Delvis funktion - Partial function

I matematik , en partiel funktion $f$ fra et sæt $X$ til et sæt $Y$ er en funktion fra en delmængde $S$ af $X$ (muligvis $X$ selv) til $Y$ . Delsættet $S$ , det vil sige domænet for $f$ betragtes som en funktion, kaldes definitionsdomænet for $f$ . Hvis $S er$ lig med $X$ , det vil sige, hvis $f$ er defineret på hvert element i $X$ , så siges $f$ at være total .

Mere teknisk er en delvis funktion en binær relation over to sæt, der knytter hvert element i det første sæt til højst et element i det andet sæt; det er således et funktionelt binært forhold . Det generaliserer begrebet en (total) funktion ved ikke at kræve, at hvert element i det første sæt er tilknyttet nøjagtigt et element i det andet sæt.

En delvis funktion bruges ofte, når dens nøjagtige definitionsdomæne ikke er kendt eller vanskelig at specificere. Dette er tilfældet i beregning , hvor for eksempel kvotienten for to funktioner er en delvis funktion, hvis definitionsdomæne ikke kan indeholde nævnernes nuller . Af denne grund kaldes en delvis funktion i beregning og mere generelt i matematisk analyse generelt bare en funktion . I beregbarhedsteori er en generel rekursiv funktion en delvis funktion fra heltal til heltal; for mange af dem kan der ikke eksistere nogen algoritme til at afgøre, om de faktisk er samlede.

Når pilen notation bruges til funktioner, en partiel funktion fra til er undertiden skrives som $f$ $:$ $X$ $⇸$ $Y$ , eller Der er dog ingen generel konvention, og sidstnævnte notation er mere almindeligt anvendt til injektive funktioner .. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f: X \ rightharpoonup Y,}$ ${\ displaystyle f: X \ nrightarrow Y,}$ ${\ displaystyle f: X \ hookrightarrow Y.}$

Specifikt for en delvis funktion, og enhver har enten: ${\ displaystyle f: X \ rightharpoonup Y,}$ ${\ displaystyle x \ i X,}$

${\ displaystyle f (x) = y \ i Y}$ (det er et enkelt element i $Y$ ), eller
${\ displaystyle f (x)}$ er udefineret.

For eksempel, hvis er kvadratrodfunktionen begrænset til heltalene ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ til \ mathbb {N},}

defineret af:

{\ displaystyle f (n) = m}

hvis og kun hvis,

{\ displaystyle m ^ {2} = n,}

{\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}, n \ in \ mathbb {Z},}

derefter er kun defineret, hvis der er en perfekt firkant (dvs. ). Så men er udefineret. ${\ displaystyle f (n)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 0,1,4,9,16, \ ldots}$ ${\ displaystyle f (25) = 5}$ ${\ displaystyle f (26)}$

Basale koncepter

Et eksempel på en delvis funktion, der er injektionsdygtig .

Et eksempel på en funktion , der ikke er injektionsdygtig.

En delfunktion siges at være injektionsdygtig , surjektiv eller bijektiv, når den funktion, der er givet ved begrænsningen af den delvise funktion til dens definitionsdomæne, er henholdsvis injektiv, surjectiv, bijektiv.

Fordi en funktion er trivielt surjectiv, når den er begrænset til dens billede, betegner udtrykket delvis vedektion en delvis funktion, som er injektionsdygtig.

En injektionspartiel funktion kan vendes om til en injektionspartiel funktion, og en delvis funktion, som er både injektions- og surjektiv har en injektionsfunktion som invers. Desuden kan en funktion, som er injektionsdygtig, vendes om til en delvis injektionsfunktion.

Begrebet transformation kan også generaliseres til delvise funktioner. En delvis transformation er en funktion , hvor både og er delmængder af nogle sæt ${\ displaystyle f: A \ rightharpoonup B,}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle X.}$

Fungere

En funktion er en binær relation, der er funktionel (også kaldet højre-unik) og seriel (også kaldet venstre-total). Dette er en stærkere definition end en delvis funktion, som kun kræver den funktionelle egenskab.

Funktionsrum

Sættet med alle delfunktioner fra et sæt til et sæt betegnet med er foreningen af alle funktioner defineret på delmængder med samme kodemåde : ${\ displaystyle f: X \ rightharpoonup Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle [X \ rightharpoonup Y],}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

{\ displaystyle [X \ rightharpoonup Y] = \ bigcup _ {D \ subseteq {X}} [D \ to Y],}

sidstnævnte er også skrevet som i et endeligt tilfælde, dets kardinalitet er ${\ textstyle \ bigcup _ {D \ subseteq {X}} Y ^ {D}.}$

{\ displaystyle | [X \ rightharpoonup Y] | = (| Y | +1) ^ {| X |},}

fordi en hvilken som helst delfunktion kan udvides til en funktion med en hvilken som helst fast værdi, der ikke er indeholdt i, så kodomænet er en operation, der er injektionsdygtig (unik og inverterbar ved begrænsning). ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle Y \ cup \ {c \},}$

Diskussion og eksempler

Det første diagram øverst i artiklen repræsenterer en delvis funktion, der ikke er en funktion, da elementet 1 i det venstre sæt ikke er forbundet med noget i det højre sæt. Mens det andet diagram repræsenterer en funktion, da hvert element i det venstre sæt er forbundet med nøjagtigt et element i det højre sæt.

