Fermi-Oberfläche - Fermi surface

In der Physik der kondensierten Materie ist die Fermi-Oberfläche die Oberfläche im reziproken Raum, die besetzte von unbesetzten Elektronenzuständen bei Nulltemperatur trennt. Die Form der Fermi-Oberfläche leitet sich aus der Periodizität und Symmetrie des kristallinen Gitters und aus der Besetzung elektronischer Energiebänder ab . Die Existenz einer Fermi-Oberfläche ist eine direkte Folge des Pauli-Ausschlussprinzips , das maximal ein Elektron pro Quantenzustand zulässt. Die Untersuchung der Fermi-Oberflächen von Materialien wird Fermiologie genannt .

Theorie

Abbildung 1. Fermi-Oberfläche und Elektronenimpulsdichte von Kupfer im reduzierten Zonenschema, gemessen mit 2D-ACAR .

Betrachten wir ein Spin -weniger ideal Fermigas von Teilchen. Nach der Fermi-Dirac-Statistik ist die mittlere Besetzungszahl eines Zustands mit Energie gegeben durch ${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon_{i}}$

${\displaystyle \langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon_{i}-\mu)/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

wo,

• ${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle}$ist die durchschnittliche Besetzungszahl des Staates${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle \epsilon_{i}}$ist die kinetische Energie des Zustands${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle\mu}$ist das chemische Potenzial (bei Nulltemperatur ist dies die maximale kinetische Energie, die das Teilchen haben kann, dh Fermi-Energie )${\displaystyle E_{\rm {F}}}$
• ${\displaystyle T}$ist die absolute Temperatur
• ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ist die Boltzmann-Konstante

Nehmen wir an, wir betrachten den Grenzwert . Dann haben wir, ${\displaystyle T\to 0}$

${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle \to {\begin{cases}1&(\epsilon_{i}<\mu )\\0&(\epsilon_{i}>\mu)\ Ende{Fälle}}.}$

Nach dem Pauli-Ausschlussprinzip können sich keine zwei Fermionen im gleichen Zustand befinden. Daher füllen die Teilchen im Zustand niedrigster Energie alle Energieniveaus unterhalb der Fermi-Energie aus , was der Aussage entspricht, dass es das Energieniveau ist, unter dem es genau Zustände gibt .${\displaystyle E_{\rm {F}}}$${\displaystyle E_{\rm {F}}}$${\displaystyle N}$

Im Impulsraum füllen diese Teilchen eine Kugel mit Radius aus , deren Oberfläche Fermi-Fläche genannt wird. ${\displaystyle k_{\rm {F}}}$

Die lineare Reaktion eines Metalls auf einen elektrischen, magnetischen oder thermischen Gradienten wird durch die Form der Fermi-Oberfläche bestimmt, da Ströme auf Änderungen der Besetzung von Zuständen nahe der Fermi-Energie zurückzuführen sind. Im reziproken Raum ist die Fermi-Fläche eines idealen Fermi-Gases eine Kugel mit Radius

${\displaystyle k_{\rm {F}}={\frac {p_{\rm {F}}}{\hbar}}={\frac {\sqrt {2mE_{\rm {F}}}}{\ hbar }}}$,

bestimmt durch die Valenzelektronenkonzentration wobei die reduzierte Planck-Konstante ist . Ein Material, dessen Fermi-Niveau in eine Bandlücke fällt, ist je nach Größe der Bandlücke ein Isolator oder Halbleiter . Wenn das Fermi-Niveau eines Materials in eine Bandlücke fällt, gibt es keine Fermi-Oberfläche. ${\displaystyle \hbar}$

Abbildung 2. Eine Ansicht der Graphit- Fermi-Oberfläche an den Eckpunkten H der Brillouin-Zone, die die trigonale Symmetrie der Elektronen- und Lochtaschen zeigt.

