Underemne - Subobject

I kategoriteori , en gren af matematik , er et underobjekt groft sagt et objekt, der sidder inde i et andet objekt i samme kategori . Begrebet er en generalisering af begreber som delmængder fra sætteori , undergrupper fra gruppeteori og underrum fra topologi . Da den detaljerede struktur af objekter er uvæsentlig i kategoriteori, er definitionen af ​​underobjekt afhængig af en morfisme, der beskriver, hvordan et objekt sidder inde i et andet, snarere end at stole på brugen af ​​elementer.

Det dobbelte koncept til et underobjekt er et kvotientobjekt . Dette generaliserer begreber som kvotitetssæt , kvotientgrupper , kvotientrum , kvotientgrafer osv.

Definitioner

Lad os være et objekt i en kategori i detaljer . Givet to monomorfier${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle u: S \ til A \ {\ tekst {og}} \ v: T \ til A}$

med codomain skriver vi, om faktorer igennem - det vil sige, hvis der findes sådan, at . Den binære relation defineret af ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle u \ leq v}$${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ phi: S \ til T}$${\ displaystyle u = v \ circ \ phi}$${\ displaystyle \ equiv}$

${\ displaystyle u \ equiv v \ iff u \ leq v \ {\ text {and}} \ v \ leq u}$

er en ækvivalensrelation på monomorfismerne med codomain , og de tilsvarende ækvivalensklasser for disse monomorfier er underobjekterne af . (Ækvivalent kan man definere ækvivalensforholdet ved, hvis og kun hvis der findes en isomorfisme med .) ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle u \ equiv v}$${\ displaystyle \ phi: S \ til T}$${\ displaystyle u = v \ circ \ phi}$

Forholdet ≤ inducerer en delvis rækkefølge på indsamlingen af ​​underobjekter af . ${\ displaystyle A}$

Samlingen af ​​underobjekter til et objekt kan faktisk være en ordentlig klasse ; det betyder, at den givne diskussion er noget løs. Hvis underobjekt-samlingen af ​​hvert objekt er et sæt , kaldes kategorien veldrevet eller sjældent lokalt lille (dette kolliderer med en anden brug af udtrykket lokalt lille , nemlig at der er et sæt morfier mellem to objekter ).

For at få det dobbelte begreb kvotientobjekt skal du erstatte "monomorfisme" med " epimorfisme " over og vende pilene. Et kvotientobjekt for A er derefter en ækvivalensklasse af epimorfier med domæne A.

Eksempler

1. I Set , den kategori af apparater , en underobjekt af A svarer til en delmængde B af A , eller rettere indsamling af alle kort fra sæt ækvipotent til B med billedet præcis B . Den underobjekt partiel orden af et sæt i Set er netop dens delmængde gitter .
2. I Grp , den kategori af grupper , de delobjekterne af A svarer til de undergrupper af A .
3. Ved en delvist ordnet klasse P = ( P , ≤) kan vi danne en kategori med elementerne i P som objekter og en enkelt pil fra p til q iff p ≤ q . Hvis P har det største element, vil delobjektets delrækkefølge for dette største element være P selv. Dette skyldes delvis, at alle pile i en sådan kategori vil være monomorfier.
4. Et subobjekt til et terminalobjekt kaldes et subterminal objekt .

Se også

• Underobjekt klassifikator
• Underkvotient

Bemærkninger

Referencer

• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorier for den Arbejdende Matematiker , Graduate Texts in Mathematics , 5 (2. udgave), New York, NY: Springer-Verlag , ISBN   0-387-98403-8 , Zbl   0906.18001 CS1 maint: modløs parameter ( link )
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, red. (2004). Kategoriske fundamenter. Særlige emner i rækkefølge, topologi, algebra og skovteori . Encyclopædi for matematik og dens anvendelser. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-83414-7 . Zbl   1034.18001 .