Empowerment

Graf over forskellige magtfunktioner.

Potens er en matematisk operation mellem to udtryk kaldet: base og eksponent . Det er normalt skrevet og læst som " en hævet til magten af ​​n ". Der er nogle specielle eksponenter som 2, som læses i kvadrat , og 3, som læses i terninger . Eksponenter større end 3. terning læses normalt som hævet til fjerde, femte, sjette osv. magt . $-en$$n$$a^{n}$

Definition

Et udtryk for formen kaldes en potens , hvor a kaldes grundfladen og kaldes eksponenten . Dens definition varierer afhængigt af det numeriske sæt , som eksponenten tilhører. Grundlaget ganges med sig selv de gange, der er angivet med eksponenten minus 1. For at kvadrere ganges den således én gang, og til terning ganges den to gange. $a^{n}$$n$

Potentiering er en operation, der består i at gange med sig selv et hovedtal kaldet base, så mange gange som angivet med et andet tal kaldet eksponent. Med andre ord: potens tager et tal kaldet base som en faktor lige så mange gange som angivet af et andet tal kaldet eksponent .

Naturlig eksponent

Når eksponenten er et naturligt tal n , angiver det, hvor mange gange a vises multiplicerende med sig selv, hvilket er et hvilket som helst tal :

( 1 )${\begin{array}{ll}a^{1}=&a\\a^{2}=&a\times a\\\vdots &\vdots \\a^{n}=&\underbrace {a\times \cdots \times a}_{{n{\text{ gange}}}},\end{array}}$

Denne definition kan anvendes på både reelle og komplekse tal , såvel som andre mere abstrakte algebraiske strukturer , som for eksempel kan være kvadratiske matricer .

Multiplikation af potenser med lige grundtal

Basen beholdes og eksponenterne tilføjes; nemlig:

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{{n+m}}$

$a^{n}\times a^{m}=\underbrace {\underbrace {a\times \cdots \times a}_{n}\times \underbrace {a\times \cdots \times a}_{m} }_{{n+m}}=a^{{n+m}}$

Eksempler:

$9^{3}\cdot 9^{2}=9^{{3+2}}=9^{5}$

Power af en potens i kvadratisk matrix

Potensen af ​​en potens i en kvadratisk matrix er lig med potensen med basis a , og hvis eksponent er produktet af begge eksponenter (samme grundtal og eksponenterne ganges):

${(a^{m})}^{n}=a^{{m\cdot n}}$

$(a^{m})^{n}={(\underbrace {a\times \cdots \times a}_{m})}^{n}=n{\begin{cases}\underbrace {{\begin {matrix}a\times &\cdots &\times a\times \\\vdots &&\vdots \\a\times &\cdots &\times a\end{matrix}}}_{m}\end{cases} }=a^{{m\cdot n}}$

På grund af dette er notationen forbeholdt betydning, da den kan skrives simpelthen som . $a^{{b^{c}}}$$a^{{(b^{c})}}$${(a^{b})}^{c}$$a^{{bc}}\,$

Et produkts styrke

Effekten af ​​et produkt er lig med produktet af hver af faktorerne hævet til den samme eksponent, dvs.

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

$(a\gange b)^{n}=n{\begin{cases}{\begin{matrix}a\gange b\gange \\\vdots \\a\gange b\end{matrix}}\slut{cases }}=a^{n}\ gange b^{n}$

---

Hvis basen a har en additiv invers , angivet med det negative fortegn -a , så har vi reglen:

$(-a)^{n}=\;\;\;\;\;a^{n}$hvis det er lige $n$ $(-a)^{n}=-(a^{n})$hvis det er mærkeligt. $n$

${\begin{array}{ll}(-a)^{1}=&-a\\(-a)^{2}=&(-a)\ gange (-a)=a^{2}\ \(-a)^{3}=&\underbrace {(-a)\ gange (-a)}_{{a^{2}}}\ gange (-a)=-(a^{3}) \\\vdots &\\(-a)^{n}=&\underbrace {((-a)\ gange (-a))\ gange \cdots \ gange ((-a)\ gange (-a)) }_{{n{\text{ par}}}}=a^{n}\\(-a)^{n}=&\underbrace {\underbrace {((-a)\ gange (-a)) \times \cdots \times ((-a)\times (-a))}_{{n-1{\text{ selv så det er }}a^{{n-1}}}}\ gange (- a)}_{{n{\text{ ulige}}}})=-(a^{n}),\end{array}}$

Hvis grundtallet a har en multiplikativ invers , det vil sige eller at , så er dette angivet med og eksponenten kan udvides til alle heltal : $c$$c\cdot a=1$$c={\frac {1}{a}}$$a^{{-1}},$

( 2 )${\begin{array}{l}a^{{-1}}={\frac {1}{a}}\\a^{{-n}}={\frac {1}{a^{n }}}\end{array}}$

Observation

$a^{{-n}}=(a^{{-1}})^{n}=\underbrace {{\frac {1}{a}}\times \cdots \times {\frac {1}{ a}}}_{n}={\frac {1}{\underbrace {a\times \cdots \times a}_{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}.$

Fordeling af magter på lige grund

Kvotienten af ​​to potenser med samme grundtal er lig med en potens af nævnte grundtal med en eksponent lig med forskellen mellem eksponenten for udbyttet minus divisorens, ​, dvs.

