Hyperinteger - Hyperinteger

In der Nicht-Standard-Analyse ist ein Hyperinteger n eine hyperreelle Zahl , die gleich ihrem eigenen ganzzahligen Teil ist . Ein Hyperinteger kann entweder endlich oder unendlich sein. Eine endliche Hyperzahl ist eine gewöhnliche ganze Zahl . Ein Beispiel für einen unendlichen Hyperinteger ist die Klasse der Folge (1, 2, 3, ...) in der Ultrapower- Konstruktion der Hyperrealen.

Diskussion

Die Standard-Ganzzahl- Teilfunktion :

${\displaystyle \lfloor x\rfloor}$

ist für alle reellen x definiert und entspricht der größten ganzen Zahl, die x nicht überschreitet . Durch das Übertragungsprinzip der Nichtstandardanalyse gibt es eine natürliche Erweiterung:

${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$

für alle hyperrealen x definiert , und wir sagen, x sei eine Hyperintegerzahl, wenn also die Hyperinteger das Abbild der ganzzahligen Teilfunktion auf den Hyperrealen sind. ${\displaystyle x={}^{*}\!\lfloor x\rfloor .}$

Interne Sätze

Die Menge aller Hyperinteger ist eine interne Teilmenge der hyperrealen Geraden . Die Menge aller endlichen Hyperinteger (dh sie selbst) ist keine interne Teilmenge. Elemente des Komplements werden je nach Autor als nichtstandardisierte , unbegrenzte oder unendliche Hyperinteger bezeichnet. Der Kehrwert einer unendlichen Hyperinteger ist immer ein Infinitesimalwert . ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb{Z}}$${\displaystyle^{*}\mathbb{Z} \setminus\mathbb{Z}}$

Nichtnegative Hyperzahlen werden manchmal als hypernatürliche Zahlen bezeichnet. Ähnliches gilt für die Sätze und . Beachten Sie, dass letzteres ein nicht standardmäßiges Modell der Arithmetik im Sinne von Skolem liefert . ${\displaystyle \mathbb{N}}$${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$

Verweise

• Howard Jerome Keisler : Elementare Infinitesimalrechnung: Ein unendlicher Ansatz . Erstausgabe 1976; 2. Auflage 1986. Dieses Buch ist jetzt vergriffen. Der Verlag hat das Urheberrecht an den Autor zurückgegeben, der die 2. Auflage im .pdf-Format unter http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html zum Download zur Verfügung gestellt hat