Naturlig logaritme

Overvej den naturlige logaritmefunktion , der kortlægger de reelle tal for sig selv. Logaritmen for et ikke-positivt reelt er ikke et reelt tal, så den naturlige logaritmefunktion knytter ikke noget reelt tal i kodemænet med noget ikke-positivt reelt tal i domænet. Derfor er den naturlige logaritmefunktion ikke en funktion, når den ses som en funktion fra det virkelige til sig selv, men det er en delvis funktion. Hvis domænet er begrænset til kun at omfatte de positive realer (det vil sige, hvis den naturlige logaritmefunktion ses som en funktion fra de positive realer til realerne), så er den naturlige logaritme en funktion.

Subtraktion af naturlige tal

Subtraktion af naturlige tal (ikke-negative heltal ) kan ses som en delvis funktion:

{\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ rightharpoonup \ mathbb {N}}

{\ displaystyle f (x, y) = xy.}

Det defineres kun når ${\ displaystyle x \ geq y.}$

Bundelement

I denotationssemantik betragtes en delvis funktion som at returnere bundelementet, når det er udefineret.

I datalogi svarer en delvis funktion til en subrutine, der rejser en undtagelse eller sløjfer for evigt. The IEEE floating point standarden definerer en ikke-a-nummer værdi, som returneres, når en flydende komma operation er udefineret og undtagelser undertrykkes, fx når der anmodes kvadratroden af et negativt tal.

På et programmeringssprog, hvor funktionsparametre er statisk skrevet , kan en funktion defineres som en delvis funktion, fordi sprogets typesystem ikke kan udtrykke det nøjagtige domæne for funktionen, så programmøren giver det i stedet det mindste domæne, der kan udtrykkes som en type indeholder definitionsdomænet for funktionen.

I kategoriteori

I kategoriteori er sammensætningsoperationen en funktion, hvis og kun hvis den har et element , når man overvejer funktionen af morfismesammensætning i konkrete kategorier . Årsagen til dette er, at to morfismer og kun kan sammensættes, som om det er, codomain af skal svare til domænet for ${\ displaystyle \ circ \;: \; \ hom (C) \ times \ hom (C) \ to \ hom (C)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ob} (C)}$ ${\ displaystyle f: X \ til Y}$ ${\ displaystyle g: U \ til V}$ ${\ displaystyle g \ circ f}$ ${\ displaystyle Y = U,}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g.}$

Sætkategorien og delfunktionerne svarer til, men ikke isomorf, med kategorien af spidse sæt og punktbevarende kort. En lærebog bemærker, at "Denne formelle færdiggørelse af sæt og delkort ved at tilføje" upassende "," uendelige "elementer blev genopfundet mange gange, især inden for topologi ( etpunkts komprimering ) og i teoretisk datalogi ."

Kategorien sæt og delvise sammenhænge svarer til dens dobbelte . Det er den prototype omvendte kategori .

I abstrakt algebra

Delvis algebra generaliserer forestillingen om universel algebra til delvise operationer . Et eksempel ville være et felt , hvor den multiplikative inversion er den eneste korrekte delvise operation (fordi division med nul ikke er defineret).

Sættet med alle delfunktioner (delvise transformationer ) på et givet basissæt, danner en regelmæssig semigruppe kaldet semigruppen af alle deltransformationer (eller den delvise transformation semigruppe på ), typisk betegnet med Sættet med alle delvise sammenkædninger på danner den symmetriske inverse semigroup . ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {PT}} _ {X}.}$ ${\ displaystyle X}$

Diagrammer og atlas til manifolds og fiberbundter

Diagrammer i atlaserne, der specificerer strukturen af manifolder og fiberbundter, er delvise funktioner. I tilfælde af manifolder er domænet manifoldens punktsæt. I tilfælde af fiberbundter er domænet rummet for fiberbundtet. I disse applikationer er den vigtigste konstruktion overgangskortet , som er sammensætningen af et diagram med det indvendige af et andet. Den indledende klassificering af manifolder og fiberbundter udtrykkes stort set i form af begrænsninger på disse overgangskort.

Årsagen til brugen af delvise funktioner i stedet for funktioner er at tillade generelle globale topologier at blive repræsenteret ved at sy lokale pletter sammen for at beskrive den globale struktur. "Plasterne" er de domæner, hvor diagrammerne er defineret.

Se også

Analytisk fortsættelse - Udvidelse af domænet for en analytisk funktion (matematik)
Funktion med flere værdier - Generalisering af en funktion, der kan producere flere udgange for hver indgang
Tæt defineret operator - Funktion, der er defineret næsten overalt (matematik)

Referencer

Martin Davis (1958), Computability and Unsolvability , McGraw – Hill Book Company, Inc, New York. Genudgivet af Dover i 1982. ISBN 0-486-61471-9 .
Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics , North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland, 10. udskrivning med rettelser tilføjet på 7. udskrivning (1974). ISBN 0-7204-2103-9 .
Harold S. Stone (1972), Introduktion til computerorganisation og datastrukturer , McGraw – Hill Book Company, New York.

Languages

In other projects