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{{mn}}$

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m}\cdot a^{{-n}}$ $=a^{{m+(-n)}}$ $=a^{{mn}}$ I en udvidet måde opstår tre tilfælde: $={\frac {\overbrace {a\times \cdots \times a}^{m}}{\underbrace {a\times \cdots \times a}_{n}}}$ $={\begin{cases}{\begin{matrix}{\frac {\overbrace {{\cancel a}\times \cdots \times {\cancel a}}^{n}\times \overbrace {a\times \ cdots \times a}^{{mn}}}{\underbrace {{\cancel a}\times \cdots \times {\cancel a}}_{n}}}=a^{{mn}}&{\ tekst{If }}m>n\\{\frac {\overbrace {{\cancel a}\times \cdots \times {\cancel a}}^{m}}{\underbrace {{\cancel a}\times \cdots \times {\cancel a}}_{n}}}=1&{\text{If }}m=n\\{\frac {\overbrace {{\cancel a}\times \cdots \times {\ annuller a}}^{m}}{\underbrace {{\cancel a}\times \cdots \times {\cancel a}}_{m}\times \underbrace {a\times \cdots \times a}_{ {nm}}}}={\frac {1}{a^{{nm}}}}&{\text{Si }}m<n\end{matrix}}\end{cases}}$

Eksempel:

${\frac {9^{5}}{9^{3}}}=9^{{5-3}}=9^{2}$

Eksponentstyrke 0

Ved konvention resulterer et andet tal end 0 hævet til eksponenten 0 i enhed (1), da: ]

$1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{{nn}}=a^{0}\,$

Det særlige tilfælde af er ikke defineret og er kendt som en ubestemmelighed . $0^{0}\,$

En kvotients magt

Potensen af ​​en kvotient er lig med kvotienten af ​​hvert af tallene hævet til den samme eksponent.

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}=$$\venstre(a\cdot b^{{-1}}\højre)^{n}=$ $a^{n}\cdot b^{{-n}}=$ ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ Eller i udvidet form: $=\underbrace {{\frac {a}{b}}\times \cdots \times {\frac {a}{b}}}_{n}={\frac {a\times \cdots \times a}{ b\times \cdots \times b}}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

---

Hvis grundtallet a = 0, så har a ikke en multiplikativ invers , så kun eksponenter af naturlige tal præsenteres af ( 1 ), hvilket forbyder notationen ( 2 ) som en numerisk værdi: $a^{{-1}}$

$0^{1}=0$

Rationel eksponent

Potens med rationel eksponent kommer fra behovet for at løse en ligning af typen , således at , men det skal garanteres, at x er et reelt tal, og dette kan kun garanteres for alle n , hvis grundtallet a er et positivt reelt tal, så der er en sætning, der siger: $x^{n}=a$$x={\sqrt[ {n}]{a}}$

Givet et positivt reelt tal a , har det en unik positiv n-te rod.

For at notere roden er brugen af ​​brøker i eksponenten defineret:

( 3 )$a^{{{\frac {1}{n}}}}={\sqrt[ {n}]{a}}$

Observation

$\left(a^{{{\frac {1}{n}}}}\right)^{n}=a^{{{\frac {1}{n}}\cdot n}}=a^{ 1}=a.$

Generelt for brøker er det defineret, at:

( 4 )${\begin{array}{ll}a^{{{\frac {n}{m}}}}&={\sqrt[ {m}]{a^{n}}}\\a^{{- {\frac {n}{m}}}}&={\frac {1}{a^{{{\frac {n}{m}}}}}}\end{array}}$

Forhold

$a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}}}=a^{{{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}}\Leftrightarrow$ ${\frac {n_{1}}{m_{1}}}={\frac {n_{2}}{m_{2}}}$

${\frac {n_{1}}{m_{1}}}={\frac {n_{2}}{m_{2}}}\Rightarrow$ $n_{1}\cdot m_{2}=n_{2}\cdot m_{1}$ $a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}}}=a^{{{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}}\Leftrightarrow$ $\left(a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}}}\right)^{{m_{1}\cdot m_{2}}}=\left(a^{ {{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}}\right)^{{m_{1}\cdot m_{2}}}\Leftrightarrow$ $a^{{n_{1}\cdot m_{2}}}=a^{{m_{1}\cdot n_{2}}}.$

