Innerer Automorphismus - Inner automorphism

In der abstrakten Algebra ist ein innerer Automorphismus ein Automorphismus einer Gruppe , eines Rings oder einer Algebra, die durch die Konjugationswirkung eines festen Elements, das als konjugierendes Element bezeichnet wird, gegeben ist . Sie können durch einfache Operationen innerhalb der Gruppe selbst realisiert werden, daher das Adjektiv "inner". Diese inneren Automorphismen bilden eine Untergruppe der Automorphismengruppe, und der Quotient der Automorphismengruppe durch diese Untergruppe führt zu dem Konzept der äußeren Automorphismengruppe .

Definition

Wenn G eine Gruppe und g ein Element von G ist (alternativ, wenn G ein Ring und g eine Einheit ist ), dann ist die Funktion

heißt (Rechts-)Konjugation nach g (siehe auch Konjugationsklasse ). Diese Funktion ist ein Endomorphismus von G : für alle

wobei die zweite Gleichung durch Einsetzen der Identität zwischen gegeben ist und ferner er eine linke und rechte hat inverse , nämlich Somit ist bijektiv und so ein Isomorphismus von G mit sich selbst, dh ein automorphism. Ein innerer Automorphismus ist jeder Automorphismus, der durch Konjugation entsteht.

Bei der Diskussion der Rechtskonjugation wird der Ausdruck oft exponentiell mit bezeichnet. Diese Notation wird verwendet, weil die Zusammensetzung von Konjugationen die Identität erfüllt: für alle Dies zeigt, dass die Konjugation eine richtige Aktion von G auf sich selbst ergibt .

Innere und äußere Automorphismusgruppen

Die Zusammensetzung zweier innerer Automorphismen ist wieder ein innerer Automorphismus, und mit dieser Operation ist die Sammlung aller inneren Automorphismen von G eine Gruppe, die innere Automorphismengruppe von G wird mit Inn( G ) bezeichnet .

Inn( G ) ist eine Normaluntergruppe der vollständigen Automorphismusgruppe Aut( G ) von G . Die äußere Automorphismusgruppe , Out( G ) ist die Quotientengruppe

Die Gruppe der äußeren Automorphismen misst gewissermaßen, wie viele Automorphismen von G nicht inner sind. Jeder nicht-innere Automorphismus liefert ein nicht-triviales Element von Out( G ) , aber verschiedene nicht-innere Automorphismen können dasselbe Element von Out( G ) ergeben .

Zu sagen , dass die Konjugation von x von einem Blatt x unverändert ist äquivalent zu der Aussage , dass ein und x pendeln:

Daher ist die Existenz und Anzahl von inneren Automorphismen, die nicht die Identitätsabbildung sind, eine Art Maß für das Versagen des Kommutativgesetzes in der Gruppe (oder im Ring).

Ein Automorphismus einer Gruppe G ist genau dann innerlich, wenn er sich auf jede Gruppe erstreckt, die G enthält .

Durch die Verknüpfung des Elements a ∈ G mit dem inneren Automorphismus f ( x ) = x a in Inn( G ) wie oben, erhält man einen Isomorphismus zwischen der Quotientengruppe G / Z ( G ) (wobei Z ( G ) das Zentrum von G ) und die innere Automorphismusgruppe:

Dies ist eine Konsequenz des ersten Isomorphismussatzes , denn Z ( G ) ist genau die Menge jener Elemente von G , die die Identitätsabbildung als entsprechenden inneren Automorphismus ergeben (Konjugation ändert nichts).

Nichtinnere Automorphismen endlicher p -Gruppen

Ein Ergebnis von Wolfgang Gaschütz sagt, dass wenn G eine endliche nicht-abelsche p- Gruppe ist , dann G einen Automorphismus der p- Potenzordnung hat, der nicht innerlich ist.

Es ist ein offenes Problem, ob jede nicht-abelsche p- Gruppe G einen Automorphismus der Ordnung p besitzt . Letztere Frage wird immer dann positiv beantwortet, wenn G eine der folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. G ist nilpotent der Klasse 2
  2. G ist eine reguläre p -Gruppe
  3. G / Z ( G ) ist eine mächtige p -Gruppe
  4. Die Zentriervorrichtung in G , C G , des Zentrums Z des Frattinigruppe , Φ , der G , C G ∘ Z ∘ Φ ( G ) , nicht gleich zu Φ ( G )

Arten von Gruppen

Die innere Automorphismengruppe einer Gruppe G , Inn ( G ) ist trivial (dh besteht nur aus dem Identitätselement ) , wenn und nur dann , wenn G ist abelian .

Die Gruppe Inn( G ) ist nur dann zyklisch , wenn sie trivial ist.

Am entgegengesetzten Ende des Spektrums können die inneren Automorphismen die gesamte Automorphismusgruppe erschöpfen; eine Gruppe, deren Automorphismen alle innerlich sind und deren Zentrum trivial ist, heißt vollständig . Dies ist für alle symmetrischen Gruppen auf n Elementen der Fall, wenn n nicht 2 oder 6 ist. Wenn n = 6 ist , hat die symmetrische Gruppe eine eindeutige nichttriviale Klasse äußerer Automorphismen, und wenn n = 2 ist , die symmetrische Gruppe, obwohl es keine äußeren Automorphismen hat, ist es abelsch, was ein nicht-triviales Zentrum ergibt, was es von seiner Vollständigkeit disqualifiziert.

Wenn die innere Automorphismengruppe einer perfekten Gruppe G einfach ist, dann G heißt quasisimple .

Fall der Lügenalgebra

Ein Automorphismus einer Lie-Algebra 𝔊 heißt innerer Automorphismus, wenn er von der Form Ad g ist , wobei Ad die adjungierte Abbildung und g ein Element einer Lie-Gruppe ist, deren Lie-Algebra 𝔊 ist . Der Begriff des inneren Automorphismus für Lie-Algebren ist mit dem Begriff für Gruppen insofern kompatibel, als ein innerer Automorphismus einer Lie-Gruppe einen eindeutigen inneren Automorphismus der entsprechenden Lie-Algebra induziert.

Verlängerung

Wenn G die ist eine Gruppe von Einheiten eines Ring , A , dann ein innerer automorphism auf G kann auf der auf eine Mapping erweitert wird projektive Linie über A von der Gruppe von Einheiten des Matrizenring , M 2 ( A ) . Insbesondere die inneren Automorphismen der klassischen Gruppen können so erweitert werden.

Verweise

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