Randverteilung - Marginal distribution

Teil einer Serie über Statistik
Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsaxiome Determinismus Indeterminismus Zufall
Wahrscheinlichkeitsraum Probenraum Veranstaltung Kollektiv umfassende Veranstaltungen Elementare Veranstaltung Gegenseitige Exklusivität Ergebnis Singleton Experiment Bernoulli-Prozess Wahrscheinlichkeitsverteilung Bernoulli-Verteilung Binomialverteilung Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsmaß Zufällige Variable Bernoulli-Prozess Kontinuierlich oder diskret Erwarteter Wert Markov-Kette Beobachteter Wert Zielloser Spaziergang Stochastischer Prozess
Ergänzende Veranstaltung Gemeinsame Wahrscheinlichkeit Randwahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unabhängigkeit Bedingte Unabhängigkeit Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit Gesetz der großen Zahlen Satz von Bayes Bay Boolesche Ungleichung
Venn-Diagramm Baum diagramm
v t e

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist die Randverteilung einer Teilmenge einer Sammlung von Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeitsverteilung der in der Teilmenge enthaltenen Variablen. Es gibt die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Werte der Variablen in der Teilmenge ohne Bezug auf die Werte der anderen Variablen an. Dies steht im Gegensatz zu einer bedingten Verteilung , die die Wahrscheinlichkeiten abhängig von den Werten der anderen Variablen angibt.

Randvariablen sind die Variablen in der Teilmenge der Variablen, die beibehalten werden. Diese Konzepte sind "marginal", weil sie gefunden werden können, indem Werte in einer Tabelle entlang von Zeilen oder Spalten summiert und die Summe an den Rand der Tabelle geschrieben wird. Die Verteilung der Randvariablen (die Randverteilung) wird durch Marginalisierung – d. h. Fokussierung auf die Summen im Rand – über die Verteilung der zu verwerfenden Variablen erhalten, und die verworfenen Variablen werden als marginalisiert bezeichnet .

Der Kontext hier ist, dass die durchgeführten theoretischen Studien oder die durchgeführte Datenanalyse eine größere Anzahl von Zufallsvariablen beinhalten, dass die Aufmerksamkeit jedoch auf eine reduzierte Anzahl dieser Variablen beschränkt wird. In vielen Anwendungen kann eine Analyse mit einer gegebenen Sammlung von Zufallsvariablen beginnen, dann zuerst die Menge durch die Definition neuer Variablen (wie die Summe der ursprünglichen Zufallsvariablen) erweitern und schließlich die Zahl reduzieren, indem man sich für die Randverteilung von a . interessiert Teilmenge (wie die Summe). Es können mehrere verschiedene Analysen durchgeführt werden, wobei jede eine andere Untermenge von Variablen als Randvariablen behandelt.

Definition

Grenzwahrscheinlichkeits-Massenfunktion

Bei einer bekannten gemeinsamen Verteilung zweier diskreter Zufallsvariablen , beispielsweise X und Y , ist die Randverteilung einer der beiden Variablen – beispielsweise X – die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, wenn die Werte von Y nicht berücksichtigt werden. Dies kann durch Summieren der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle Werte von Y berechnet werden . Natürlich gilt auch das Umgekehrte: Die Randverteilung erhält man für Y durch Summieren über die einzelnen Werte von X .

${\displaystyle p_{X}(x_{i})=\sum_{j}p(x_{i},y_{j})}$, und ${\displaystyle p_{Y}(y_{j})=\sum_{i}p(x_{i},y_{j})}$

Eine marginale Wahrscheinlichkeit kann immer als Erwartungswert geschrieben werden :

$${\displaystyle p_{X}(x)=\int_{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\operatorname {E} _{Y}[p_{X\mid Y}(x\mid y)]\;.}$$

Intuitiv wird die Grenzwahrscheinlichkeit von X berechnet, indem die bedingte Wahrscheinlichkeit von X bei einem bestimmten Wert von Y untersucht wird und dann diese bedingte Wahrscheinlichkeit über die Verteilung aller Werte von Y gemittelt wird .

