Veldefineret udtryk - Well-defined expression

I matematik er et veldefineret udtryk eller entydigt udtryk et udtryk, hvis definition tildeler det en unik fortolkning eller værdi. Ellers siges udtrykket ikke at være veldefineret , dårligt defineret eller tvetydigt . En funktion er veldefineret, hvis den giver det samme resultat, når repræsentationen af ​​input ændres uden at ændre inputværdien. For eksempel, hvis f tager reelle tal som input, og hvis f (0,5) ikke er lig f (1/2), så er f ikke veldefineret (og dermed ikke en funktion). Udtrykket veldefineret kan også bruges til at indikere, at et logisk udtryk er entydigt eller ukontradiktorisk.

En funktion, der ikke er veldefineret, er ikke det samme som en funktion, der er udefineret . For eksempel, hvis f ( x ) = 1 / x , så det faktum, at f (0) er udefineret, betyder ikke, at f er ikke veldefineret - men at 0 er simpelthen ikke i domæne af f .

Eksempel

Lad være sæt, lad og "definer" som om og hvis . ${\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}}$${\ displaystyle A = A_ {0} \ cup A_ {1}}$${\ displaystyle f: En \ højre pil \ {0,1 \}}$${\ displaystyle f (a) = 0}$${\ displaystyle a \ i A_ {0}}$${\ displaystyle f (a) = 1}$${\ displaystyle a \ i A_ {1}}$

Så er veldefineret hvis . For eksempel, hvis og , så ville være veldefineret og lig med . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A_ {0} \ cap A_ {1} = \ emptyset \!}$${\ displaystyle A_ {0}: = \ {2,4 \}}$${\ displaystyle A_ {1}: = \ {3,5 \}}$${\ displaystyle f (a)}$${\ displaystyle \ operatorname {mod} (a, 2)}$

Men hvis , så ikke ville være veldefineret, fordi det er "tvetydigt" for . For eksempel, hvis og , så skulle være både 0 og 1, hvilket gør det tvetydigt. Som følge heraf er sidstnævnte ikke veldefineret og dermed ikke en funktion. ${\ displaystyle A_ {0} \ cap A_ {1} \ neq \ emptyset}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (a)}$${\ displaystyle a \ i A_ {0} \ cap A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {0}: = \ {2 \}}$${\ displaystyle A_ {1}: = \ {2 \}}$${\ displaystyle f (2)}$${\ displaystyle f}$

"Definition" som forventning til definition

For at undgå apostroferne omkring "definere" i det foregående enkle eksempel kunne "definitionen" af opdeles i to enkle logiske trin: ${\ displaystyle f}$

Selvom definitionen i trin 1 er formuleret med enhver definitions frihed og bestemt er effektiv (uden at skulle klassificere den som "veldefineret"), skal påstanden i trin 2 bevises. Det vil sige, er en funktion, hvis og kun hvis , i hvilket tilfælde - som en funktion - er veldefineret. På den anden side, hvis vi så for en , ville have det og , hvilket gør den binære relation ikke funktionel (som defineret i binær relation#Særlige typer af binære relationer ) og dermed ikke godt defineret som en funktion. I daglig tale kaldes "funktionen" også tvetydig (selvom der per definition aldrig er en "tvetydig funktion"), og den oprindelige "definition" er meningsløs. På trods af disse subtile logiske problemer er det ganske almindeligt at forudgående bruge udtrykket definition (uden apostrofer) til "definitioner" af denne art - af tre grunde: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A_ {0} \ cap A_ {1} = \ emptyset}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A_ {0} \ cap A_ {1} \ neq \ emptyset}$${\ displaystyle a \ i A_ {0} \ cap A_ {1}}$${\ displaystyle (a, 0) \ i f}$ ${\ displaystyle (a, 1) \ i f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

1. Det giver en praktisk stenografi af totrins-tilgangen.
2. Den relevante matematiske begrundelse (dvs. trin 2) er den samme i begge tilfælde.
3. I matematiske tekster er påstanden "op til 100%" sand.

Uafhængighed af repræsentant

Spørgsmålet om veldefineret funktion af en funktion opstår klassisk, når den definerende ligning for en funktion ikke (kun) refererer til selve argumenterne, men (også) til elementer i argumenterne, der fungerer som repræsentanter . Dette er undertiden uundgåeligt, når argumenterne er cosets, og ligningen refererer til coset -repræsentanter. Resultatet af en funktionsapplikation må da ikke afhænge af valget af repræsentant.

