Perfekt gruppe - Perfect group

I matematik , nærmere bestemt i gruppeteori , siges en gruppe at være perfekt, hvis den er lig med sin egen kommutatorundergruppe eller tilsvarende, hvis gruppen ikke har ikke-trivielle abelske kvoter (tilsvarende dens abelianisering , som er den universelle abelske kvotient, er trivielt). I symboler er en perfekt gruppe en sådan, at G ⁽¹⁾ = G (kommutatorundergruppen er lig med gruppen) eller tilsvarende en sådan, at G ^ab = {1} (dens abelianisering er triviel).

Eksempler

Den mindste (ikke-trivielle) perfekte gruppe er den skiftende gruppe A ₅ . Mere generelt er enhver ikke-abelsk enkel gruppe perfekt, da kommutatorundergruppen er en normal undergruppe med abelsk kvotient. Omvendt behøver en perfekt gruppe ikke at være enkel; for eksempel er den specielle lineære gruppe over feltet med 5 elementer, SL (2,5) (eller den binære icosahedral-gruppe , som er isomorf for den) perfekt, men ikke enkel (den har et ikke-trivielt center, der indeholder ). ${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {smallmatrix}} \ right) = \ left ({\ begin {smallmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \ end {smallmatrix}} \ right )}}$

Det direkte produkt af to enkle grupper er perfekt, men ikke enkelt; kommutatoren for to elementer er [( a , b ), ( c , d )] = ([ a , c ], [ b , d ]). Da kommutatorer i hver enkel gruppe danner et genereringssæt, danner par af kommutatorer et genererende sæt af det direkte produkt.

Mere generelt er en quasisimple gruppe (en perfekt central udvidelse af en simpel gruppe), der er en ikke-triviel udvidelse (og derfor ikke en simpel gruppe i sig selv) perfekt, men ikke enkel; dette omfatter alle de uopløselige ikke-simple begrænsede særlige lineære grupper SL ( n , q ) som forlængelser af den projektive særlige lineære gruppe PSL ( n , q ) (SL (2,5) er en forlængelse af PSL (2,5), som er isomorf til A ₅ ). Tilsvarende er den specielle lineære gruppe over de reelle og komplekse tal perfekt, men den generelle lineære gruppe GL er aldrig perfekt (undtagen når den er triviel eller over , hvor den er lig med den særlige lineære gruppe), da determinanten giver en ikke-triviel abelianisering og kommutatorundergruppen er faktisk SL. ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

En ikke-triviel perfekt gruppe er imidlertid nødvendigvis ikke opløselig ; og 4 deler sin rækkefølge (hvis den er begrænset). Desuden, hvis 8 ikke deler rækkefølgen, så gør 3 det.

Hver acyklisk gruppe er perfekt, men det modsatte er ikke sandt: A ₅ er perfekt, men ikke acyklisk (faktisk ikke engang superperfekt ), se ( Berrick & Hillman 2003 ). Faktisk er den skiftende gruppe perfekt, men ikke superperfekt, med for . ${\ displaystyle n \ geq 5}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle H_ {2} (A_ {n}, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} /2}$${\ displaystyle n \ geq 8}$

Enhver kvotient for en perfekt gruppe er perfekt. En ikke-triviel endelig perfekt gruppe, der ikke er enkel, må derefter være en forlængelse af mindst en mindre simpel ikke-abelsk gruppe. Men det kan være forlængelsen af ​​mere end en simpel gruppe. Faktisk er det direkte produkt af perfekte grupper også perfekt.

