↑ Louis Charles Karpinski: latinský překlad Algebry al-Khowarizmi od Roberta Chestera. London 1915, s. 77-83, online na archive.org .
13. ↑ Hans Wußing : 6000 let matematiky -svazek 1. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , s. 278, doi: 10.1007 / 978-3-540-77192-0 .
14. ↑ Hans Wußing : 6000 let matematiky -svazek 1. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , s. 341–342, doi: 10.1007 / 978-3-540-77192-0 .