Elastisches Pendel - Elastic pendulum

In der Physik und Mathematik ist im Bereich der dynamischen Systeme ein elastisches Pendel (auch Federpendel oder schwingende Feder genannt ) ein physikalisches System, bei dem ein Massenstück mit einer Feder verbunden ist, so dass die resultierende Bewegung Elemente eines einfachen Pendels enthält und ein eindimensionales Federmassensystem . Das System zeigt chaotisches Verhalten und reagiert empfindlich auf Anfangsbedingungen . Die Bewegung eines elastischen Pendels wird durch einen Satz gekoppelter gewöhnlicher Differentialgleichungen bestimmt .

Analyse und Interpretation

2 DOF elastisches Pendel mit Polarkoordinatendiagrammen.

Das System ist viel komplexer als ein einfaches Pendel, da die Eigenschaften der Feder dem System eine zusätzliche Dimension der Freiheit verleihen. Wenn sich beispielsweise die Feder zusammendrückt, bewirkt der kürzere Radius, dass sich die Feder aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses schneller bewegt . Es ist auch möglich, dass die Feder einen Bereich hat, der von der Bewegung des Pendels überholt wird, wodurch sie für die Bewegung des Pendels praktisch neutral ist.

Lagrange

Die Feder hat die Restlänge und kann auf Länge gedehnt werden . Der Schwingungswinkel des Pendels beträgt . ${\ displaystyle l_ {0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta}$

Der Lagrange ist: ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle L = TV}$

Wo ist die kinetische Energie und ist die potentielle Energie . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle V}$

Sehen. Das Hookesche Gesetz ist die potentielle Energie der Quelle selbst:

${\ displaystyle V_ {k} = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}}$

Wo ist die Federkonstante? ${\ displaystyle k}$

Die potentielle Energie aus der Schwerkraft wird dagegen durch die Höhe der Masse bestimmt. Für einen gegebenen Winkel und eine gegebene Verschiebung beträgt die potentielle Energie:

${\ displaystyle V_ {g} = - gm (l_ {0} + x) \ cos \ theta}$

wo ist die Erdbeschleunigung . ${\ displaystyle g}$

Die kinetische Energie ist gegeben durch:

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

wo ist die Geschwindigkeit der Masse. Um sich auf die anderen Variablen zu beziehen , wird die Geschwindigkeit als eine Kombination einer Bewegung entlang und senkrecht zur Feder geschrieben: ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ {2} + (l_ {0} + x) ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2})}$

So wird der Lagrange:

${\ displaystyle L = T-V_ {k} -V_ {g}}$

${\ displaystyle L [x, {\ dot {x}}, \ theta, {\ dot {\ theta}}] = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ {2 } + (l_ {0} + x) ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} kx ^ {2} + gm (l_ {0} + x) \ cos \ theta}$

Bewegungsgleichungen

Mit zwei Freiheitsgraden für und können die Bewegungsgleichungen unter Verwendung von zwei Euler-Lagrange-Gleichungen gefunden werden : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ partielles L \ über \ partielles x} - {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} t} {\ partielles L \ über \ partielles {\ dot {x}}} = 0}$

${\ displaystyle {\ partielles L \ über \ partielles \ theta} - {\ operatorname {d} \ über \ operatorname {d} t} {\ partielles L \ über \ partielles {\ dot {\ theta}}} = 0}$

Für : ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle m (l_ {0} + x) {\ dot {\ theta}} ^ {2} -kx + gm \ cos \ theta -m {\ ddot {x}} = 0}$

${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$ isoliert:

${\ displaystyle {\ ddot {x}} = (l_ {0} + x) {\ dot {\ theta}} ^ {2} - {\ frac {k} {m}} x + g \ cos \ theta}$

Und für : ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle -gm (l_ {0} + x) \ sin \ theta -m (l_ {0} + x) ^ {2} {\ ddot {\ theta}} - 2m (l_ {0} + x) { \ dot {x}} {\ dot {\ theta}} = 0}$

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}}}$ isoliert:

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = - {\ frac {g} {l_ {0} + x}} \ sin \ theta - {\ frac {2 {\ dot {x}}} {l_ {0 } + x}} {\ dot {\ theta}}}$

Das elastische Pendel wird nun mit zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben . Diese können numerisch gelöst werden . Darüber hinaus kann man analytische Methoden verwenden, um das faszinierende Phänomen der Ordnung-Chaos-Ordnung in diesem System zu untersuchen.

Siehe auch

• Doppelpendel
• Duffing Oszillator
• Pendel (Mathematik)
• Federmassensystem

Verweise

Weiterführende Literatur

Externe Links

• Holovatsky V., Holovatska Y. (2019) "Schwingungen eines elastischen Pendels" (interaktive Animation), Wolfram Demonstrations Project, veröffentlicht am 19. Februar 2019.