NL (kompleksitet) - NL (complexity)

Uløst problem inden for datalogi :

(mere uløste problemer inden for datalogi)

I beregningskompleksitetsteori er NL ( N ondeterministic L ogarithmic-space) kompleksitetsklassen, der indeholder beslutningsproblemer, der kan løses af en ikke-deterministisk Turing-maskine ved hjælp af en logaritmisk mængde hukommelsesplads .

NL er en generalisering af L , klassen for logspace-problemer på en deterministisk Turing-maskine . Da enhver deterministisk Turing-maskine også er en ikke-bestemmende Turing-maskine , har vi, at L er indeholdt i NL .

NL kan formelt defineres i form af det ikke- bestemte rum for beregningsressourcen (eller NSPACE) som NL = NSPACE (log n ).

Vigtige resultater i kompleksitetsteori giver os mulighed for at relatere denne kompleksitetsklasse med andre klasser og fortælle os om den relative styrke af de involverede ressourcer. Resultater inden for algoritmer fortæller os derimod, hvilke problemer der kan løses med denne ressource. Som meget af kompleksitetsteorien er mange vigtige spørgsmål om NL stadig åbne (se uløste problemer inden for datalogi ).

Lejlighedsvis kaldes NL som RL på grund af dens sandsynlige definition nedenfor; dog bruges dette navn oftere til at henvise til randomiseret logaritmisk rum , som ikke vides at være lig NL .

NL-komplette problemer

Flere problemer er kendt for at være NL-komplette under reduktion af log-plads , herunder ST-forbindelse og 2-tilfredshed . ST-tilslutning spørger, for knudepunkter S og T i en orienteret graf , hvorvidt T er tilgængelig fra S . 2-tilfredsstillelse spørger, givet en propositionel formel, hvor hver klausul er adskillelsen af to bogstaver, om der er en variabel tildeling, der gør formlen sand. Et eksempel på et eksempel, hvor det ikke angiver , kan være:

Indeslutninger

Det er kendt, at NL er indeholdt i P , da der er en polynomaltidsalgoritme til 2-tilfredsstillelse , men det vides ikke, om NL = P eller om L = NL . Det vides, at NL = co-NL , hvor co-NL er den klasse af sprog, hvis komplement er i NL . Dette resultat ( Immerman – Szelepcsényi-sætningen ) blev uafhængigt opdaget af Neil Immerman og Róbert Szelepcsényi i 1987; de modtog Gödel-prisen i 1995 for dette arbejde.

I kredsløbskompleksitet kan NL placeres inden for NC- hierarkiet. I Papadimitriou 1994, sætning 16.1, har vi:

.

Mere præcist er NL indeholdt i AC 1 . Det er kendt, at NL er lig med ZPL , klassen af ​​problemer, der kan løses ved randomiserede algoritmer i logaritmisk rum og ubegrænset tid uden fejl. Det er imidlertid ikke kendt eller menes at være lig med RLP eller ZPLP , de polynomiske tidsbegrænsninger for RL og ZPL , som nogle forfattere refererer til som RL og ZPL .

Vi kan relatere NL til deterministisk rum ved hjælp af Savitch's sætning , som fortæller os, at enhver ikke-deterministisk algoritme kan simuleres af en deterministisk maskine i højst kvadratisk mere plads. Fra Savitch's sætning har vi direkte det:

Dette var den stærkeste deterministiske ruminddragelse, der var kendt i 1994 (Papadimitriou 1994-problem 16.4.10, "Symmetrisk rum"). Da større rumklasser ikke påvirkes af kvadratiske stigninger, vides de ikke-deterministiske og deterministiske klasser at være ens, så vi for eksempel har PSPACE = NPSPACE .

Alternative definitioner

Probabilistisk definition

Antag, at C er kompleksitetsklassen af beslutningsproblemer, der kan løses i logaritmisk rum med sandsynlige Turing-maskiner, der aldrig accepterer forkert, men som får lov til at afvise forkert mindre end 1/3 af tiden; dette kaldes ensidig fejl . Den konstante 1/3 er vilkårlig; enhver x med 0 ≤ x <1/2 ville være tilstrækkelig.

Det viser sig, at C = NL . Bemærk, at C , i modsætning til sin deterministiske modstykke L , ikke er begrænset til polynomisk tid, for selvom den har et polynomisk antal konfigurationer, kan den bruge tilfældighed til at undslippe en uendelig løkke. Hvis vi begrænser det til polynomisk tid, får vi klassen RL , som er indeholdt i men ikke kendt eller menes at være lig NL .

Der er en simpel algoritme, der fastslår, at C = NL . Det er klart, at C er indeholdt i NL , da:

  • Hvis strengen ikke er på sproget, afvises begge langs alle beregningsstier.
  • Hvis strengen er på sproget, accepterer en NL- algoritme langs mindst en beregningssti, og en C- algoritme accepterer langs mindst to tredjedele af dens beregningsstier.

For at vise, at NL er indeholdt i C , tager vi simpelthen en NL- algoritme og vælger en tilfældig beregningssti med længden n og udfører denne 2 n gange. Fordi ingen beregningssti overstiger længden n , og fordi der i alt er 2 n beregningsstier, har vi en god chance for at ramme den accepterende (afgrænset nedenfor af en konstant).

Det eneste problem er, at vi ikke har plads i logplads til en binær tæller, der går op til 2 n . For at omgå dette erstatter vi det med en randomiseret tæller, som simpelthen vender n mønter og stopper og afviser, hvis de alle lander på hoveder. Da denne begivenhed har sandsynligheden 2 - n , forventer vi at tage 2 n trin i gennemsnit inden stop. Det skal kun holde et løbende antal af antallet af hoveder i træk, det ser, som det kan tælle i logarealet.

På grund af sætningen Immerman – Szelepcsényi , ifølge hvilken NL er lukket under komplement, kan den ensidige fejl i disse sandsynlige beregninger erstattes af nul-sidet fejl. Disse problemer kan løses af sandsynlige Turing-maskiner, der bruger logaritmisk plads og aldrig laver fejl. Den tilsvarende kompleksitetsklasse, der også kræver, at maskinen kun bruger polynomisk tid, kaldes ZPLP .

Når vi kun ser på rummet alene, ser det ud til, at randomisering og ikke-bestemmelse er lige så stærke.

Certifikatdefinition

NL kan ligeledes karakteriseres af certifikater , der er analoge med klasser som NP . Overvej en deterministisk loguritmisk plads afgrænset Turing-maskine, der har et ekstra skrivebeskyttet input-bånd, der kun er en gang. Et sprog er i NL, hvis og kun hvis en sådan Turing-maskine accepterer et ord på sproget for et passende valg af certifikat i dets ekstra inputbånd og afviser ethvert ord, der ikke er på sproget, uanset certifikatet.

Cem Say og Abuzer Yakaryılmaz har bevist, at den deterministiske logaritmiske Turing-maskine i ovenstående udsagn kan erstattes af en begrænset fejl probabilistisk konstant-space Turing-maskine, der kun får lov til at bruge et konstant antal tilfældige bits.

Beskrivende kompleksitet

Der er en simpel logisk karakterisering af NL : den indeholder nøjagtigt de sprog, der kan udtrykkes i første ordens logik med en ekstra transitiv lukningsoperator .

Lukningsegenskaber

Klassen NL er lukket under operationskomplementering, union og derfor kryds, sammenkædning og Kleene-stjerne .

Bemærkninger

Referencer