Egenskaber

$a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}}}\cdot a^{{{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}}=a^{ {{\frac {n_{1}}{m_{1}}}+{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}},$

$\left(a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}}}\right)^{{{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}}= a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\cdot {\frac {n_{2}}{m_{2}}}}},$

$(a\cdot b)^{{{\frac {n}{m}}}}=a^{{{\frac {n}{m}}}}\cdot b^{{{\frac {n} {m}}}}.$

Reel eksponent

Magt kan udvides til virkelige eksponenter ved hjælp af rationelle sekvenser ; Dette afspejles i følgende sætning:

Givet et positivt reelt tal a og en række af rationelle tal , der har en grænse b , så er der en grænse for rækkefølgen , der skrives som: $q_{n}$ $a^{{q_{n}}}$ $a^{b}=\lim{n\to \infty }}a^{{q_{n}}}$

Bemærk, at de successive tilnærmelser af har rationelle tal som eksponenter, så for at definitionen skal være konsistent, kræves det, at a er et positivt reelt tal. $a^{n}$

På samme måde kan eksponentiering udvides til funktioner ved hjælp af eksponentialfunktionen og dens inverse, den naturlige logaritmefunktion , i en proces kaldet eksponentiering . Således er det defineret

$f(x)^{{g(x)}}=e^{{g(x)\ln f(x)}}$.

På samme måde er det fuldt konsistent, hvis billedsættet af er sættet af positive reelle tal , eller en delmængde af det, hvor værdierne af eksponentfunktionen er reelle tal, fordi den naturlige logaritme ikke er defineret for talnegative tal. $f(x)$$\mathbb{R}^+$$f(x)$

Egenskaber

$a^{b}\cdot a^{c}=a^{{b+c}},$

$\left(a^{b}\right)^{c}=a^{{b\cdot c}},$

$(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}.$

Kompleks eksponent

Det kan udvides til komplekse eksponenter ved hjælp af analytiske eller holomorfe funktioner , som denne, hvor det-exp er bestemmelsen af ​​eksponentielle og$a^{b}={\mbox{det-exp}}(b\cdot {\mbox{det-log }}a)$

Empowerment resultater

Egenskaber ikke opfyldt af potensering

Det er ikke distributivt med hensyn til addition og subtraktion (se bemærkelsesværdige produkter ), det vil sige, det kan ikke distribueres, når det inden for parentes er addition eller subtraktion:

$(a+b)^{m}\ \neq \ a^{m}+b^{m}$

$(ab)^{m}\ \neq \ a^{m}-b^{m}$

Det opfylder ikke den kommutative egenskab :

$a^{b}\ \neq \ b^{a}$

Det opfylder heller ikke den associative egenskab:

$a^{{b^{c}}}=a^{{(b^{c})}}\neq (a^{b})^{c}=a^{{(b\cdot c)} }=a^{{bc}}$

Base 10 power

For potenser med grundtal 10 og heltalseksponent vil effekten være at flytte decimaltegnet så mange steder som eksponenten angiver, til venstre hvis eksponenten er negativ, eller til højre hvis eksponenten er positiv.

Eksempler:

${\begin{array}{lcl}10^{-6}&=&0.000001\\10^{-5}&=&0.00001\\10^{-4}&=&0.0001\ \10^{-3}&=&0.001\\10^{-2}&=&0.01\\10^{-1}&=&0.1\end{array}}$

${\begin{array}{lcr}10^{0}&=&1\\10^{1}&=&10\\10^{2}&=&100\\10^{3}&=&1.000\ \10^{4}&=&10.000\\10^{5}&=&100.000\\10^{6}&=&1.000.000\end{array}}$

Grundpotenser på 10 bruges ofte til at udtrykke store tal (med mange cifre) eller små tal (med mange decimaler). For eksempel kan decimaltallet 0,00000123 udtrykkes som . Den måde at skrive tal på er kendt som videnskabelig notation . ] $123\cdot 10^{-8}$

Grafisk repræsentation

Den grafiske repræsentation af en potensfunktion f ( x )= xn med naturlig eksponent ⁿ har endda symmetri svarende til den for en parabel . Dens toppunkt er placeret i punktet (0, 0), og kurven aftager i den anden kvadrant og stiger i den første.

Den grafiske fremstilling af en potensfunktion f ( x ) = x ⁿ med ulige naturlig eksponent n er en kurve med to grene forbundet i punktet (0, 0), som har rotationssymmetri omkring sig. Bøjningspunktet er præcis i punktet (0, 0), kurven er altid stigende og optager tredje og første kvadrant.

