Mehrdimensionale Transformation - Multidimensional transform

In mathematischen Analysen und Anwendungen werden mehrdimensionale Transformationen verwendet, um den Frequenzinhalt von Signalen in einem Bereich von zwei oder mehr Dimensionen zu analysieren.

Mehrdimensionale Fourier-Transformation

Eine der populäreren mehrdimensionalen Transformationen ist die Fourier-Transformation , die ein Signal von einer Zeit-/Raumbereichsdarstellung in eine Frequenzbereichsdarstellung umwandelt. Die mehrdimensionale Fourier-Transformation (FT) im diskreten Bereich kann wie folgt berechnet werden:

${\displaystyle F(w_{1},w_{2},\dots,w_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty}^{\infty}\sum _{n_{2} =-\infty}^{\infty}\cdots\sum_{n_{m}=-\infty}^{\infty}f(n_{1},n_{2},\dots,n_{m}) e^{-iw_{1}n_{1}-iw_{2}n_{2}\cdots -iw_{m}n_{m}}}$

wobei F für die mehrdimensionale Fourier-Transformation steht , m für die mehrdimensionale Dimension steht. Definiere f als ein mehrdimensionales diskretes Domänensignal. Die inverse mehrdimensionale Fourier-Transformation ist gegeben durch

${\displaystyle f(n_{1},n_{2},\dots,n_{m})=\left({\frac{1}{2\pi}}\right)^{m}\int_{ -\pi}^{\pi}\cdots\int_{-\pi}^{\pi}F(w_{1},w_{2},\ldots,w_{m})e^{iw_{1 }n_{1}+iw_{2}n_{2}+\cdots +iw_{m}n_{m}}\,dw_{1}\cdots \,dw_{m}}$

Die mehrdimensionale Fourier-Transformation für Signale mit kontinuierlichem Bereich ist wie folgt definiert:

${\displaystyle F(\Omega_{1},\Omega_{2},\ldots,\Omega_{m})=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{- \infty}^{\infty}f(t_{1},t_{2},\ldots,t_{m})e^{-i\Omega_{1}t_{1}-i\Omega_{2 }t_{2}\cdots -i\Omega_{m}t_{m}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{m}}$

Eigenschaften der Fourier-Transformation

Es gelten ähnliche Eigenschaften der 1-D-FT-Transformation, aber anstatt dass der Eingabeparameter nur ein einzelner Eintrag ist, handelt es sich um ein mehrdimensionales (MD) Array oder einen Vektor. Daher ist es x(n ₁ ,…,n _M ) anstelle von x(n).

Linearität

wenn , und dann, ${\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega_ {1},\ldots,\omega_{M})}$${\displaystyle x_{2}(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega_ {1},\ldots,\omega_{M})}$

${\displaystyle ax_{1}(n_{1},\ldots,n_{M})+bx_{2}(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm { FT} }{}}{\longleftrightarrow }}aX_{1}(\omega_{1},\ldots,\omega_{M})+bX_{2}(\omega_{1},\ldots,\ Omega _{M})}$

Verschiebung

wenn , dann${\displaystyle x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega_{1},. ..,\omega_{M})}$
${\displaystyle x(n_{1}-a_{1},...,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }} e^{-j(\omega_{1}a_{1}+,...,+\omega_{M}a_{M})}X(\omega_{1},...,\omega _{M})}$

Modulation

wenn , dann ${\displaystyle x(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega_{1},\ldots ,\omega_{M})}$

${\displaystyle e^{j(\theta_{1}n_{1}+\cdots +\theta_{M}n_{M})}x(n_{1}-a_{1},\ldots,n_ {M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega_{1}-\theta_{1},\ldots,\ Omega _{M}-\theta_{M})}$

Multiplikation

wenn , und${\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega_ {1},\ldots,\omega_{M})}$${\displaystyle x_{2}(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega_ {1},\ldots,\omega_{M})}$

dann,

${\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots,n_{M})x_{2}(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT } }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{(2\pi)^{M}}}\int \limits _{-\pi}^{\pi}\cdots \int \limits _ {-\pi}^{\pi}X_{1}(\omega_{1}-\theta_{1},\ldots,\omega_{M}-\theta_{M})X_{2} (\theta_{1},\ldots,\theta_{M})\,d\theta_{1}\cdots d\theta_{M}}$

