Regelmäßige bedingte Wahrscheinlichkeit - Regular conditional probability

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die reguläre bedingte Wahrscheinlichkeit ein Konzept, das den Begriff der Konditionierung auf das Ergebnis einer Zufallsvariablen formalisiert . Die resultierende bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine parametrisierte Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die als Markov-Kernel bezeichnet wird .

Definition

Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung

Betrachten Sie zwei Zufallsvariablen . Die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y bei X ist eine Funktion mit zwei Variablen ${\ displaystyle X, Y: \ Omega \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ kappa _ {Y | X}: \ mathbb {R} \ times {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) \ bis [0,1]}$

Wenn die Zufallsvariable X diskret ist

${\ displaystyle \ kappa _ {Y | X} (x, A) = P (Y \ in A | X = x) = {\ begin {case} {\ frac {P (Y \ in A, X = x) } {P (X = x)}} & {\ text {if}} P (X = x)> 0 \\ {\ text {beliebiger Wert}} & {\ text {sonst}}. \ End {Fälle} }}$

Wenn die Zufallsvariablen X , Y stetig mit der Dichte sind . ${\ displaystyle f_ {X, Y} (x, y)}$

${\ displaystyle \ kappa _ {Y | X} (x, A) = {\ begin {case} {\ frac {\ int _ {A} f_ {X, Y} (x, y) \ mathrm {d} y } {\ int _ {\ mathbb {R}} f_ {X, Y} (x, y) \ mathrm {d} y}} & {\ text {if}} \ int _ {\ mathbb {R}} f_ {X, Y} (x, y) \ mathrm {d} y> 0 \\ {\ text {beliebiger Wert}} & {\ text {sonst}}. \ End {case}}}$

Eine allgemeinere Definition kann in Bezug auf die bedingte Erwartung gegeben werden . Betrachten Sie eine Funktion als zufriedenstellend ${\ displaystyle e_ {Y \ in A}: \ mathbb {R} \ bis [0,1]}$

${\ displaystyle e_ {Y \ in A} (X (\ omega)) = \ mathbb {E} [1_ {Y \ in A} | X] (\ omega)}$

für fast alle . Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben durch ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ kappa _ {Y | X} (x, A) = e_ {Y \ in A} (x).}$

Wie bei der bedingten Erwartung kann dies weiter auf die Konditionierung auf einer Sigma-Algebra verallgemeinert werden . In diesem Fall ist die bedingte Verteilung eine Funktion : ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ Omega \ times {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) \ bis [0,1]}$

${\ displaystyle \ kappa _ {Y | {\ mathcal {F}}} (\ omega, A) = \ mathbb {E} [1_ {Y \ in A} | {\ mathcal {F}}]}$

Regelmäßigkeit

Für die Arbeit mit ist es wichtig, dass es regelmäßig ist , das heißt: ${\ displaystyle \ kappa _ {Y | X}}$

1. Für fast alle x , ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\ displaystyle A \ mapsto \ kappa _ {Y | X} (x, A)}$
2. Für alle A , ist eine messbare Funktion ${\ displaystyle x \ mapsto \ kappa _ {Y | X} (x, A)}$

Mit anderen Worten ist ein Markov-Kernel . ${\ displaystyle \ kappa _ {Y | X}}$

Die erste Bedingung gilt trivial, aber der Beweis der zweiten ist komplizierter. Es kann gezeigt werden, dass, wenn Y ein zufälliges Element in einem Radonraum S ist, ein Element existiert , das die Messbarkeitsbedingung erfüllt. Es ist möglich, allgemeinere Räume zu konstruieren, in denen keine reguläre bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung existiert. ${\ displaystyle \ Omega \ to S}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {Y | X}}$

Beziehung zur bedingten Erwartung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Theorie der bedingten Erwartung vor der der regulären bedingten Verteilungen entwickelt.

Für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen kann die bedingte Erwartung ausgedrückt werden als

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} [Y | X = x] & = \ sum _ {y} y \, P (Y = y | X = x) \\\ mathbb {E} [ Y | X = x] & = \ int y \, f_ {Y | X} (x, y) \ mathrm {d} y \ end {align}}}$

wo die bedingte Dichte von Y angegeben X . ${\ displaystyle f_ {Y | X} (x, y)}$

Dieses Ergebnis kann erweitert werden, um die theoretische bedingte Erwartung unter Verwendung der regulären bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung zu messen:

${\ displaystyle \ mathbb {E} [Y | X] (\ omega) = \ int y \, \ kappa _ {Y | \ sigma (X)} (\ omega, \ mathrm {d} y)}$ .

