Gruppenalgebra einer lokal kompakten Gruppe - Group algebra of a locally compact group

In der Funktionsanalyse und verwandten Gebieten der Mathematik ist die Gruppenalgebra eine von verschiedenen Konstruktionen, um einer lokal kompakten Gruppe eine Operatoralgebra (oder allgemeiner eine Banach-Algebra ) zuzuordnen , so dass Darstellungen der Algebra mit Darstellungen der Gruppe in Beziehung stehen. Als solche ähneln sie dem Gruppenring , der einer diskreten Gruppe zugeordnet ist.

Die Algebra C _c ( G ) stetiger Funktionen mit kompakter Unterstützung

Wenn G eine lokal kompakte Hausdorff-Gruppe ist , trägt G ein im Wesentlichen eindeutiges linksinvariantes abzählbar additives Borel-Maß µ, das Haar-Maß genannt wird . Mit dem Haar-Maß kann man eine Faltungsoperation auf dem Raum C _c ( G ) komplexwertiger stetiger Funktionen auf G mit kompaktem Träger definieren ; C _c ( G ) kann dann eine beliebige von verschiedenen Normen erhalten und die Vervollständigung wird eine Gruppenalgebra sein.

Um die Faltungsoperation zu definieren, seien f und g zwei Funktionen in C _c ( G ). Für t in G definiere

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu(s).}$

Die Stetigkeit ergibt sich unmittelbar aus dem Satz der dominierten Konvergenz . Ebenfalls ${\displaystyle f*g}$

${\displaystyle \operatorname {Support} (f*g)\subseteq \operatorname {Support} (f)\cdot \operatorname {Support} (g)}$

wobei der Punkt für das Produkt in G steht . C _c ( G ) hat auch eine natürliche Involution, definiert durch:

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})}$

wobei Δ die modulare Funktion auf G ist . Bei dieser Involution handelt es sich um eine *-Algebra .

Satz. Mit der Norm:

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int_{G}|f(s)|\,d\mu(s),}$

C _c ( G ) wird eine involutive normierte Algebra mit einer angenäherten Identität .

Die angenäherte Identität kann auf einer Nachbarschaftsbasis der aus kompakten Mengen bestehenden Identität indiziert werden. In der Tat, wenn V eine kompakte Umgebung der Identität ist, sei f _V eine nicht-negative stetige Funktion, die in V unterstützt wird, so dass

${\displaystyle \int_{V}f_{V}(g)\,d\mu(g)=1.}$

Dann ist { f _V } _V eine ungefähre Identität. Eine Gruppenalgebra hat genau dann eine Identität, im Gegensatz zu einer angenäherten Identität, wenn die Topologie der Gruppe die diskrete Topologie ist .

Beachten Sie, dass für diskrete Gruppen C _c ( G ) dasselbe ist wie der komplexe Gruppenring C [ G ].

Die Bedeutung der Gruppenalgebra besteht darin, dass sie die unitäre Darstellungstheorie von G erfasst, wie im Folgenden gezeigt

Satz. Sei G eine lokal kompakte Gruppe. Wenn U eine stark stetige unitäre Darstellung von G auf einem Hilbertraum H ist , dann

${\displaystyle \pi_{U}(f)=\int_{G}f(g)U(g)\,d\mu(g)}$

ist eine nicht entartete beschränkte *-Darstellung der normierten Algebra C _c ( G ). Die Karte

${\displaystyle U\mapsto \pi_{U}}$

ist eine Bijektion zwischen der Menge stark stetiger unitärer Darstellungen von G und nicht entarteten beschränkten *-Darstellungen von C _c ( G ). Diese Bijektion respektiert einheitliche Äquivalenz und starke Eindämmung . Insbesondere ist π _U genau dann irreduzibel, wenn U irreduzibel ist.

Nichtentartung einer Darstellung π von C _c ( G ) auf einem Hilbertraum H _π bedeutet, dass

${\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}}$

ist dicht in H _π .

Die Faltungsalgebra L ¹ ( G )

Es ist ein Standardsatz der Maßtheorie , dass die Vervollständigung von C _c ( G ) in der L ¹ ( G ) - Norm isomorph zum Raum L ¹ ( G ) von Äquivalenzklassen von Funktionen ist , die bezüglich des Haar - Maßes integrierbar sind , wobei, wie üblich, zwei Funktionen genau dann als äquivalent angesehen werden, wenn sie sich nur auf einer Menge von Haar-Maß Null unterscheiden.

Satz. L ¹ ( G ) ist eine Banach *-Algebra mit dem oben definierten Faltungsprodukt und der Involution und mit der L ¹ -Norm. L ¹ ( G ) hat auch eine beschränkte ungefähre Identität.