Dies folgt aus der Definition des Erwartungswertes (nach Anwendung des Gesetzes des unbewussten Statistikers )

$${\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}$$

Daher liefert die Marginalisierung die Regel für die Transformation der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen Y und einer anderen Zufallsvariablen X  =  g ( Y ):

$${\displaystyle p_{X}(x)=\int_{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\int _{y}\delta {\big(}xg(y){\big)}\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}$$

Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Gegeben seien zwei kontinuierlichen Zufallsvariablen X und Y , deren gemeinsame Verteilung bekannt ist, dann wird der Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann durch die Integration des erzielt werden gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung über Y, und umgekehrt. Das ist ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy,}$ und ${\displaystyle f_{Y}(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx}$

wo , und . ${\displaystyle x\in [a,b]}$${\displaystyle y\in [c,d]}$

Marginale kumulative Verteilungsfunktion

Das Auffinden der marginalen kumulativen Verteilungsfunktion aus der gemeinsamen kumulativen Verteilungsfunktion ist einfach. Erinnere dich daran:

• Für diskrete Zufallsvariablen gilt
  $${\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}$$

  
• Für stetige Zufallsvariablen gilt
  $${\displaystyle F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'}$$

  

Wenn X und Y gemeinsam Werte für [ a , b ] × [ c , d ] annehmen , dann

${\displaystyle F_{X}(x)=F(x,d)}$ und ${\displaystyle F_{Y}(y)=F(b,y)}$

Wenn d ist, dann wird dies ein Grenzwert . Ebenso für . ${\textstyle F_{X}(x)=\lim_{y\to\infty}F(x,y)}$${\displaystyle F_{Y}(y)}$

Marginale Verteilung vs. bedingte Verteilung

Definition

Die Grenzwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Ereignis unabhängig von anderen Ereignissen eintritt. Eine bedingte Wahrscheinlichkeit , auf der anderen Seite, ist die Wahrscheinlichkeit , dass ein Ereignis gegeben wird, für die ein anderes spezifisches Ereignis hat bereits stattgefunden. Dies bedeutet, dass die Berechnung für eine Variable von einer anderen Variable abhängt.

Die bedingte Verteilung einer Variablen bei einer anderen Variablen ist die gemeinsame Verteilung beider Variablen geteilt durch die Randverteilung der anderen Variablen. Das ist,

• Für diskrete Zufallsvariablen gilt
  $${\displaystyle p_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P_{X}(x) }}}$$

  
• Für stetige Zufallsvariablen gilt
  $${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}$$

  

Beispiel

Angenommen, es gibt Daten aus dem Klassenzimmer von 200 Schülern über die gelernte Zeit ( X ) und den Prozentsatz der Richtigkeit ( Y ). Unter der Annahme, dass X und Y diskrete Zufallsvariablen sind, kann die gemeinsame Verteilung von X und Y beschrieben werden, indem alle möglichen Werte von p ( x _i , y _j ) aufgelistet werden, wie in Tabelle 3 gezeigt.

Die marginale Verteilung kann verwendet werden, um zu bestimmen, wie viele Schüler 20 oder weniger erreicht haben: , also 10 Schüler oder 5 %. ${\displaystyle p_{Y}(y_{1})=P_{Y}(Y=y_{1})=\sum_{i=1}^{4}P(x_{i},y_{1} )={\frac {2}{200}}+{\frac {8}{200}}={\frac {10}{200}}}$

Die bedingte Verteilung kann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein Schüler, der 60 Minuten oder mehr gelernt hat, eine Punktzahl von 20 oder weniger erreicht: , was bedeutet, dass eine Wahrscheinlichkeit von 11% besteht, nach mindestens 60 Minuten Lernen eine Punktzahl von 20 zu erreichen. ${\displaystyle p_{Y|X}(y_{1}|x_{4})=P(Y=y_{1}|X=x_{4})={\frac {P(X=x_{4}) ,Y=y_{1})}{P(X=x_{4})}}={\frac {8/200}{70/200}}={\frac {8}{70}}={\ frak {4}{35}}}$

Beispiel aus der Praxis

Angenommen, es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass ein Fußgänger beim Überqueren der Straße an einem Fußgängerüberweg von einem Auto erfasst wird, ohne auf die Ampel zu achten. Sei H eine diskrete Zufallsvariable, die einen Wert aus {Hit, Not Hit} nimmt. Sei L (für Ampel) eine diskrete Zufallsvariable, die einen Wert aus {Rot, Gelb, Grün} nimmt.