Disse kurver er kontinuerlige og differentierbare i hele deres definitionsdomæne .

Graf af en parabel .  $y=x^{2}\,$ Graf af .  $y=x^{3}\,$

Grænser

Ubestemmelse 0 ⁰

Specialtilfældet betragtes som udefineret og kan afhængigt af konteksten tildeles forskellige værdier afhængigt af de specifikke egenskaber, der skal vedligeholdes. $0^{0}\,$

For eksempel kan det argumenteres, at er lig med værdien af ​​grænsen $0^{0}\,$

$?{x\til 0^{+}}}x^{0}$

og hvad angår , kan nævnte værdi være lig med 1. Udtrykket kan dog også betragtes som værdien af ​​grænsen $x^{0}=1$$x\neq 0$

$?{x\til 0^{+}}}0^{x}$

og hvad angår , kunne nævnte værdi være lig med 0. Dette illustrerer, at formen kan svare til forskellige værdier og derfor betragtes som udefineret. $0^{x}=0$$x\neq 0$$0^{0}\,$

Debatten om værdien af ​​form er næsten to århundreder gammel. I de tidlige dage af matematisk analyse, hvor det formelle grundlag for beregning ikke var blevet etableret, var det almindeligt at acceptere, at =1. Men i 1821, da Cauchy udgav Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique , der etablerede den første strenge behandling af analyse, vises denne form i en tabel med ubestemte former sammen med andre som 0/0. I 1830'erne udgav Libri ​ et argument for at tildele 1 som værdien af ​​og Möbius ​ støttede det ved fejlagtigt at sige, at $0^{0}\,$$0^{0}\,$$0^{0}\,$

$\lim{t\to 0^{+}}}f(t)^{{g(t)}}=1\,$så længe$?{t\to 0^{+}}}f(t)=?{t\to 0^{+}}}g(t)=0.$

Imidlertid gav en kommentator, der blot underskrev "S", et modeksempel.

$f(t)^{{g(t)}}={(e^{{-1/t}})}^{t}$

hvis grænse hvornår er , hvilket beroligede debatten med den tilsyneladende konklusion af hændelsen, der skulle forblive på ubestemt tid. Flere detaljer kan findes i Knuth (1992). ] $t\til 0^{+}$$1/e$$0^{0}\,$

På nuværende tidspunkt betragtes formen normalt som ubestemt og tildeles ikke en værdi, hvis der ikke er en kontekst, hvor den tildelte værdi giver mening. ] $0^{0}\,$

For at beregne grænser, hvis tilsyneladende værdi er , bruges ofte l'Hôpitals regel . $0^{0}\,$

Generaliseringer

Udvidelse til abstrakte strukturer

Definitionen af ​​magt kan udvides til reelle , komplekse eller endda matrixeksponenter . Givet en ring defineres potentieringsoperationen som: $\scriptstyle ({\mathbb {A}},+,\cdot )$

${\begin{array}{rccl}{\mathrm {Pot}}:&{\mathbb {A}}\gange {\mathbb {N}}&\longrightarrow &{\mathbb {A}}\\&(x ,n)&\longrightarrow &y={\mathrm {Pot}}(x,n)=x^{n}\end{array}}$

Dette adskiller sig fra eksponentiering , som kan defineres over et felt, der indeholder rationaler eller visse algebraer over reelle eller komplekser:

${\begin{array}{rccl}{\mathrm {Exp}}:&{\mathbb {A}}&\longrightarrow &{\mathbb {A}}\\&x&\longrightarrow &y={\mathrm {Exp}} (x)=e^{x}\end{array}}$

${\mathrm {Exp}}(x)=\sum{k=0}}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$

Det er klart, at eksponentiering kun kan defineres på et sæt, hvor det er muligt at definere potensering, selvom en ring altid vil tillade potentieringsoperationen (med naturlig eksponent), selvom den ikke tillader eksponentiering.

Magten af ​​komplekse tal

For ethvert af de reelle tal har vi identiteten: $a,b,c,d\,$

$\left(a\,e^{{i\,b}}\right)^{{\left(c\,e^{{i\,d}}\right)}}=a^{{c\ ,\cos d}}\,e^{{i\,\venstre(c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\ uden d}}$

Se også

• Bemærkelsesværdige produkter
• Kvadrat rod
• afregning
• De Moivres formel (for potenser af komplekse tal)
• to magt
• power serie
• Logaritme

Referencer

Bibliografi

• Ortega, Joaquin M. (1993). "Positive reelle basiskræfter og reel eksponent" . Introduktion til matematisk analyse . Barcelona: Barcelonas autonome universitet / Labour. pp. 51-54. ISBN  978-8-433-53047-9 . OCLC  37802457 . 

Eksterne links

• Artikel om empowerment i Universal Encyclopedia på spansk