Falsche Drehung - Improper rotation
| Gruppe | S 4 | S 6 | S 8 | S 10 | S 12 |
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| Untergruppen | C 2 | C 3 , S 2 = C i | C 4 , C 2 | C 5 , S 2 = C i | C 6 , S 4 , C 3 , C 2 |
| Beispiel |
 abgeschrägtes digonales Antiprisma |
 dreieckiges Antiprisma |
 quadratisches Antiprisma |
 fünfeckiges Antiprisma |
 sechseckiges Antiprisma |
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Antiprismen mit gerichteten Kanten haben Rotorreflexionssymmetrie. p- Antiprismen für ungerade p enthalten Inversionssymmetrie , C i . |
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In der Geometrie ist eine unechte Drehung , auch Rotationsreflexion , Rotorreflexion, Rotationsreflexion oder Rotoinversion genannt , je nach Kontext eine lineare Transformation oder affine Transformation, die die Kombination einer Drehung um eine Achse und einer Spiegelung in einer Ebene senkrecht zu . ist diese Achse.
Drei Dimensionen
In 3D ist dies äquivalent die Kombination einer Drehung und einer Inversion in einem Punkt auf der Achse. Daher wird sie auch Rotoinversion oder Rotationsinversion genannt . Eine dreidimensionale Symmetrie mit nur einem Fixpunkt ist zwangsläufig eine unechte Drehung.
In beiden Fällen pendeln die Betriebe. Rotorreflexion und Rotoinversion sind gleich, wenn sie sich im Drehwinkel um 180° unterscheiden und der Umkehrpunkt in der Reflexionsebene liegt.
Eine unsachgemäße Drehung eines Objekts erzeugt somit eine Drehung seines Spiegelbildes . Die Achse wird Rotations-Reflexions-Achse genannt . Dies wird als n- fache unechte Drehung bezeichnet, wenn der Drehwinkel vor oder nach der Reflexion 360°/ n beträgt (wobei n gerade sein muss). Es gibt verschiedene Systeme zur Benennung einzelner falscher Drehungen:
- In den Schoenflies das Symbol S n (Deutsch, Spiegel , für Spiegel ), wobei n auch sein muss, um die Symmetrie - Gruppe durch eine erzeugte bezeichnet n -fach unangebrachte Rotation. Beispielsweise ist die Symmetrieoperation S 6 die Kombination einer Drehung von (360°/6) = 60° und einer Spiegelebenenreflexion. (Dies sollte nicht mit der gleichen Notation für symmetrische Gruppen verwechselt werden ).
- In der Hermann-Mauguin-Notation wird das Symbol n für eine n- fache Rotoinversion verwendet ; dh Drehung um einen Drehwinkel von 360°/ n mit Inversion. Wenn n gerade ist, muss es durch 4 teilbar sein. (Beachten Sie, dass 2 einfach eine Spiegelung wäre und normalerweise mit m bezeichnet wird .) Wenn n ungerade ist, entspricht dies einer 2 n- fachen unechten Drehung (oder Rotationsreflexion).
- Die Coxeter-Notation für S 2n ist [2 n + ,2 + ] und
, als Index-4-Untergruppe von [2 n ,2],
, erzeugt als Produkt von 3 Reflexen. - Die Orbifold-Notation ist n ×, Ordnung 2 n .
Die direkte Untergruppe von S 2n mit dem Index 2 ist C n , [ n ] + oder ( nn ) der Ordnung n , wobei es sich um den zweimal angewendeten Rotorreflexionsgenerator handelt.
S 2 n für ungerade n enthält eine Inversion , die mit C i bezeichnet wird . Diese Symmetrie ist die gleiche wie die Kombination (oder das Produkt) einer normalen Drehung C n und der Inversion. Denn gerade n enthält S 2 n C n, aber keine Inversion. Im Allgemeinen, wenn ungerades p ein Teiler von n ist , dann ist S 2 n / p eine Untergruppe von S 2 n . Zum Beispiel ist S 4 eine Untergruppe von S 12 .
Als indirekte Isometrie
Im weiteren Sinne kann eine unechte Drehung als jede indirekte Isometrie definiert werden ; dh ein Element von E (3)\ E + (3): es kann also auch eine reine Spiegelung in einer Ebene sein oder eine Gleitebene haben . Eine indirekte Isometrie ist eine affine Transformation mit einer orthogonalen Matrix mit einer Determinante von −1.
Eine richtige Drehung ist eine gewöhnliche Drehung. Im weiteren Sinne wird eine Eigenrotation als direkte Isometrie definiert ; dh ein Element von E + (3): es kann auch die Identität sein, eine Drehung mit einer Translation entlang der Achse oder eine reine Translation. Eine direkte Isometrie ist eine affine Transformation mit einer orthogonalen Matrix mit einer Determinante von 1.
Entweder im engeren oder im weiteren Sinne ist die Zusammensetzung zweier unrichtiger Drehungen eine richtige Drehung, und die Zusammensetzung einer unrichtigen und einer richtigen Drehung ist eine unrichtige Drehung.
Physikalische Systeme
Bei der Untersuchung der Symmetrie eines physikalischen Systems unter einer unsachgemäßen Drehung (z. B. wenn ein System eine Spiegelsymmetrieebene hat), ist es wichtig, zwischen Vektoren und Pseudovektoren (sowie Skalaren und Pseudoskalaren und allgemein zwischen Tensoren und Pseudotensoren ) zu unterscheiden. , da sich letztere unter Eigen- und Eigenrotation unterschiedlich transformieren (in 3 Dimensionen sind Pseudovektoren unter Inversion invariant).
