Modulhomomorphismus - Module homomorphism

In der Algebra ist ein Modulhomomorphismus eine Funktion zwischen Modulen , die die Modulstrukturen beibehält. Wenn dies ausdrücklich, M und N sind links Module über einen Ring R , dann eine Funktion ist , eine genannte R - Modulhomomorphismus oder R - lineare Abbildung , wenn für jeden x , y in M und R in R , ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

Mit anderen Worten, f ist ein Gruppenhomomorphismus (für die zugrunde liegenden additiven Gruppen), der mit Skalarmultiplikation kommutiert. Falls M , N rechte R -Module sind, dann wird die zweite Bedingung ersetzt durch

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

Das Urbild des Nullelements unter f heißt Kern von f . Die Menge aller Modulhomomorphismen von M bis N wird mit bezeichnet . Es ist eine abelsche Gruppe (unter punktweiser Addition), aber nicht unbedingt ein Modul, es sei denn, R ist kommutativ . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

Die Zusammensetzung von Modulhomomorphismen ist wiederum ein Modulhomomorphismus, und die Identitätsabbildung auf einem Modul ist ein Modulhomomorphismus. Somit bilden alle (sagen wir linken) Module zusammen mit allen Modulhomomorphismen zwischen ihnen die Kategorie der Module .

Terminologie

Ein Modulhomomorphismus heißt Modulisomorphismus, wenn er einen inversen Homomorphismus zulässt; insbesondere ist es eine Bijektion . Umgekehrt kann man zeigen, dass ein bijektiver Modulhomomorphismus ein Isomorphismus ist; dh die Inverse ist ein Modulhomomorphismus. Insbesondere ist ein Modulhomomorphismus genau dann ein Isomorphismus, wenn er ein Isomorphismus zwischen den zugrunde liegenden abelschen Gruppen ist.

Die Isomorphismussätze gelten für Modulhomomorphismen.

Ein Modulhomomorphismus von einem Modul M zu sich selbst heißt Endomorphismus und ein Isomorphismus von M zu sich selbst als Automorphismus . Man schreibt für die Menge aller Endomorphismen zwischen einem Modul M . Es ist nicht nur eine abelsche Gruppe, sondern auch ein Ring mit Multiplikation durch die Funktionszusammensetzung, genannt der Endomorphismus-Ring von M . Die Gruppe der Einheiten dieses Rings ist die Automorphismusgruppe von M . ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$

Das Lemma von Schur besagt, dass ein Homomorphismus zwischen einfachen Modulen (ein Modul ohne nicht-triviale Untermodule ) entweder Null oder ein Isomorphismus sein muss. Insbesondere ist der Endomorphismusring eines einfachen Moduls ein Teilerring .

In der Sprache der Kategorientheorie wird ein injektiver Homomorphismus auch als Monomorphismus und ein surjektiver Homomorphismus als Epimorphismus bezeichnet .

Beispiele

• Die Nullabbildung M → N , die jedes Element auf Null abbildet.
• Eine lineare Transformation zwischen Vektorräumen .
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m) }$.
• Für einen kommutativen Ring R und Ideale I , J gibt es die kanonische Identifikation

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\Teilmenge J\}/J}$

gegeben von . Insbesondere ist der Vernichter von I .${\displaystyle f\mapsto f(1)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$

• Gegeben sei ein Ring R und ein Element r , bezeichne die linke Multiplikation mit r . Dann gilt für jedes s , t in R , ${\displaystyle l_{r}:R\to R}$

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$.