Funktioner med et argument

Overvej f.eks. Følgende funktion

${\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {Z} /8 \ mathbb {Z} & \ to & \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z} \\ & {\ overline {n}} _ {8} & \ mapsto & {\ overline {n}} _ {4}, \ end {matrix}}}$

hvor og er de hele tal modulo m og betegner kongruens klasse af n mod m . ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}, m \ in \ {4,8 \}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} /m \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {m}}$

NB: er en reference til elementet , og er argumentet for . ${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {4}}$${\ displaystyle n \ i {\ overline {n}} _ {8}}$${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {8}}$${\ displaystyle f}$

Funktionen er veldefineret, fordi ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle n \ equiv n '{\ bmod {8}} \; \ Venstrehøjre pil \; 8 {\ tekst {divides}} (n-n') \ Højre pil \; 4 {\ tekst {divides}} (n- n ') \; \ Venstrehøjre pil \; n \ ækvivalent n' {\ bmod {4}}.}$

Som et modeksempel, den omvendte definition

${\ displaystyle {\ begin {matrix} g: & \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z} & \ to & \ mathbb {Z} /8 \ mathbb {Z} \\ & {\ overline {n}} _ {4} & \ mapsto & {\ overline {n}} _ {8}, \ end {matrix}}}$

fører ikke til en veldefineret funktion, da f.eks. er lig med , men den første ville blive kortlagt til , mens den anden ville blive kortlagt til og og er ulige i . ${\ displaystyle {\ overline {1}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ overline {5}} _ {4}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ overline {1}} _ {8}}$${\ displaystyle {\ overline {5}} _ {8}}$${\ displaystyle {\ overline {1}} _ {8}}$${\ displaystyle {\ overline {5}} _ {8}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} /8 \ mathbb {Z}}$

Operationer

Især bruges udtrykket veldefineret med hensyn til (binære) operationer på cosets. I dette tilfælde kan man se operationen som en funktion af to variabler, og egenskaben ved at være veldefineret er den samme som for en funktion. F.eks. Kan addition på heltalsmodulet nogle n defineres naturligt i form af heltalstilsætning.

${\ displaystyle [a] \ oplus [b] = [a+b]}$

Det faktum, at dette er veldefineret, følger af det faktum, at vi kan skrive enhver repræsentant for som , hvor er et helt tal. Derfor, ${\ displaystyle [a]}$${\ displaystyle a+kn}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle [a] \ oplus [b] = [a+kn] \ oplus [b] = [(a+kn)+b] = [(a+b)+kn] = [a+b];}$

og tilsvarende for enhver repræsentant for , og derved foretage den samme uanset valg af repræsentant. ${\ displaystyle [b]}$${\ displaystyle [a+b]}$

Godt defineret notation

For reelle tal er produktet entydigt fordi (og derfor siges at notationen er veldefineret ). Denne egenskab, også kendt som multiplikationens associativitet , garanterer, at resultatet ikke afhænger af multiplikationssekvensen, så en specifikation af sekvensen kan udelades. ${\ displaystyle a \ gange b \ gange c}$${\ displaystyle (a \ times b) \ times c = a \ times (b \ times c)}$

Den subtraktion operation, på den anden side, er ikke associativ. Der er imidlertid en konvention, der er stenografi for , og derfor er den "veldefineret". ${\ displaystyle abc}$${\ displaystyle (ab) -c}$

Division er også ikke-associativ. I tilfælde af er parentesekonventioner imidlertid ikke så veletablerede, så dette udtryk betragtes ofte som dårligt defineret . ${\ displaystyle a/b/c}$

I modsætning til med funktioner kan de notationelle uklarheder mere eller mindre let overvinde ved hjælp af yderligere definitioner (f.eks. Fortrinsregler , operatørens associativitet). For eksempel i programmeringssproget C er operatøren -for subtraktion venstre-til-højre-associativ , hvilket betyder, at det a-b-cer defineret som (a-b)-c, og operatoren =for tildeling er højre-til-venstre-associativ , hvilket betyder, at det a=b=cer defineret som a=(b=c). I programmeringssproget APL er der kun en regel: fra højre til venstre - men først i parentes.

Andre anvendelser af udtrykket

En løsning på en partiel differentialligning siges at være veldefineret, hvis den bestemmes af randbetingelserne på en kontinuerlig måde, når randbetingelserne ændres.

Se også

• Ækvivalensforhold § Veldefineret under et ækvivalensforhold
• Definitionisme
• Eksistens
• Unikhed
• Enestående kvantificering
• Udefineret

Referencer

Noter

Kilder

• Moderne abstrakt algebra , Joseph A. Gallian, 6. udgave, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN  0-618-51471-6 .
• Algebra: Kapitel 0 , Paolo Aluffi, ISBN  978-0821847817 . Side 16.
• Abstract Algebra , Dummit and Foote, 3. udgave, ISBN  978-0471433347 . Side 1.