Newtonsches Potenzial - Newtonian potential

In der Mathematik ist das Newtonsche Potenzial oder Newtonpotenzial ein Operator in der Vektorrechnung , der als Umkehrung des negativen Laplace-Operators auf Funktionen wirkt , die glatt sind und im Unendlichen schnell genug zerfallen. Als solches ist es ein grundlegendes Untersuchungsobjekt der Potenzialtheorie . In seiner allgemeinen Natur ist es ein singulärer Integraloperator , definiert durch Faltung mit einer Funktion mit einer mathematischen Singularität im Ursprung, dem Newtonschen Kernel , der die fundamentale Lösung der Laplace-Gleichung ist . Sie ist nach Isaac Newton benannt , der sie als erster entdeckte und bewies, dass sie eine harmonische Funktion im Spezialfall von drei Variablen ist , wo sie als fundamentales Gravitationspotential in Newtons universellem Gravitationsgesetz diente . In der modernen Potenzialtheorie wird das Newtonsche Potenzial stattdessen als elektrostatisches Potenzial betrachtet .

Das Newtonsche Potential einer kompakt gestützten integrierbaren Funktion ƒ ist definiert als Faltung

${\displaystyle u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (xy)f(y)\,dy}$

wobei der Newtonsche Kern Γ in Dimension d definiert ist durch

${\displaystyle \Gamma(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi}}\log {|x|}&d=2\\{\frac {1}{d(2- d)\omega_{d}}|x|^{2-d}&d\neq 2.\end{Fälle}}}$

Hier ist ω _d das Volumen der Einheit d -ball (manchmal können die Vorzeichenkonventionen variieren; vergleiche ( Evans 1998 ) und ( Gilbarg & Trudinger 1983 )). Zum Beispiel, denn wir haben${\displaystyle d=3}$${\displaystyle \Gamma(x)=-1/(4\pi|x|).}$

Das Newtonsche Potential w von ƒ ist eine Lösung der Poisson-Gleichung

${\displaystyle \Delta w=f,\,}$

Das heißt, die Operation des Newtonschen Potentials einer Funktion ist eine partielle Umkehrung des Laplace-Operators. w ist eine klassische Lösung, also zweimal differenzierbar, wenn f beschränkt und lokal Hölder-stetig ist, wie Otto Hölder gezeigt hat . Ob Kontinuität allein auch ausreicht, war eine offene Frage. Dies wurde von Henrik Petrini als falsch gezeigt, der ein Beispiel für ein stetiges f anführte , für das w nicht zweimal differenzierbar ist. Die Lösung ist nicht eindeutig, da das Hinzufügen einer harmonischen Funktion zu w die Gleichung nicht beeinflusst. Diese Tatsache kann verwendet werden, um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Dirichlet-Problems für die Poisson-Gleichung in geeignet regulären Bereichen und für geeignet wohlverhaltene Funktionen zu beweisen ƒ: Man wendet zuerst ein Newtonsches Potential an, um eine Lösung zu erhalten, und passt dann durch Addition an eine harmonische Funktion, um die korrekten Randdaten zu erhalten.

Das Newtonsche Potential wird weiter gefasst als Faltung

${\displaystyle \Gamma *\mu(x)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\Gamma(xy)\,d\mu(y)}$

wenn μ ein kompakt unterstütztes Radon-Maß ist . Es erfüllt die Poisson-Gleichung

${\displaystyle \Delta w=\mu\,}$

im Sinne von Verteilungen . Außerdem ist das Newtonsche Potential bei positivem Maß subharmonisch auf R ^d .

Wenn ƒ eine kompakt unterstützte stetige Funktion (oder allgemeiner ein endliches Maß) ist, die rotationsinvariant ist , dann erfüllt die Faltung von ƒ mit Γ für x außerhalb des Trägers von ƒ

${\displaystyle f*\Gamma(x)=\lambda\Gamma(x),\quad\lambda=\int_{\mathbb{R}^{d}}f(y)\,dy.}$

In Dimension d  = 3 reduziert sich dies auf den Newtonschen Satz, dass die potentielle Energie einer kleinen Masse außerhalb einer viel größeren kugelsymmetrischen Massenverteilung dieselbe ist, als ob die gesamte Masse des größeren Objekts in seinem Zentrum konzentriert wäre.

Wenn das Maß μ auf eine Massenverteilung zugeordnet ist , eine ausreichend Hyperfläche glatt S (eine Lyapunov Oberfläche der Hölder Klasse C ^{1, α} ) daß dividieren R ^d in zwei Bereiche D ₊ und D _- , dann ist die Newtonsche Potential μ bezeichnet als einfaches Schichtpotential . Einfache Schichtpotentiale sind stetig und lösen die Laplace-Gleichung außer auf S . Sie treten natürlich bei der Untersuchung der Elektrostatik im Zusammenhang mit dem elektrostatischen Potential auf, das mit einer Ladungsverteilung auf einer geschlossenen Oberfläche verbunden ist. Ist d μ  =  ƒ  d H das Produkt einer stetigen Funktion auf S mit dem ( d  − 1)-dimensionalen Hausdorff-Maß , dann erfährt an einem Punkt y von S die Normalableitung beim Überqueren der eine Sprungunstetigkeit ƒ ( y ) Schicht. Außerdem ist die normale Ableitung von w eine wohldefinierte stetige Funktion auf S . Dies macht einfache Schichten besonders geeignet für das Studium des Neumann-Problems für die Laplace-Gleichung.

Siehe auch

• Doppelschichtpotential
• Greens Funktion
• Riesz-Potenzial
• Greensche Funktion für die Laplace-Gleichung mit drei Variablen

Verweise

• Evans, LC (1998), Partielle Differentialgleichungen , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung , New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], " Newtonpotential " , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Simple-layer potential" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Oberflächenpotential" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press