( MD-Faltung im Frequenzbereich )

oder,

${\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots,n_{M})x_{2}(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT } }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{(2\pi)^{M}}}\int \limits _{-\pi}^{\pi}\cdots \int \limits _ {-\pi}^{\pi}X_{1}(\theta_{1},\ldots,\theta_{M})X_{2}(\omega_{1}-\theta_{1} ,\ldots ,\omega_{M}-\theta_{M})\,d\theta_{1}\cdots d\theta_{M}}$

( MD-Faltung im Frequenzbereich )

Unterscheidung

Wenn , dann ${\displaystyle x(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega_{1},\ldots ,\omega_{M})}$

${\displaystyle -jn_{1}x(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial\omega_{1})}}X(\omega_{1},\ldots,\omega_{M}),}$

${\displaystyle -jn_{2}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial\omega_{2})}}X(\omega_{1},\ldots,\omega_{M}),}$

${\displaystyle (-j)^{M}(n_{1}n_{2}\cdots n_{M})x(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\ mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {(\partial)^{M}}{(\partial\omega_{1}\partial\omega_{2}\cdots\partial\omega _{M})}}X(\omega_{1},\ldots,\omega_{M}),}$

Umsetzung

Wenn , dann ${\displaystyle x(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega_{1},\ldots ,\omega_{M})}$

${\displaystyle x(n_{M},\ldots,n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega_{M},\ldots ,\omega_{1})}$

Reflexion

Wenn , dann ${\displaystyle x(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega_{1},\ldots ,\omega_{M})}$

${\displaystyle x(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\pm \omega _ {1},\ldots,\pm\omega_{M})}$

Komplexe Konjugation

Wenn , dann ${\displaystyle x(n_{1},\ldots,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega_{1},\ldots ,\omega_{M})}$

${\displaystyle x^{*}(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X^{ *}(-\omega_{1},\ldots,-\omega_{M})}$

Satz von Parseval (MD)

wenn , und dann, ${\displaystyle x_{1}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},...,\omega_{M})}$${\displaystyle x_{2}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},...,\omega_{M})}$

${\displaystyle \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty}...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }x_{1}(n_{1 },...,n_{M})x_{2}^{*}(n_{1},...,n_{M}){=}{\frac {1}{(2\pi)^ {M}}}\int \limits_{-\pi}^{\pi}...\int \limits_{-\pi}^{\pi}X_{1}(\omega_{1}, ...,\omega_{M})X_{2}^{*}(\omega_{1},...,\omega_{M})d\omega_{1}...d\ Omega _{M}}$

wenn , dann ${\displaystyle x_{1}(n_{1},...,n_{M}){=}x_{2}(n_{1},...,n_{M})}$

${\displaystyle \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty}...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }|x_{1}(n_{ 1},...,n_{M})|^{2}{=}{\frac {1}{(2\pi)^{M}}}\int \limits_{-\pi}^{ \pi}...\int\limits_{-\pi}^{\pi}|X_{1}(\omega_{1},...,\omega_{M})|^{2} d\omega_{1}...d\omega_{M}}$

Ein Spezialfall des Parseval-Theorems liegt vor, wenn die beiden mehrdimensionalen Signale gleich sind. In diesem Fall stellt das Theorem die Energieerhaltung des Signals dar und der Term in der Summation oder dem Integral ist die Energiedichte des Signals.

Trennbarkeit

Eine Eigenschaft ist die Trennbarkeitseigenschaft. Ein Signal oder System wird als separierbar bezeichnet, wenn es als Produkt von 1-D-Funktionen mit verschiedenen unabhängigen Variablen ausgedrückt werden kann. Dieses Phänomen ermöglicht die Berechnung der FT-Transformation als Produkt von 1-D-FTs anstelle von mehrdimensionaler FT.

wenn , , ... , und wenn , dann ${\displaystyle x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega_{1},. ..,\omega_{M})}$${\displaystyle a(n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega_{1})}$${\displaystyle b(n_{2}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}B(\omega_{2})}$${\displaystyle y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}Y(\omega_{M})}$${\displaystyle x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M})}$

${\displaystyle X(\omega_{1},...,\omega_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow}}x(n_{1} ,...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} } {}}{\longleftrightarrow}}A(\omega_{1})B(\omega_{2})...Y(\omega_{M})}$, so