Materialien mit komplexen Kristallstrukturen können sehr komplizierte Fermi-Oberflächen haben. Abbildung 2 veranschaulicht die anisotrope Fermi-Oberfläche von Graphit, die aufgrund mehrerer Bänder, die die Fermi-Energie entlang der Richtung kreuzen, sowohl Elektronen- als auch Lochtaschen in ihrer Fermi-Oberfläche aufweist . Oft ist der Fermi-Oberflächenradius in einem Metall größer als die Größe der ersten Brillouin-Zone, was dazu führt, dass ein Teil der Fermi-Oberfläche in der zweiten (oder höheren) Zone liegt. Wie bei der Bandstruktur selbst kann die Fermi-Oberfläche in einem erweiterten Zonenschema angezeigt werden, in dem beliebig große Werte zulässig sind, oder in einem reduzierten Zonenschema, in dem Wellenvektoren modulo (im 1-dimensionalen Fall) dargestellt werden, wobei a der . ist Gitterkonstante . Im dreidimensionalen Fall bedeutet das reduzierte Zonenschema, dass von jedem Wellenvektor eine angemessene Anzahl reziproker Gittervektoren subtrahiert wird, so dass das Neue nun näher am Ursprung im Raum liegt als an jedem . Festkörper mit einer großen Zustandsdichte auf dem Fermi-Niveau werden bei niedrigen Temperaturen instabil und neigen dazu, Grundzustände zu bilden , in denen die Kondensationsenergie durch das Öffnen einer Lücke an der Fermi-Oberfläche entsteht. Beispiele für solche Grundzustände sind Supraleiter , Ferromagnete , Jahn-Teller-Verzerrungen und Spindichtewellen . ${\displaystyle \mathbf {k} _{z}}$${\displaystyle k_{\rm {F}}}$${\displaystyle\mathbf{k}}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$${\displaystyle\mathbf{k}}$${\displaystyle\mathbf{K}}$${\displaystyle\mathbf{k}}$${\displaystyle\mathbf{k}}$${\displaystyle\mathbf{K}}$

Die Zustandsbesetzung von Fermionen wie Elektronen wird durch die Fermi-Dirac-Statistik bestimmt, so dass bei endlichen Temperaturen die Fermi-Oberfläche entsprechend verbreitert wird. Im Prinzip sind alle Populationen von Fermionen-Energieniveaus durch eine Fermi-Fläche gebunden, obwohl der Begriff außerhalb der Physik der kondensierten Materie im Allgemeinen nicht verwendet wird.

Experimentelle Bestimmung

Elektronische Fermi-Oberflächen wurden durch Beobachtung der Oszillation von Transporteigenschaften in Magnetfeldern gemessen , zum Beispiel der de Haas-van-Alphen-Effekt (dHvA) und der Shubnikov-de-Haas-Effekt (SdH). Ersteres ist eine Oszillation der magnetischen Suszeptibilität und letzteres des spezifischen Widerstands . Die Oszillationen sind periodisch und treten aufgrund der Quantisierung von Energieniveaus in der Ebene senkrecht zu einem Magnetfeld auf, ein Phänomen, das zuerst von Lev Landau vorhergesagt wurde . Die neuen Zustände Landau Ebene genannt und werden durch eine Energie getrennt , wo die angerufene wird Zyklotronfrequenz , die Elektronenladung, ist die Elektronen effektive Masse und ist die Lichtgeschwindigkeit . In einem berühmten Ergebnis bewies Lars Onsager , dass die Schwingungsdauer mit dem Querschnitt der Fermi-Oberfläche (typischerweise in Å ⁻² ) senkrecht zur Magnetfeldrichtung durch die Gleichung zusammenhängt${\displaystyle H}$${\displaystyle 1/H}$${\displaystyle \hbar\omega_{\rm {c}}}$${\displaystyle \omega_{\rm {c}}=eH/m^{*}c}$${\displaystyle e}$${\displaystyle m^{*}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Delta H}$${\displaystyle A_{\perp}}$

${\displaystyle A_{\perp}={\frac {2\pi e\Delta H}{\hbarc}}}$.