Die Gruppe C*-Algebra C* ( G )

Sei C [ G ] der Gruppenring einer diskreten Gruppe G .

Für eine lokal kompakte Gruppe G ist die Gruppe C*-Algebra C* ( G ) von G definiert als die C*-Hüllalgebra von L ¹ ( G ), dh die Vervollständigung von C _c ( G ) bzgl größte C*-Norm:

${\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup_{\pi}\|\pi (f)\|,}$

wobei π über alle nicht entarteten *-Darstellungen von C _c ( G ) auf Hilberträumen reicht. Wenn G diskret ist, folgt aus der Dreiecksungleichung, dass für jedes solche π gilt:

${\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},}$

daher ist die Norm wohldefiniert.

Aus der Definition folgt, dass C* ( G ) die folgende universelle Eigenschaft hat : Jeder *-Homomorphismus von C [ G ] zu einem B ( H ) (die C*-Algebra der beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum H ) Faktoren durch die Inklusionskarte :

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max}^{*}(G).}$

Die reduzierte Gruppe C*-Algebra C _r * ( G )

Die reduzierte Gruppe C*-Algebra C _r * ( G ) ist die Vervollständigung von C _c ( G ) bezüglich der Norm

${\displaystyle \|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1 \rechts\},}$

wo

${\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}\,d\mu}}}$

ist die L ² norm. Da die Vervollständigung von C _c ( G ) bezüglich der L ² -Norm ein Hilbertraum ist, ist die C _r * -Norm die Norm des beschränkten Operators, der durch Faltung mit f auf L ² ( G ) wirkt und somit ein C*- Norm.

In äquivalentem, C _r * ( G ) ist die C * -Algebra durch das Bild von der linken regulären Darstellung auf erzeugten l ² ( G ).

Im Allgemeinen ist C _r * ( G ) ein Quotient von C* ( G ). Die reduzierte Gruppe C * -Algebra isomorph zu der nicht reduzierten Gruppe C * -Algebra oben definiert ist , wenn und nur wenn G ist , zugänglich .

von Neumann-Algebren, die Gruppen zugeordnet sind

Die Gruppe von Neumann-Algebra W* ( G ) von G ist die einhüllende von Neumann-Algebra von C* ( G ).

Für eine diskrete Gruppe G können wir den Hilbertraum ℓ ² ( G ) betrachten, für den G eine Orthonormalbasis ist . Da G auf ℓ ² ( G ) durch Permutierung der Basisvektoren operiert , können wir den komplexen Gruppenring C [ G ] mit einer Unteralgebra der Algebra der beschränkten Operatoren auf ℓ ² ( G ) identifizieren . Der schwache Abschluss dieser Subalgebra, NG , ist eine von Neumann-Algebra .

Das Zentrum von NG kann durch die Elemente von G beschrieben werden, deren Konjugationsklasse endlich ist. Insbesondere wenn das Identitätselement von G das einzige Gruppenelement mit dieser Eigenschaft ist ( dh G hat die unendliche Konjugationsklasseneigenschaft ), besteht das Zentrum von NG nur aus komplexen Vielfachen der Identität.

NG ist isomorph zum hyperfinite Typ II ₁ Faktor , wenn und nur wenn G ist zählbar , zugänglich und hat die ICC-Gruppe.

Siehe auch

• Graphische Algebra
• Inzidenzalgebra
• Hecke-Algebra einer lokal kompakten Gruppe
• Pfadalgebra
• Gruppoide Algebra
• Stereotype Algebra
• Stereotype Gruppenalgebra
• Hopf-Algebra

Anmerkungen

Verweise

• Lang, S. (2002). Algebra . Abschlusstexte der Mathematik. Springer. ISBN 978-1-4613-0041-0.
• Vinberg, EB (2003). Ein Kurs in Algebra . Diplomstudium Mathematik . 56 . doi : 10.1090/gsm/056 . ISBN 978-0-8218-3318-6.
• Dixmier, J. (2003). C*-Algebren . Nordholland. ISBN 978-0444557476.
• Kirillow, A. A. (1976). Elemente der Theorie der Darstellungen . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . Springer. ISBN 978-3-642-66243-0.
• Loomis, LH (2011). Einführung in die abstrakte harmonische Analyse . Dover Bücher über Mathematik . Dover-Publikationen. ISBN 978-0486481234.
• AI Shtern (2001) [1994], "Gruppenalgebra einer lokal kompakten Gruppe" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press Dieser Artikel enthält Material aus der Gruppe $C^*$-Algebra auf PlanetMath , das unter der Creative Commons-Lizenz Namensnennung/Weitergabe unter gleichen Bedingungen lizenziert ist .