Das heißt, ist richtig R- linear.${\displaystyle l_{r}}$

• Für jeden Ring R ,
  • ${\displaystyle \operatorname {Ende} _{R}(R)=R}$als Ringe, wenn R als rechtes Modul über sich selbst betrachtet wird. Explizit ist dieser Isomorphismus durch die linke reguläre Darstellung gegeben .${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$
  • Ähnlich wie Ringe, wenn R als ein linkes Modul über sich selbst betrachtet wird. Lehrbücher oder andere Referenzen geben normalerweise an, welche Konvention verwendet wird.${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$durch für jedes linke Modul M . (Die Modulstruktur auf Hom hier kommt von der rechten R- Aktion auf R ; siehe #Modulstrukturen auf Hom unten.)${\displaystyle f\mapsto f(1)}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$heißt Dualmodul von M ; es ist ein linkes (bzw. rechtes) Modul, wenn M ein rechtes (bzw. linkes) Modul über R ist, wobei die Modulstruktur aus der R -Aktion auf R stammt . Es wird mit bezeichnet .${\displaystyle M^{*}}$
• Bei einem gegebenen Ringhomomorphismus R → S der kommutativen Ringe und ein S -Modul M , eine R -linear Karte θ: S → M a genannt wird Ableitung wenn für irgendein f , g in S , θ ( fg ) = f θ ( g ) + ( f ) g .
• Wenn S , T unitale assoziative Algebren über einem Ring R sind , dann ist ein Algebra-Homomorphismus von S nach T ein Ring-Homomorphismus , der auch ein R- Modul-Homomorphismus ist.

Modulstrukturen auf Home

Kurz gesagt, Hom erbt eine Ringaktion, die nicht aufgebraucht wurde , um Hom zu bilden. Genauer gesagt seien M , N linke R- Module. Angenommen, M hat eine rechte Aktion eines Rings S , die mit der R- Aktion kommutiert; dh M ist ein ( R , S )-Modul. Dann

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

hat die Struktur eines linken S- Moduls definiert durch: für s in S und x in M ,

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

Es ist wohldefiniert (dh ist R -linear), da ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

und ist eine Ringaktion seit ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$.

Hinweis: Die obige Überprüfung würde "fehlschlagen", wenn man die linke R- Aktion anstelle der rechten S- Aktion verwendet. In diesem Sinne wird oft gesagt, dass Hom die R- Aktion " verbraucht".

Wenn M ein linker R- Modul und N ein ( R , S )-Modul ist, dann ist in ähnlicher Weise ein rechter S- Modul von . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$

Eine Matrixdarstellung

Die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Transformationen in der linearen Algebra verallgemeinert auf natürliche Weise zu Modulhomomorphismen zwischen freien Modulen. Genau bei einem rechten R -Modul U gibt es den kanonischen Isomorphismus der abelschen Gruppen

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim } {\to }}}M_{m,n}(\operatorname {Ende} _{R}(U))}$

erhalten durch Betrachten bestehend aus Spaltenvektoren und anschließendes Schreiben von f als eine m × n- Matrix. Betrachtet man R als einen richtigen R- Modul und verwendet , so hat man ${\displaystyle U^{\oplus n}}$${\displaystyle \operatorname {Ende} _{R}(R)\simeq R}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$,

was sich als Ringisomorphismus herausstellt (da eine Zusammensetzung einer Matrixmultiplikation entspricht ).

Beachten Sie, dass der obige Isomorphismus kanonisch ist; keine Wahl ist beteiligt. Ist dagegen ein Modulhomomorphismus zwischen endlichrangigen freien Modulen gegeben , dann entspricht die Wahl einer geordneten Basis einer Wahl eines Isomorphismus . Das obige Verfahren liefert dann die Matrixdarstellung in Bezug auf solche Wahlen der Basen. Für allgemeinere Module können Matrixdarstellungen entweder keine Eindeutigkeit aufweisen oder nicht existieren. ${\displaystyle F\simeq R^{n}}$

Definieren

In der Praxis definiert man einen Modulhomomorphismus oft, indem man seine Werte auf einem Generatorsatz angibt . Genauer gesagt seien M und N linke R- Module. Angenommen, eine Teilmenge S erzeugt M ; dh es gibt eine Surjektion mit einem freien Modul F mit einer Basis indiziert durch S und Kernel K (dh man hat eine freie Präsentation ). Dann einen Modulhomomorphismus zu geben, bedeutet einen Modulhomomorphismus zu geben , der K tötet (dh K auf Null abbildet ). ${\displaystyle F\to M}$${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle F\to N}$

Betrieb

Wenn und Modulhomomorphismen sind, dann ist ihre direkte Summe ${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle g:M'\to N'}$

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

und ihr Tensorprodukt ist

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

Sei ein Modulhomomorphismus zwischen linken Modulen. Der Graph Γ _f von f ist der Untermodul von M ⊕ N gegeben durch ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle \Gamma_{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$,

das ist das Bild des Modulhomomorphismus M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )), der als Graphenmorphismus bezeichnet wird .