Somit ermöglicht die Bestimmung der Schwingungsperioden für verschiedene angelegte Feldrichtungen eine Kartierung der Fermi-Oberfläche. Die Beobachtung der dHvA- und SdH-Oszillationen erfordert Magnetfelder, die so groß sind, dass der Umfang der Zyklotronbahn kleiner als eine mittlere freie Weglänge ist . Daher werden dHvA- und SdH-Experimente normalerweise an Hochfeldeinrichtungen wie dem High Field Magnet Laboratory in den Niederlanden, dem Grenoble High Magnetic Field Laboratory in Frankreich, dem Tsukuba Magnet Laboratory in Japan oder dem National High Magnetic Field Laboratory in den USA durchgeführt.

Abbildung 3. Fermi-Oberfläche von BSCCO, gemessen mit ARPES . Die experimentellen Daten sind als Intensitätsdiagramm in einer gelb-rot-schwarzen Skala dargestellt. Das grüne gestrichelte Rechteck repräsentiert die Brillouin-Zone der CuO2-Ebene von BSCCO .

Die direkteste experimentelle Methode zur Auflösung der elektronischen Struktur von Kristallen im Impuls-Energie-Raum (siehe reziprokes Gitter ) und folglich der Fermi-Oberfläche ist die winkelaufgelöste Photoemissionsspektroskopie (ARPES). Ein Beispiel für die mit ARPES gemessene Fermi-Oberfläche von supraleitenden Kupraten ist in Abbildung 3 dargestellt.

Mit der Positronen-Annihilation ist es auch möglich, die Fermi-Oberfläche zu bestimmen, da der Annihilationsprozess den Impuls des ursprünglichen Teilchens erhält. Da ein Positron in einem Festkörper vor der Vernichtung thermalisiert wird, trägt die Vernichtungsstrahlung die Information über den Elektronenimpuls. Die entsprechende experimentelle Technik wird als Winkelkorrelation der Elektronen-Positronen-Annihilationsstrahlung (ACAR) bezeichnet, da sie die Winkelabweichung von . misst180 Grad beider Vernichtungsquanten. Auf diese Weise ist es möglich, die Elektronenimpulsdichte eines Festkörpers zu untersuchen und die Fermi-Oberfläche zu bestimmen. Darüber hinaus kann mit spinpolarisierten Positronen die Impulsverteilung für die beiden Spinzustände in magnetisierten Materialien ermittelt werden. ACAR hat im Vergleich zu anderen experimentellen Techniken viele Vor- und Nachteile: Es ist nicht auf UHV- Bedingungen, kryogene Temperaturen, hohe Magnetfelder oder vollständig geordnete Legierungen angewiesen . ACAR benötigt jedoch Proben mit einer geringen Leerstellenkonzentration, da sie als effektive Fallen für Positronen fungieren. Auf diese Weise wurde 1978 die erste Bestimmung einer verschmierten Fermi-Oberfläche in einer 30%igen Legierung erhalten.

Siehe auch

• Fermi-Energie
• Brillouin-Zone
• Fermi-Oberfläche supraleitender Kuprate
• Kelvin-Sondenkraftmikroskop

Verweise

Externe Links

• Experimentelle Fermi-Oberflächen einiger supraleitender Cuprate und Strontiumruthenate in "Angle-resolved photoemission spectroscopy of the cuprate supraconductors (Review Article)" (2002)
• Experimentelle Fermi-Oberflächen einiger Cuprate , Übergangsmetalldichalkogenide , Ruthenate und eisenbasierter Supraleiter in "ARPES experiment in fermiology of quasi-2D metals (Review Article)" (2014)
• Dugdale, SB (2016-01-01). "Leben am Rande: Ein Leitfaden für Anfänger zur Fermi-Oberfläche" . Physica Scripta . 91 (5): 053009. Bibcode : 2016PhyS...91e3009D . doi : 10.1088/0031-8949/91/5/053009 . ISSN  1402-4896 .