Hver perfekt gruppe G bestemmer en anden perfekt gruppe E (dens universelle centrale forlængelse ) sammen med en overvejelse f : E → G, hvis kerne er i midten af E, således at f er universel med denne egenskab. Kernen af f kaldes Schur -multiplikatoren for G, fordi den først blev undersøgt af Issai Schur i 1904; det er isomorft for homologigruppen . ${\ displaystyle H_ {2} (G)}$

I pluskonstruktionen af algebraisk K-teori , hvis vi betragter gruppen som en kommutativ ring , danner undergruppen af elementære matricer en perfekt undergruppe. ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (A) = {\ text {colim}} \ operatorname {GL} _ {n} (A)}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E (R)}$

Erts formodning

Da kommutatorundergruppen genereres af kommutatorer, kan en perfekt gruppe indeholde elementer, der er produkter af kommutatorer, men ikke selv kommutatorer. Øystein Ore beviste i 1951, at de skiftende grupper på fem eller flere elementer kun indeholdt kommutatorer og formodede, at dette var tilfældet for alle de endelige ikke-abelske enkle grupper. Ores formodning blev endelig bevist i 2008. Beviset bygger på klassifikationsteoremet .

Grunns lemma

En grundlæggende kendsgerning om perfekte grupper er Grün's lemma fra ( Grün 1935 , Satz 4, s. 3): kvotienten for en perfekt gruppe i midten er centerløs (har trivielt centrum).

Bevis: Hvis G er en perfekt gruppe, lad Z ₁ og Z ₂ betegne de to første termer i den øverste centrale serie af G (dvs. Z ₁ er midten af G , og Z ₂ / Z ₁ er midten af G / Z ₁ ). Hvis H og K er undergrupper af G , betegner kommutatoren for H og K med [ H , K ] og bemærker, at [ Z ₁ , G ] = 1 og [ Z ₂ , G ] ⊆ Z ₁ , og følgelig (konventionen, der [ X , Y , Z ] = [[ X , Y ], Z ] følges):

${\ displaystyle [Z_ {2}, G, G] = [[Z_ {2}, G], G] \ subseteq [Z_ {1}, G] = 1}$

${\ displaystyle [G, Z_ {2}, G] = [[G, Z_ {2}], G] = [[Z_ {2}, G], G] \ subseteq [Z_ {1}, G] = 1.}$

Ved lemmaet for de tre undergrupper (eller tilsvarende ved Hall-Witt-identiteten ) følger det, at [ G , Z ₂ ] = [[ G , G ], Z ₂ ] = [ G , G , Z ₂ ] = {1} . Derfor er Z ₂ ⊆ Z ₁ = Z ( G ), og midten af ​​kvotientgruppen G / Z ( G ) er den trivielle gruppe .

Som en konsekvens er alle højere centre (det vil sige højere termer i den øverste centrale serie ) af en perfekt gruppe lig med midten.

Gruppehomologi

Med hensyn til gruppehomologi er en perfekt gruppe netop en, hvis første homologigruppe forsvinder: H ₁ ( G , Z ) = 0, da den første homologigruppe i en gruppe er præcis abelianiseringen af ​​gruppen, og perfekt betyder triviel abelianisering. En fordel ved denne definition er, at den indrømmer styrkelse:

• En superperfect gruppe er en, hvis første to homologigrupper forsvinde: .${\ displaystyle H_ {1} (G, \ mathbb {Z}) = H_ {2} (G, \ mathbb {Z}) = 0}$
• En acyklisk gruppe er en alt for hvis (reduceret) homologigrupper forsvinde (Dette svarer til alle andre end homologigrupper forsvindende.)${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {i} (G; \ mathbb {Z}) = 0.}$${\ displaystyle H_ {0}}$

Kvasi perfekt gruppe

Især inden for algebraisk K-teori siges en gruppe at være næsten perfekt, hvis dens kommutatorundergruppe er perfekt; i symboler er en kvasi-perfekt gruppe en sådan, at G ⁽¹⁾ = G ⁽²⁾ (kommutatoren for kommutatorundergruppen er kommutatorundergruppen), mens en perfekt gruppe er en sådan, at G ⁽¹⁾ = G (den kommutatorundergruppe er hele gruppen). Se ( Karoubi 1973 , s. 301–411) og ( Inassaridze 1995 , s. 76).

Noter

Referencer

eksterne links

• Weisstein, Eric W. "Perfect Group" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Grün's lemma" . MathWorld .