${\displaystyle X(\omega_{1},...,\omega_{M}){=}A(\omega_{1})B(\omega_{2})...Y(\ Omega _{M})}$

MD FFT

Eine schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist ein Algorithmus zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT) und ihrer Umkehrung. Eine FFT berechnet die DFT und liefert genau das gleiche Ergebnis wie die direkte Auswertung der DFT-Definition; der einzige Unterschied ist, dass eine FFT viel schneller ist. (Bei Vorliegen von Rundungsfehlern sind viele FFT-Algorithmen auch viel genauer als die direkte Auswertung der DFT-Definition). Es gibt viele verschiedene FFT-Algorithmen, die ein breites Spektrum an Mathematik umfassen, von einfacher Arithmetik mit komplexen Zahlen bis hin zu Gruppentheorie und Zahlen Theorie. Sehen Sie mehr in FFT .

MD DFT

Die mehrdimensionale diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist eine abgetastete Version der FT im diskreten Bereich, indem sie bei Abtastfrequenzen ausgewertet wird, die gleichmäßig beabstandet sind. Die N ₁ × N ₂ × ... N _m DFT ist gegeben durch:

${\displaystyle Fx(K_{1},K_{2},\ldots,K_{m})=\sum_{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots\sum _{ n_{m}=0}^{N_{m}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots,n_{m})e^{-i{\frac {2\pi }{ N_{1}}}n_{1}K_{1}-i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots -i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}}$

für 0 ≤ K _i ≤ N _i − 1 , i = 1, 2, ..., m .

Die inverse multidimensionale DFT-Gleichung lautet

${\displaystyle fx(n_{1},n_{2},\ldots,n_{m})={\frac {1}{N_{1}\cdots N_{m}}}\sum _{K_{1 }=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{K_{m}=0}^{N_{m}-1}Fx(K_{1},K_{2},\ldots , K_{m})e^{i{\frac{2\pi}{N_{1}}}n_{1}K_{1}+i{\frac{2\pi}{N_{2}}}n_ {2}K_{2}\cdots +i{\frac{2\pi}{N_{m}}}n_{m}K_{m}}}$

für 0 ≤ n ₁ , n ₂ , ..., n _m ≤ N _{(1, 2, ..., m )} - 1 .

Mehrdimensionale diskrete Kosinustransformation

Die diskrete Kosinustransformation (DCT) wird in einer Vielzahl von Anwendungen wie Datenkompression , Merkmalsextraktion , Bildrekonstruktion , Multi-Frame- Erkennung usw. verwendet. Die mehrdimensionale DCT ist gegeben durch:

${\displaystyle Fx(K_{1},K_{2},\ldots,K_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{ 2}=0}^{N_{2}-1}\cdots \sum_{n_{r}=0}^{N_{r}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})\cos {\frac {\pi (2n_{1}+1)K_{1}}{2N_{1}}}\cdots \cos {\frac {\pi (2n_{r}+ .) 1)K_{r}}{2N_{r}}}}$

für k _i = 0, 1, ..., N _i − 1 , i = 1, 2, ..., r .

Mehrdimensionale Laplace-Transformation

Die mehrdimensionale Laplace-Transformation ist nützlich für die Lösung von Randwertproblemen. Randwertprobleme in zwei oder mehr Variablen, die durch partielle Differentialgleichungen gekennzeichnet sind, können durch eine direkte Verwendung der Laplace-Transformation gelöst werden. Die Laplace-Transformation für einen M-dimensionalen Fall ist definiert als

${\displaystyle F(s_{1},s_{2},\ldots,s_{n})=\int _{0}^{\infty}\cdots \int _{0}^{\infty}f( t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})e^{-s_{n}t_{n}-s_{n-1}t_{n-1}\cdots \cdots s_{1 }t_{1}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{n}}$

wobei F für die s-Domänendarstellung des Signals f(t) steht.

