Nullelement - Zero element

In der Mathematik ist ein Nullelement eine von mehreren Verallgemeinerungen der Zahl Null auf andere algebraische Strukturen . Diese alternativen Bedeutungen können sich je nach Kontext auf dasselbe reduzieren oder nicht.

Additive Identitäten

Eine additive Identität ist das Identitätselement in einer additiven Gruppe . Es entspricht dem Element 0, so dass für alle x in der Gruppe 0 + x = x + 0 = x ist . Einige Beispiele für additive Identität sind:

• Der Nullvektor unter Vektoraddition : der Vektor der Länge 0 und dessen Komponenten alle 0 sind. Wird oft als oder bezeichnet . ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$${\ displaystyle {\ vec {0}}}$
• Die Nullfunktion oder Nullkarte, definiert durch z ( x ) = 0 , unter punktweiser Addition ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
• Das leere Set unter Set Union
• Eine leere Summe oder ein leeres Nebenprodukt
• Ein anfängliches Objekt in einer Kategorie (ein leeres Nebenprodukt und damit eine Identität unter Nebenprodukten )

Absorbierende Elemente

Ein absorbierendes Element in einer multiplikativen Halbgruppe oder einem Semiring verallgemeinert die Eigenschaft 0 ⋅ x = 0 . Beispiele beinhalten:

• Die leere Menge , die ein absorbierendes Element unter dem kartesischen Produkt von Mengen ist, da {} × S = {}
• Die Nullfunktion oder Nullkarte, definiert durch z ( x ) = 0 unter punktweiser Multiplikation ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

Viele absorbierende Elemente sind auch additive Identitäten, einschließlich der leeren Menge und der Nullfunktion. Ein weiteres wichtiges Beispiel ist das unterscheidbare Element 0 in einem Feld oder Ring , das sowohl die additive Identität als auch das multiplikative absorbierende Element ist und dessen Hauptideal das kleinste Ideal ist.

Null Objekte

Ein Null - Objekt in einer Kategorie ist sowohl ein Anfangs- und Terminal - Objekt (und damit eine Identität unter beiden Coprodukte und Produkten ). Beispielsweise ist die triviale Struktur (die nur die Identität enthält) ein Nullobjekt in Kategorien, in denen Morphismen Identitäten Identitäten zuordnen müssen. Spezifische Beispiele umfassen:

• Die triviale Gruppe , die nur die Identität enthält (ein Nullobjekt in der Kategorie der Gruppen )
• Das Nullmodul , das nur die Identität enthält (ein Nullobjekt in der Kategorie der Module über einen Ring)

Null Morphismen

Ein Nullmorphismus in einer Kategorie ist ein verallgemeinertes absorbierendes Element unter Funktionszusammensetzung : Jeder Morphismus, der mit einem Nullmorphismus zusammengesetzt ist, ergibt einen Nullmorphismus. Insbesondere wenn 0 _XY  : X → Y der Nullmorphismus unter den Morphismen von X nach Y ist und f  : A → X und g  : Y → B beliebige Morphismen sind, dann ist g ≤ 0 _XY = 0 _XB und 0 _XY ≤ f = 0 _AY .

Wenn eine Kategorie ein Null - Objekt hat 0 , dann gibt es kanonischen morphisms X → 0 und 0 → Y , und komponiert sie einen Null - morphism gibt 0 _XY  : X → Y . In der Kategorie der Gruppen sind beispielsweise Nullmorphismen Morphismen, die immer Gruppenidentitäten zurückgeben, wodurch die Funktion z ( x ) = 0 verallgemeinert wird .

Kleinste Elemente

Ein kleinstes Element in einer teilweise geordneten Menge oder einem Gitter kann manchmal als Nullelement bezeichnet und entweder als 0 oder ⊥ geschrieben werden.

Nullmodul

In der Mathematik ist das Nullmodul das Modul, das nur aus der additiven Identität für die Additionsfunktion des Moduls besteht . In den ganzen Zahlen ist diese Identität Null , was den Namen Nullmodul ergibt . Dass das Nullmodul tatsächlich ein Modul ist, ist einfach zu zeigen; es wird unter Addition und Multiplikation trivial geschlossen.

Null ideal

In der Mathematik , die Null ideal in einem Ring ist die ideale aus nur der additiven Identität (oder Null - Element). Die Tatsache, dass dies ein Ideal ist, folgt direkt aus der Definition. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ {0 \}}$

Nullmatrix

In der Mathematik , insbesondere der linearen Algebra , ist eine Nullmatrix eine Matrix, deren Einträge alle Null sind . Es wird abwechselnd mit dem Symbol gekennzeichnet . Einige Beispiele für Nullmatrizen sind ${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle 0_ {1,1} = {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,3} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \}$

Die Menge von m  ×  n Matrizen mit Einträgen in einem Ring K bildet ein Modul . Die Nullmatrix in ist die Matrix mit allen Einträgen gleich , wobei die additive Identität in K ist . ${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}}}$${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle 0_ {K}}$${\ displaystyle 0_ {K}}$

${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} = {\ begin {bmatrix} 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K. } \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \ end {bmatrix}}}$

Die Nullmatrix ist die additive Identität in . Das heißt, für alle : ${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle A \ in K_ {m, n}}$

${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A}$

Es gibt genau eine Nullmatrix mit einer bestimmten Größe m  ×  n (mit Einträgen aus einem bestimmten Ring). Wenn der Kontext klar ist, bezieht man sich häufig auf die Nullmatrix. Im Allgemeinen ist das Nullelement eines Rings eindeutig und wird normalerweise als 0 ohne Index bezeichnet, um den übergeordneten Ring anzuzeigen. Daher repräsentieren die obigen Beispiele Nullmatrizen über jedem Ring.

Die Nullmatrix stellt auch die lineare Transformation dar, die alle Vektoren an den Nullvektor sendet.

Null Tensor

In der Mathematik ist der Nulltensor ein Tensor beliebiger Ordnung, dessen Komponenten alle Null sind . Der Nulltensor der Ordnung 1 wird manchmal als Nullvektor bezeichnet.

Die Aufnahme eines Tensorprodukts eines Tensors mit einem Tensor Null führt zu einem weiteren Tensor Null. Das Hinzufügen des Nulltensors entspricht der Identitätsoperation.

Siehe auch

• Null-Halbgruppe
• Nullteiler
• Null Objekt
• Null einer Funktion
• Null - nicht mathematische Verwendungen

Verweise