Placeringsparameter - Location parameter

I statistik er en lokaliseringsparameter for en sandsynlighedsfordeling en skalar- eller vektorværdieret parameter , som bestemmer fordelingen "placering" eller forskydning. I litteraturen over lokaliseringsparameterestimering findes sandsynlighedsfordelingerne med en sådan parameter formelt defineret på en af ​​følgende ækvivalente måder: ${\ displaystyle x_ {0}}$

• enten som at have en sandsynlighedstæthedsfunktion eller sandsynlighedsmassafunktion ; eller${\ displaystyle f (x-x_ {0})}$
• have en kumulativ fordelingsfunktion ; eller${\ displaystyle F (x-x_ {0})}$
• defineres som følge af den tilfældige variabeltransformation , hvor er en tilfældig variabel med en bestemt, muligvis ukendt, fordeling (Se også #Additive_noise ).${\ displaystyle x_ {0}+X}$${\ displaystyle X}$

Et direkte eksempel på en lokaliseringsparameter er parameteren for normalfordelingen . For at se dette skal du bemærke, at sandsynlighedstæthedsfunktionen for en normalfordeling kan få parameteren beregnet og skrives som: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f (x | \ mu, \ sigma)}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^{2})}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle g (y- \ mu | \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e^{-{\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {y} {\ sigma}} \ højre)^{2}}}$

dermed opfylder den første af definitionerne ovenfor.

Ovenstående definition angiver i det endimensionelle tilfælde, at hvis den øges, skifter sandsynlighedstætheden eller massefunktionen stift til højre og bevarer sin nøjagtige form. ${\ displaystyle x_ {0}}$

En lokaliseringsparameter kan også findes i familier, der har mere end én parameter, f.eks. Familier på placeringsskala . I dette tilfælde vil sandsynlighedstæthedsfunktionen eller sandsynlighedsmassafunktionen være et specielt tilfælde af den mere generelle form

${\ displaystyle f_ {x_ {0}, \ theta} (x) = f _ {\ theta} (x-x_ {0})}$

hvor er placeringsparameteren, θ repræsenterer yderligere parametre, og er en funktion, der er parametreret på de yderligere parametre. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f _ {\ theta}}$

Additiv støj

En alternativ måde at tænke lokationsfamilier på er gennem begrebet additiv støj . Hvis er en konstant og W er tilfældig støj med sandsynlighedstæthed derefter har sandsynlighedstæthed og dennes fordeling er derfor en del af en placering familie. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f_ {W} (w),}$${\ displaystyle X = x_ {0}+W}$${\ displaystyle f_ {x_ {0}} (x) = f_ {W} (x-x_ {0})}$

Beviser

For the continuous univariate case, consider a probability density function ${\ displaystyle f (x | \ theta), x \ in [a, b] \ undersæt \ mathbb {R}}$, where ${\ displaystyle \ theta}$ is a vector of parameters. A location parameter ${\ displaystyle x_ {0}}$ can be added by defining:

${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) = f (x-x_ {0} | \ theta), \; x \ i [a-x_ {0}, b-x_ {0}]}}$

det kan bevises, at det er en pdf ved at kontrollere, om det overholder de to betingelser og . integreres til 1, fordi: ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0}$${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = 1}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}}^{b-x_ {0}} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}}^{b-x_ {0}} f (x-x_ {0} | \ theta) dx}$

nu ændrer variablen og opdaterer integrationsintervallet i overensstemmelse hermed: ${\ displaystyle u = x-x_ {0}}$

${\ displaystyle \ int _ {a}^{b} f (u | \ theta) du = 1}$

fordi er en pdf ved hypotese. følger af deling af det samme billede af , som er en pdf, så dets billede er indeholdt i . ${\ displaystyle f (x | \ theta)}$${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0,1]}$

Se også

• Central tendens
• Placeringstest
• Uændret estimator
• Skala parameter
• Beslutningsmodeller i to øjeblikke

Referencer