Ein Spezialfall (entlang 2 Dimensionen) der mehrdimensionalen Laplace-Transformation der Funktion f(x,y) ist definiert als

${\displaystyle F(s_{1},s_{2})}$heißt das Bild von und ist als das Original von bekannt . Dieser Spezialfall kann verwendet werden, um die Gleichungen des Telegraphen zu lösen .} ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle F(s_{1},s_{2})}$

Mehrdimensionale Z-Transformation

Die mehrdimensionale Z-Transformation wird verwendet, um das mehrdimensionale Signal des diskreten Zeitbereichs auf den Z-Bereich abzubilden. Damit kann die Stabilität von Filtern überprüft werden. Die Gleichung der mehrdimensionalen Z-Transformation ist gegeben durch

${\displaystyle F(z_{1},z_{2},\ldots,z_{m})=\sum_{n_{1}=-\infty}^{\infty}\cdots\sum _{n_{ m}=-\infty }^{\infty}f(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{ -n_{2}}\ldots z_{m}^{-n_{m}}}$

wobei F für die z-Domänendarstellung des Signals f(n) steht.

Ein Spezialfall der mehrdimensionalen Z-Transformation ist die 2D-Z-Transformation, die gegeben ist als

${\displaystyle F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty}^{\infty}\sum _{n_{2}=-\infty}^{\ infty }f(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}}$

Die Fourier-Transformation ist ein Spezialfall der Z-Transformation, die entlang des Einheitskreises (in 1D) und des Einheitsbikreises (in 2D) ausgewertet wird. ich esse

${\textstyle z=e^{jw}}$ wobei z und w Vektoren sind.

Konvergenzregion

Punkte ( z ₁ , z ₂ ), für die sich im ROC befinden. ${\displaystyle F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty}^{\infty}\sum _{n_{2}=-\infty}^{\ infty }|f(n_{1},n_{2})||z_{1}|^{-n_{1}}|z_{2}|^{-n_{2}}}$ ${\displaystyle <\infty }$

Ein Beispiel:

Wenn eine Sequenz einen Träger hat, wie in Abbildung 1.1a gezeigt, dann wird ihr ROC in Abbildung 1.1b gezeigt. Daraus folgt, dass | F ( z ₁ , z ₂ )| < ∞ .

${\displaystyle (z_{01},z_{02})}$im ROC liegt, dann sind alle Punkte , die |z1|≥|z01| . erfüllen und |z2|≥|z02 liegen im ROC. ${\displaystyle (z_{1},z_{2})}$

Daher wäre für Abbildung 1.1a und 1.1b der ROC

${\displaystyle \ln |z_{1}|\geq \ln |z_{01}|{\text{ und }}\ln |z_{2}|\geq L\ln |z_{1}|+\{ \ln |z_{02}|-L\ln |z_{01}|\}}$

wobei L die Steigung ist.

Die 2D-Z-Transformation wird ähnlich der Z-Transformation in der mehrdimensionalen Signalverarbeitung verwendet, um ein zweidimensionales zeitdiskretes Signal mit dem komplexen Frequenzbereich in Beziehung zu setzen, in dem die 2D-Oberfläche im 4D-Raum, auf der die Fourier-Transformation liegt, bekannt ist als Einheitsfläche oder Einheits-Zweikreis.

Anwendungen

Die DCT und DFT werden häufig in der Signalverarbeitung und Bildverarbeitung verwendet, und sie werden auch verwendet, um partielle Differentialgleichungen mit spektralen Methoden effizient zu lösen. Die DFT kann auch verwendet werden, um andere Operationen wie etwa Faltungen oder das Multiplizieren großer Ganzzahlen durchzuführen. Die DFT und DCT haben in vielen Bereichen breite Anwendung gefunden, wir skizzieren im Folgenden nur einige Beispiele.

Bildverarbeitung

Die DCT wird bei der JPEG -Bildkomprimierung, MJPEG- , MPEG- , DV- , Daala- und Theora -Videokomprimierung verwendet . Dort wird die zweidimensionale DCT-II von N x N Blöcken berechnet und die Ergebnisse werden quantisiert und entropiecodiert . In diesem Fall ist N typischerweise 8 und die DCT-II-Formel wird auf jede Zeile und Spalte des Blocks angewendet. Das Ergebnis ist ein 8x8-Transformationskoeffizienten-Array, in dem: (0,0) Element (oben links) die DC-Komponente (Nullfrequenz) ist und Einträge mit ansteigenden vertikalen und horizontalen Indexwerten höhere vertikale und horizontale Ortsfrequenzen darstellen, da im Bild rechts gezeigt.

