Spektralelementmetode - Spectral element method

I den numeriske løsning af partielle differentialligninger , et emne i matematik , er spektralelementmetoden (SEM) en formulering af den endelige elementmetode (FEM), der anvender høj grad stykvis polynomer som basisfunktioner. Spektralelementmetoden blev introduceret i et papir fra 1984 af AT Patera. Selvom Patera krediteres udviklingen af ​​metoden, var hans arbejde en genopdagelse af en eksisterende metode (se udviklingshistorie)

Diskussion

Den spektrale fremgangsmåde udvider opløsning i trigonometriske serie, en ledende fordel er, at den resulterende fremgangsmåde er af en meget høj orden. Denne tilgang bygger på det faktum, at trigonometriske polynomier er et ortonormalt grundlag for . Spektralelementmetoden vælger i stedet en høj grad stykkevis polynomiske basisfunktioner og opnår også en meget høj nøjagtighedsorden. Sådanne polynomer er normalt ortogonale Chebyshev-polynomer eller meget høje orden Lagrange-polynomer over ikke-ensartet adskilte noder. I SEM falder beregningsfejl eksponentielt, når rækkefølgen af ​​tilnærmelse til polynom stiger, derfor realiseres en hurtig konvergens af løsning til den nøjagtige løsning med færre frihedsgrader i strukturen i sammenligning med FEM. I strukturel sundhedsovervågning kan FEM bruges til at detektere store fejl i en struktur, men da fejlens størrelse reduceres, er der behov for at bruge en højfrekvent bølge. For at simulere udbredelsen af ​​en højfrekvent bølge er det krævede FEM-net meget fint, hvilket resulterer i øget beregningstid. På den anden side giver SEM god nøjagtighed med færre frihedsgrader. Ikke-ensartethed af noder hjælper med at gøre massematricen diagonal, hvilket sparer tid og hukommelse og også er nyttig til at vedtage en central differensmetode (CDM). Ulemperne ved SEM inkluderer vanskeligheder med at modellere kompleks geometri sammenlignet med fleksibiliteten i FEM. ${\ displaystyle L^{2} (\ Omega)}$

Selvom metoden kan anvendes med et modalt stykkevis ortogonalt polynomisk grundlag, implementeres den oftest med et nodal tensor -produkt Lagrange -grundlag. Metoden opnår sin effektivitet ved at placere knudepunkterne på Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) -punkterne og udføre Galerkin-metodeintegrationerne med en reduceret Gauss-Lobatto-kvadratur ved hjælp af de samme knuder. Med denne kombination resulterer forenklinger således, at der forekommer masseklumpning ved alle knuder, og en kollokationsprocedure resulterer ved indvendige punkter.

De mest populære anvendelser af metoden er inden for beregningsvæskedynamik og modellering af seismisk bølgeudbredelse.

A-priori fejlestimat

Den klassiske analyse af Galerkin -metoder og Céas lemma gælder her, og det kan påvises, at hvis u er løsningen på den svage ligning, er u _N den omtrentlige løsning og : ${\ displaystyle u \ i H^{s+1} (\ Omega)}$

${\ displaystyle \ | u-u_ {N} \ | _ {H^{1} (\ Omega)} \ leqq C_ {s} N^{-s} \ | u \ | _ {H^{s+1 } (\ Omega)}}$

hvor C er uafhængig af N og s ikke er større end graden af ​​det stykkevis polynomiske grundlag. Lignende resultater kan opnås for at binde fejlen i stærkere topologier. Hvis${\ displaystyle k \ leq s+1}$

${\ displaystyle \ | u-u_ {N} \ | _ {H^{k} (\ Omega)} \ leq C_ {s, k} N^{k-1-s} \ | u \ | _ {H ^{s+1} (\ Omega)}}$

Når vi øger N , kan vi også øge graden af ​​basisfunktionerne. I dette tilfælde, hvis u er en analytisk funktion :

${\ displaystyle \ | u-u_ {N} \ | _ {H^{1} (\ Omega)} \ leqq C \ exp (-\ gamma N)}$

hvor afhænger kun af . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle u}$

Hybrid-Collocation-Galerkin besidder nogle superkonvergensegenskaber. LGL -formen for SEM er ækvivalent, så den opnår de samme superkonvergensegenskaber.

Udviklingshistorie

Udvikling af den mest populære LGL -form af metoden tilskrives normalt Maday og Patera. Det blev dog udviklet mere end et årti tidligere. For det første er der Hybrid-Collocation-Galerkin-metoden (HCGM), som anvender kollokation på de indvendige Lobatto-punkter og bruger en Galerkin-lignende integreret procedure ved elementgrænseflader. Lobatto-Galerkin-metoden beskrevet af Young er identisk med SEM, mens HCGM svarer til disse metoder. Dette tidligere værk ignoreres i den spektrale litteratur.

Relaterede metoder

• G-NI eller SEM-NI er de mest anvendte spektrale metoder. Galerkin-formuleringen af ​​spektrale metoder eller spektrale elementmetoder, for henholdsvis G-NI eller SEM-NI, modificeres, og Gauss-Lobatto-integration bruges i stedet for integraler i definitionen af ​​den bilinære form og i den funktionelle . Deres konvergens er en konsekvens af Strangs lemma .${\ displaystyle a (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle F}$
• SEM er en Galerkin -baseret FEM (endelig elementmetode) med Lagrange -basis (form) funktioner og reduceret numerisk integration af Lobatto -kvadratur ved hjælp af de samme noder.
• Den pseudospektrale metode , ortogonal kollokation , differential kvadraturmetode og G-NI er forskellige navne for den samme metode. Disse metoder anvender globale snarere end stykkevis polynomiske basisfunktioner. Udvidelsen til et stykkevis FEM- eller SEM -grundlag er næsten trivielt.
• Spektralelementmetoden anvender et tensorproduktrum, der spænder over nodale basisfunktioner forbundet med Gauss – Lobatto -punkter . I modsætning hertil spænder p-versionens endelige elementmetode over et rum med højordenspolynomer med nøglefri basisfunktioner, valgt omtrent ortogonalt for numerisk stabilitet . Da ikke alle indvendige basisfunktioner behøver at være til stede, kan p-versionens endelige element-metode oprette et rum, der indeholder alle polynomer i en given grad med færre frihedsgrader. Nogle fremskyndelsesteknikker, der er mulige i spektrale metoder på grund af deres tensor-produktkarakter, er imidlertid ikke længere tilgængelige. Navnet p-version betyder, at nøjagtigheden øges ved at øge rækkefølgen af ​​de tilnærmende polynomier (altså p ) frem for at reducere maskestørrelsen, h .
• Den hp elementmetoden ( hp-FEM ) kombinerer fordelene ved de h og p raffinementer til opnåelse eksponentielle konvergenskriterier satser.

Noter