Realistischerweise hängt H von L ab. Das heißt, P(H = Hit) nimmt unterschiedliche Werte an, je nachdem, ob L rot, gelb oder grün ist (und ebenso für P(H = Not Hit)). Eine Person wird beispielsweise bei einem Querverkehr bei grüner Ampel weit häufiger von einem Auto angefahren als bei roter Ampel. Mit anderen Worten, man muss für jedes gegebene mögliche Wertepaar für H und L die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von H und L berücksichtigen , um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass dieses Paar von Ereignissen zusammen auftritt, wenn der Fußgänger den Lichtzustand ignoriert.

Bei dem Versuch, die Grenzwahrscheinlichkeit P(H = Hit) zu berechnen , wird jedoch die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass H = Hit in der Situation ist, in der der bestimmte Wert von L unbekannt ist und der Fußgänger den Zustand des Lichts ignoriert . Im Allgemeinen kann ein Fußgänger angefahren werden, wenn die Ampeln rot ODER gelb sind ODER wenn die Ampeln grün sind. Die Antwort für die Grenzwahrscheinlichkeit kann also durch Summieren von P(H | L) für alle möglichen Werte von L gefunden werden, wobei jeder Wert von L mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit gewichtet wird.

Hier ist eine Tabelle mit den bedingten Trefferwahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit vom Zustand der Lichter. (Beachten Sie, dass sich die Spalten in dieser Tabelle zu 1 addieren müssen, da die Wahrscheinlichkeit, getroffen oder nicht getroffen zu werden, unabhängig vom Zustand des Lichts 1 beträgt.)

Bedingte Verteilung: ${\displaystyle P(H\mid L)}$

L H	rot	Gelb	Grün
Kein Treffer	0,99	0,9	0,2
Schlagen	0,01	0,1	0.8

Um die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung zu finden, sind mehr Daten erforderlich. Angenommen, P(L = Rot) = 0,2, P(L = Gelb) = 0,1 und P(L = Grün) = 0,7. Die Multiplikation jeder Spalte in der bedingten Verteilung mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieser Spalte ergibt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von H und L, die im zentralen 2×3-Block von Einträgen angegeben ist. (Beachten Sie, dass sich die Zellen in diesem 2 × 3-Block zu 1 addieren).

Gemeinsame Verteilung: ${\displaystyle P(H,L)}$

L H	rot	Gelb	Grün	Grenzwahrscheinlichkeit P( H )
Kein Treffer	0,198	0,09	0,14	0,428
Schlagen	0,002	0,01	0,56	0,572
Gesamt	0,2	0,1	0,7	1

Die Grenzwahrscheinlichkeit P(H = Hit) ist die Summe 0,572 entlang der H = Hit-Zeile dieser gemeinsamen Verteilungstabelle, da dies die Wahrscheinlichkeit ist, getroffen zu werden, wenn die Ampeln rot ODER gelb ODER grün sind. In ähnlicher Weise ist die marginale Wahrscheinlichkeit, dass P(H = Not Hit) die Summe entlang der Zeile H = Not Hit ist.

Multivariate Verteilungen

Viele Stichproben aus einer bivariaten Normalverteilung. Die Randverteilungen sind in Rot und Blau dargestellt. Die Randverteilung von X wird auch angenähert, indem ein Histogramm der X-Koordinaten ohne Berücksichtigung der Y-Koordinaten erstellt wird.

Für multivariate Verteilungen gelten ähnliche Formeln wie oben, wobei die Symbole X und/oder Y als Vektoren interpretiert werden. Insbesondere würde sich jede Summation oder Integration über alle Variablen mit Ausnahme der in X enthaltenen Variablen erstrecken .

Das heißt, wenn X ₁ , X ₂ , ..., X _n sind diskrete Zufallsvariablen , dann wird die Randwahrscheinlichkeitsmassenfunktion sollten

$${\displaystyle p_{X_{i}}(k)=\sum p(x_{1},x_{2},\dots,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots, x_{n});}$$

$${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{1}dx_{2}\ cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}$$

Siehe auch

• Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Geringfügige Wahrscheinlichkeit
• Wasserstein-Metrik
• Bedingte Verteilung

Verweise

Literaturverzeichnis

• Everitt, BS; Skrondal, A. (2010). Cambridge Dictionary of Statistics . Cambridge University Press .
• Dekking, FM; Kraaikamp, ​​C.; Lopuhaä, HP; Meester, LE (2005). Eine moderne Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik . London: Springer. ISBN 9781852338961.