In der Bildverarbeitung kann man auch unkonventionelle kryptographische Verfahren auf Basis von 2D-DCTs analysieren und beschreiben, um nicht sichtbare binäre Wasserzeichen in die 2D-Bildebene einzufügen, und Je nach Ausrichtung kann die 2-D-direktionale DCT-DWT-Hybridtransformation angewendet werden bei der Rauschunterdrückung von Ultraschallbildern. 3-D-DCT kann auch verwendet werden, um Videodaten oder 3-D-Bilddaten in Wasserzeichen-Einbettungsschemata im Transformationsbereich zu transformieren.

Spektralanalyse

Wenn der DFT verwendet wird für die Spektralanalyse , die { x _n darstellt} Sequenz normalerweise eine endliche Menge von gleichmäßig beabstandeten Zeit-Proben von einigen Signal x ( t ) , wobei t die Zeit darstellt. Die Umwandlung von kontinuierlicher Zeit in Abtastwerte (zeitdiskret) ändert die zugrundeliegende Fourier-Transformation von x ( t ) in eine zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT), die im Allgemeinen eine Art von Verzerrung mit sich bringt, die als Aliasing bezeichnet wird . Die Wahl einer geeigneten Abtastrate (siehe Nyquist-Rate ) ist der Schlüssel zur Minimierung dieser Verzerrung. In ähnlicher Weise führt die Umwandlung von einer sehr langen (oder unendlichen) Sequenz zu einer überschaubaren Größe zu einer Art von Verzerrung, die als Leakage bezeichnet wird und sich als Detailverlust (auch bekannt als Auflösung) im DTFT manifestiert. Die Wahl einer geeigneten Untersequenzlänge ist der Hauptschlüssel zur Minimierung dieses Effekts. Wenn die verfügbaren Daten (und die Zeit für deren Verarbeitung) die Menge übersteigen, die zum Erreichen der gewünschten Frequenzauflösung erforderlich ist, besteht eine Standardtechnik darin, mehrere DFTs durchzuführen, beispielsweise um ein Spektrogramm zu erstellen . Wenn das gewünschte Ergebnis ein Leistungsspektrum ist und Rauschen oder Zufall in den Daten vorhanden ist, ist die Mittelung der Betragskomponenten der mehreren DFTs ein nützliches Verfahren, um die Varianz des Spektrums ( in diesem Zusammenhang auch als Periodogramm bezeichnet ) zu reduzieren ; zwei Beispiele für solche Techniken sind die Welch-Methode und die Bartlett-Methode ; Das allgemeine Thema der Schätzung des Leistungsspektrums eines verrauschten Signals wird als Spektralschätzung bezeichnet .

Eine letzte Quelle der Verzerrung (oder vielleicht Illusion ) ist die DFT selbst, da sie nur eine diskrete Abtastung der DTFT ist, die eine Funktion eines kontinuierlichen Frequenzbereichs ist. Dies kann durch Erhöhen der Auflösung der DFT abgeschwächt werden. Dieses Verfahren wird unter § Sampling des DTFT veranschaulicht .

• Die Prozedur wird manchmal als Zero-Padding bezeichnet , was eine spezielle Implementierung ist, die in Verbindung mit dem Fast-Fourier-Transformation- (FFT)-Algorithmus verwendet wird. Die Ineffizienz der Durchführung von Multiplikationen und Additionen mit nullwertigen "Samples" wird durch die inhärente Effizienz der FFT mehr als ausgeglichen.
• Wie bereits erwähnt, schränkt die Leckage die inhärente Auflösung des DTFT ein. Somit gibt es eine praktische Grenze für den Nutzen, der aus einer feinkörnigen DFT erzielt werden kann.

Partielle Differentialgleichungen

Diskrete Fourier-Transformationen werden oft verwendet, um partielle Differentialgleichungen zu lösen , wobei wiederum die DFT als Näherung für die Fourier-Reihe verwendet wird (die im Grenzwert von unendlich N wiederhergestellt wird ). Der Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass er das Signal in komplexe Exponentialfunktionen e ^{inx expandiert} , die Eigenfunktionen der Differentiation sind: d / dx e ^inx = in e ^inx . In der Fourier-Darstellung ist die Differenzierung also einfach – wir multiplizieren einfach mit in . (Beachten Sie jedoch, dass die Wahl von n aufgrund von Aliasing nicht eindeutig ist; damit das Verfahren konvergent ist, sollte eine ähnliche Wahl wie im Abschnitt zur trigonometrischen Interpolation oben verwendet werden.) Eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten wird in . transformiert eine leicht lösbare algebraische Gleichung. Man verwendet dann die inverse DFT, um das Ergebnis zurück in die gewöhnliche räumliche Darstellung zu transformieren. Ein solcher Ansatz wird als Spektralverfahren bezeichnet .