Die Transponierte von f ist

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha\circ f.}$

Wenn f ein Isomorphismus ist, dann ist die Transponierte der Umkehrung von f ist die angerufene contragredient von f .

Genaue Sequenzen

Betrachten Sie eine Folge von Modulhomomorphismen

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow}}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}} {\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

Eine solche Sequenz wird als Kettenkomplex (oder oft nur als Komplex) bezeichnet, wenn jede Zusammensetzung null ist; dh, oder äquivalent ist das Bild von im Kernel von enthalten . (Wenn die Zahlen zunehmen statt abzunehmen, dann heißt es Coketten-Komplex; zB de Rham-Komplex .) Ein Kettenkomplex heißt exakte Folge, wenn . Ein Sonderfall einer exakten Folge ist eine kurze exakte Folge: ${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$${\displaystyle f_{i+1}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

wo ist injektiv, der Kern von ist das Bild von und ist surjektiv. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Jeder Modulhomomorphismus definiert eine exakte Folge ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

wobei ist der Kernel von , und ist der Kokernel, das heißt der Quotient von durch das Bild von . ${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f}$

Bei Modulen über einem kommutativen Ring ist eine Folge genau dann exakt, wenn sie bei allen maximalen Idealen exakt ist ; das sind alle sequenzen

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m }}\to 0}$

sind exakt, wobei der Index die Lokalisierung bei einem maximalen Ideal bedeutet . ${\displaystyle {\mathfrak{m}}}$${\displaystyle {\mathfrak{m}}}$

Wenn Modulhomomorphismen sind, dann bilden sie ein Faserquadrat (oder Pullback-Quadrat ), bezeichnet mit M × _B N , wenn es in passt ${\displaystyle f:M\nach B,g:N\nach B}$

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

wo . ${\displaystyle \phi(x,y)=f(x)-g(x)}$

Beispiel: Seien kommutative Ringe und I der Annihilator des Quotienten B -Modul A / B (der ein Ideal von A ist ). Dann bilden kanonische Karten ein Faserquadrat mit${\displaystyle B\Teilmenge A}$${\displaystyle A\nach A/I,B/I\nach A/I}$${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

Endomorphismen endlich erzeugter Module

Sei ein Endomorphismus zwischen endlich erzeugten R -Modulen für einen kommutativen Ring R . Dann ${\displaystyle \phi :M\to M}$

• ${\displaystyle \phi}$wird durch sein charakteristisches Polynom relativ zu den Generatoren von M getötet ; siehe Lemma#Proof von Nakayama .
• Wenn surjektiv ist, dann ist es injektiv.${\displaystyle \phi}$

Siehe auch: Herbrand-Quotient (der für jeden Endomorphismus mit einigen Endlichkeitsbedingungen definiert werden kann.)

Variante: additive Beziehungen

Eine additive Relation von einem Modul M zu einem Modul N ist ein Untermodul von Mit anderen Worten, es ist ein " vielwertiger " Homomorphismus, der auf einem Untermodul von M definiert ist . Die Umkehrung von f ist der Untermodul . Jede additive Relation f bestimmt einen Homomorphismus von einem Untermodul von M zu einem Quotienten von N${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle M\oplus N.}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

wobei aus allen Elementen x in M besteht, so dass ( x , y ) für ein y in N zu f gehört . ${\displaystyle D(f)}$

Eine Transgression , die sich aus einer Spektralsequenz ergibt, ist ein Beispiel für eine additive Relation.

Siehe auch

• Mapping-Kegel (homologische Algebra)
• Smith Normalform
• Kettenkomplex
• Paarung

Anmerkungen

Verweise

• Bourbaki, Algebra . Kapitel II.
• S. MacLane, Homologie
• H. Matsumura, Kommutative Ringtheorie. Aus dem Japanischen von M. Reid übersetzt. Zweite Ausgabe. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.