Clebsch Oberfläche - Clebsch surface

Die Clebsch-Kubik in einer lokalen Karte

Modell der Oberfläche

In der Mathematik ist die diagonale kubische Clebsch-Oberfläche oder die ikosaedrische kubische Oberfläche von Klein eine nicht singuläre kubische Oberfläche , die von Clebsch (1871) und Klein (1873) untersucht wurde und deren 27 außergewöhnliche Linien über die reellen Zahlen definiert werden können. Der Begriff Kleins ikosaedrische Oberfläche kann sich entweder auf diese Oberfläche oder auf ihre Explosion an den 10 Eckardt-Punkten beziehen .

Definition

Die Clebsch-Oberfläche ist die Menge von Punkten ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ : x ₄ ) von P ^4, die die Gleichungen erfüllen

${\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4} = 0,}$

${\ displaystyle x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3} = 0. }}$

Das Eliminieren von x ₀ zeigt, dass es auch isomorph zur Oberfläche ist

${\ displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3} = (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4}) ^ {3}}$

in P ³ .

Die Symmetriegruppe der Oberfläche ist die symmetrische Gruppe S ₅ der Ordnung 120, die durch Permutationen der Koordinaten (in P ⁴ ) wirkt . Bis zum Isomorphismus ist die Clebsch-Oberfläche die einzige kubische Oberfläche mit dieser Automorphismusgruppe.

Eigenschaften

Die 27 außergewöhnlichen Linien sind:

• Die 15 Bilder (unter S ₅ ) der Punktelinie der Form ( a  : - a  : b  : - b  : 0).
• Die 12 Bilder der Linie durch den Punkt (1: ζ: ζ ² : ζ ³ : ζ ⁴ ) und sein komplexes Konjugat, wobei ζ eine primitive 5. Wurzel von 1 ist.

Die Oberfläche hat 10 Eckardt-Punkte, an denen sich 3 Linien treffen, gegeben durch den Punkt (1: -1: 0: 0: 0) und seine Konjugate unter Permutationen. Hirzebruch (1976) zeigte, dass die Oberfläche, die durch Aufblasen der Clebsch-Oberfläche in ihren 10 Eckardt-Punkten erhalten wird, die modulare Hilbert-Oberfläche der Hauptkongruenz-Untergruppe der Ebene 2 der modularen Hilbert-Gruppe des Feldes Q ist ( √ 5 ). Der Quotient der modularen Hilbert-Gruppe durch ihre Kongruenz-Untergruppe der Ebene 2 ist an 5 Punkten isomorph zur alternierenden Gruppe der Ordnung 60.

Wie alle nicht singulären kubischen Flächen kann die Clebsch-Kubik durch Aufblasen der Projektionsebene in 6 Punkten erhalten werden. Klein (1873) beschrieb diese Punkte wie folgt. Wenn die projektive Ebene mit dem Satz von Linien durch den Ursprung in einem dreidimensionalen Vektorraum identifiziert wird, der ein am Ursprung zentriertes Ikosaeder enthält , entsprechen die 6 Punkte den 6 Linien durch die 12 Eckpunkte des Ikosaeders. Die Eckardt-Punkte entsprechen den 10 Linien durch die Zentren der 20 Flächen.

Verweise

• Clebsch, A. (1871), "Über die Anwendung der quadratischen Substitution auf die Gleichungen 5ten Grade und die geometrische Theorie des ebenen Fünfseits", Mathematische Annalen , 4 (2): 284–345, doi : 10.1007 / BF01442599
• Hirzebruch, Friedrich (1976), "Die Hilbert-Modulgruppe für das Feld Q (√5) und die kubisch-diagonale Fläche von Clebsch und Klein", Russian Math. Surveys , 31 (5): 96–110, doi : 10.1070 / RM1976v031n05ABEH004190 , ISSN  0042-1316 , MR  0498397
• Hunt, Bruce (1996), Die Geometrie einiger spezieller arithmetischer Quotienten , Lecture Notes in Mathematics, 1637 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0094399 , ISBN 978-3-540-61795-2, MR  1438547
• Klein, Felix (1873), "Ueber Flächen dritter Ordnung" , Mathematische Annalen , Springer Berlin / Heidelberg, 6 (4): 551–581, doi : 10.1007 / BF01443196

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Clebsch diagonal kubisch" . MathWorld .
• Clebsch Surface , John Baez , 1. März 2016, AMS Visual Insight

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