Formale Definition

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei eine Zufallsvariable , definiert als eine Borel- messbare Funktion von bis zu ihrem Zustandsraum . Man sollte sich einen Weg vorstellen, den Probenraum in "aufzulösen" . Unter Verwendung des Desintegrationssatzes aus der Maßtheorie können wir das Maß in eine Sammlung von Maßnahmen "zerlegen" , jeweils eine für jede . Formal wird eine reguläre bedingte Wahrscheinlichkeit als eine Funktion definiert, die als "Übergangswahrscheinlichkeit" bezeichnet wird, wobei: ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle T: \ Omega \ rightarrow E}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ {T ^ {- 1} (x) \} _ {x \ in E}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x \ in E}$${\ displaystyle \ nu: E \ times {\ mathcal {F}} \ rightarrow [0,1],}$

• Für jeden , ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf . Somit bieten wir jeweils eine Maßnahme an . ${\ displaystyle x \ in E}$${\ displaystyle \ nu (x, \ cdot)}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle x \ in E}$
• Für alle ist (eine Zuordnung ) messbar, und ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ nu (\ cdot, A)}$${\ displaystyle E \ bis [0,1]}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$
• Für alle und alle ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {E}}}$

${\ displaystyle P {\ big (} A \ cap T ^ {- 1} (B) {\ big)} = \ int _ {B} \ nu (x, A) \, P {\ big (} T ^ {-1} (dx) {\ big)}.}$

wo ist das Pushforward-Maß für die Verteilung des zufälligen Elements , dh die Unterstützung des . Insbesondere, wenn wir nehmen , dann und so ${\ displaystyle P \ circ T ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle T _ {*} P}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x \ in \ mathrm {supp} \, T,}$${\ displaystyle T _ {*} P}$${\ displaystyle B = E}$${\ displaystyle A \ cap T ^ {- 1} (E) = A}$

${\ displaystyle P (A) = \ int _ {E} \ nu (x, A) \, P {\ big (} T ^ {- 1} (dx) {\ big)}}$ ,

wo kann mit bekannteren Begriffen bezeichnet werden . ${\ displaystyle \ nu (x, A)}$${\ displaystyle P (A \ | \ T = x)}$

Alternative Definition

Betrachten wir ein Radon - Raum und einer reellwertigen Zufallsvariablen (die ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Radon - Raum ausgestattet mit der Borel sigma-Algebra definiert ist) T . Wie oben erläutert, besteht in diesem Fall eine regelmäßige bedingte Wahrscheinlichkeit in Bezug auf T . Darüber hinaus können wir alternativ die reguläre bedingte Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A bei einem bestimmten Wert t der Zufallsvariablen T folgendermaßen definieren: ${\ displaystyle \ Omega}$

${\ Anzeigestil P (A | T = t) = \ lim _ {U \ supset \ {T = t \}} {\ frac {P (A \ cap U)} {P (U)}},}$

wo die Grenze über das genommen Netz von offenen Nachbarschaften U von t , wie sie sich in Bezug auf Mengeninklusion kleiner . Diese Grenze wird genau dann definiert, wenn der Wahrscheinlichkeitsraum Radon ist , und nur zur Unterstützung von T , wie im Artikel beschrieben. Dies ist die Beschränkung der Übergangswahrscheinlichkeit der Unterstützung von T . Um diesen einschränkenden Prozess genau zu beschreiben:

Für jeden existiert eine offene Nachbarschaft U des Ereignisses { T = t }, so dass für jedes offene V mit ${\ displaystyle \ epsilon> 0,}$${\ displaystyle \ {T = t \} \ Teilmenge V \ Teilmenge U,}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {P (A \ cap V)} {P (V)}} - L \ right | <\ epsilon,}$

Wo ist die Grenze? ${\ displaystyle L = P (A | T = t)}$

Siehe auch

• Konditionierung (Wahrscheinlichkeit)
• Desintegrationssatz
• Anhaftender Punkt
• Grenzpunkt

Verweise

Externe Links

• Regelmäßige bedingte Wahrscheinlichkeit auf PlanetMath