DCTs werden auch häufig bei der Lösung partieller Differentialgleichungen durch spektrale Methoden verwendet, wobei die verschiedenen Varianten der DCT leicht unterschiedlichen geraden/ungerade Randbedingungen an den beiden Enden des Arrays entsprechen.

Laplace-Transformationen werden verwendet, um partielle Differentialgleichungen zu lösen. Die allgemeine Theorie zum Erhalten von Lösungen in dieser Technik wird durch Theoreme über die Laplace-Transformation in n Dimensionen entwickelt.

Die mehrdimensionale Z-Transformation kann auch verwendet werden, um partielle Differentialgleichungen zu lösen.

Bildverarbeitung für die Kunstoberflächenanalyse durch FFT

Ein sehr wichtiger Faktor ist, dass wir eine zerstörungsfreie Methode anwenden müssen, um diese seltenen Wertinformationen (vom HVS-Betrachtungspunkt aus konzentriert sich auf vollständige kolorimetrische und räumliche Informationen) über Kunstwerke zu erhalten und sie nicht zu beschädigen. Wir können die Künste verstehen, indem wir eine Farbänderung betrachten oder die Änderung der Oberflächengleichmäßigkeit messen. Da das gesamte Bild sehr groß sein wird, verwenden wir ein doppeltes Raised Cosine Window, um das Bild abzuschneiden:

${\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{4}}\left(1+\cos {\frac {x\pi }{N}}\right)\left(1+\cos { \frac {y\pi}{N}}\right)}$

wobei N die Bilddimension ist und x , y die Koordinaten von der Mitte der Bildspannen von 0 bis N /2 sind. Der Autor wollte einen gleichen Wert für die Ortsfrequenz berechnen, wie zum Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{m}(f)^{2}=\left[\sum _{i=-f}^{f}\right.&\operatorname {FFT} (-f, i)^{2}+\sum _{i=-f}^{f}\operatorname {FFT} (f,i)^{2}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{ i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,-f)^{2}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT } (i,f)^{2}\right]\end{ausgerichtet}}}$

wobei "FFT" die schnelle Fourier-Transformation bezeichnet und f die Raumfrequenzspannen von 0 bis N /2 – 1 ist . Der vorgeschlagene FFT-basierte Bildgebungsansatz ist eine Diagnosetechnologie, die eine lange Lebensdauer und Stabilität gegenüber Kulturkünsten gewährleistet. Dies ist ein einfaches, günstiges Gerät, das in Museen verwendet werden kann, ohne den täglichen Gebrauch zu beeinträchtigen. Aber diese Methode erlaubt keine quantitative Messung der Korrosionsrate.

Anwendung auf schwach nichtlineare Schaltungssimulation

Die inverse multidimensionale Laplace-Transformation kann angewendet werden, um nichtlineare Schaltungen zu simulieren. Dazu wird eine Schaltung als Zustandsraum formuliert und die inverse Laplace-Transformation basierend auf der Laguerre-Funktionsentwicklung erweitert.

Das Laguerre-Verfahren kann verwendet werden, um eine schwach nichtlineare Schaltung zu simulieren, und das Laguerre-Verfahren kann eine mehrdimensionale Laplace-Transformation effizient mit hoher Genauigkeit invertieren.

Es wird beobachtet, dass eine hohe Genauigkeit und eine signifikante Beschleunigung zum Simulieren großer nichtlinearer Schaltungen unter Verwendung mehrdimensionaler Laplace-Transformationen erreicht werden können.

Siehe auch

• Diskrete Kosinustransformation
• Liste der Fourier-bezogenen Transformationen
• Liste der Fourier-Analysethemen
• Mehrdimensionale diskrete Faltung
• 2D Z-Transformation
• Mehrdimensionale empirische Moduszerlegung
• Mehrdimensionale Signalrekonstruktion

Verweise