Reflexiver Verschluss - Reflexive closure

In der Mathematik ist der reflexive Abschluss einer binären Relation R auf einer Menge X die kleinste reflexive Relation auf X , die R enthält .

Wenn beispielsweise X eine Menge verschiedener Zahlen ist und x R y bedeutet " x ist kleiner als y ", dann ist der reflexive Abschluss von R die Beziehung " x ist kleiner oder gleich y ".

Definition

Der reflexive Abschluss S einer Relation R auf einer Menge X ist gegeben durch

${\displaystyle S=R\cup \left\{(x,x):x\in X\right\}}$

Im Englischen ist der reflexive Abschluss von R die Vereinigung von R mit der Identitätsrelation auf X .

Beispiel

Als Beispiel, wenn

${\displaystyle X=\left\{1,2,3,4\right\}}$

${\displaystyle R=\left\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\right\}}$

dann ist die Relation an sich schon reflexiv, unterscheidet sich also nicht von ihrem reflexiven Abschluss. ${\displaystyle R}$

Wenn jedoch eines der Paare fehlte, wurde es für den reflexiven Verschluss eingefügt. Zum Beispiel, wenn auf demselben Set${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle R=\left\{(1,1),(2,2),(4,4)\right\}}$

dann ist der reflexive Verschluss

${\displaystyle S=R\cup\left\{(x,x):x\in X\right\}=\left\{(1,1),(2,2),(3,3),( 4,4)\rechts\}.}$

Siehe auch

• Transitive Schließung
• Symmetrischer Verschluss

Verweise

• Franz Baader und Tobias Nipkow , Term Rewriting and All That , Cambridge University Press, 1998, p. 8

${\displaystyle \Gamma \vdash x:{\text{Int}}}$

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