Integration af linjen integreret - Line integral convolution

LIC visualisering af et flow felt.

I videnskabelig visualisering er line integral convolution ( LIC ) en teknik, der er foreslået af Brian Cabral og Leith Leedom til at visualisere et vektorfelt , såsom fluidbevægelse . Sammenlignet med andre integrationsbaserede teknikker, der beregner feltlinjer i inputvektorfeltet, har LIC den fordel, at alle strukturelle træk ved vektorfeltet vises uden behov for at tilpasse start- og slutpunkterne for feltlinjer til det specifikke vektorfelt . LIC er en metode fra strukturfornemmelsesfamilien .

Princip

LIC-visualisering med farve, der angiver hastighedens størrelse.

Intuition

Intuitivt visualiseres strømmen af et vektorfelt i et eller andet domæne ved at tilføje et statisk tilfældigt mønster af mørke og lyse malingskilder. Når strømmen passerer ved kilderne, samler hver pakke væske noget af kildefarven, idet den gennemsnitliggøres med den farve, den allerede har fået på en måde, der ligner at kaste maling i en flod. Resultatet er en tilfældig stribet tekstur, hvor punkter langs den samme strømlinie har tendens til at have samme farve.

Algoritme

Algoritmisk starter teknikken med at generere et tilfældigt gråniveaubillede i domænet for vektorfeltet med den ønskede outputopløsning. For hver pixel i dette billede beregnes derefter den fremadgående og bagudgående strøm af en fast lysbuelængde . Den værdi, der er tildelt den aktuelle pixel, beregnes af en foldning af en passende opløsningskerne med de grå niveauer af alle pixels, der ligger på et segment af denne strømline. Dette skaber et grå LIC-billede.

Matematisk beskrivelse

Selvom inputvektorfeltet og resultatbilledet diskretiseres, betaler det sig at se på det fra et kontinuerligt synspunkt. Lad være det vektorfelt, der er angivet i et eller andet domæne . Selvom inputvektorfeltet typisk er diskretiseret, betragter vi feltet som defineret i hvert punkt i , dvs. vi antager en interpolation. Strømlinjer eller mere generelt feltlinjer er tangent til vektorfeltet i hvert punkt. De slutter enten ved grænsen til eller på kritiske punkter, hvor . Af hensyn til enkelheden ignoreres i de følgende kritiske punkter og grænser. En feltlinie , parametriseret ved buelængde , defineres som . Lad være feltlinjen, der passerer gennem punktet for . Derefter indstilles billedets grå værdi til ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle {\ frac {d {\ boldsymbol {\ sigma}} (s)} {ds}} = {\ frac {\ mathbf {v} ({\ boldsymbol {\ sigma}} (s))} {| \ mathbf {v} ({\ boldsymbol {\ sigma}} (s))}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {\ mathbf {r}} (s)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle s = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

{\ displaystyle D (\ mathbf {r}) = \ int _ {- L / 2} ^ {L / 2} k (s) N ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {\ mathbf {r}} ( s)) ds}

hvor er foldningskernen, er støjbillede og længden af feltlinjesegmentet, der følges. ${\ displaystyle k (s)}$ ${\ displaystyle N (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle D (\ mathbf {r})}$ skal beregnes for hver pixel i LIC-billedet. Hvis det udføres naivt, er dette ret dyrt. For det første skal feltlinjerne beregnes ved hjælp af en numerisk metode til løsning af almindelige differentialligninger , som en Runge-Kutta-metode , og derefter skal foldningen langs et feltlinjesegment beregnes for hver pixel. Beregningen kan accelereres markant ved at genbruge dele af allerede beregnede feltlinjer, der specialiserer sig i en boksfunktion som konvolusionskerne og undgår overflødige beregninger under konvolution. Den resulterende hurtige LIC-metode kan generaliseres til opløsningskerner, der er vilkårlige polynomer. ${\ displaystyle k (s)}$

Bemærk, at det ikke behøver at være et 2D-domæne: metoden kan anvendes til højere dimensionelle domæner, der bruger multidimensionelle støjfelter. Imidlertid er visualiseringen af den højere-dimensionelle LIC-struktur problematisk; en måde er at bruge interaktiv udforskning med 2D-skiver, der placeres og roteres manuelt. Domænet behøver heller ikke være fladt; LIC-strukturen kan også beregnes til vilkårligt formede 2D-overflader i 3D-rum. ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Outputbilledet vil normalt blive farvet på en eller anden måde. Typisk bruges et eller andet skalært felt i , som vektorn længde, til at bestemme farven, mens LIC-billedet i grå skala bestemmer lysets lysstyrke. ${\ displaystyle \ Omega}$

Forskellige valg af foldningskerner og tilfældig støj producerer forskellige strukturer: for eksempel producerer lyserød støj et overskyet mønster, hvor områder med højere strømning fremstår som udstrygning, velegnet til vejrvisualisering. Yderligere forbedringer i sammenfaldet kan forbedre billedets kvalitet.

Animeret version

Illustration om, hvordan man animerer. Ovenfor: Normal boksfilter (gennemsnit). Midt: Sinusformet filter ved . Nederst: Sinusformet filter ved

{\ displaystyle t}

{\ displaystyle t + \ delta t}

LIC-billeder kan animeres ved hjælp af en kerne, der ændres over tid. Prøver på et konstant tidspunkt fra strømlinjen vil stadig blive brugt, men i stedet for at gennemsnitliggøre alle pixels i en strømlinie med en statisk kerne, en krusningslignende kerne konstrueret ud fra en periodisk funktion ganget med en Hann-funktion, der fungerer som et vindue (for at forhindrer artefakter) bruges. Den periodiske funktion flyttes derefter langs perioden for at oprette en animation.

Tidsvarierende vektorfelter

For tidsafhængige vektorfelter er der designet en variant (UFLIC), der opretholder sammenhængen i flowanimationen.

Parallelle versioner

Da beregningen af et LIC-billede er dyrt, men iboende parallelt, er det også blevet paralleliseret, og med tilgængeligheden af GPU-baserede implementeringer er det blevet interaktivt på pc'er. Også for UFLIC er der præsenteret en interaktiv GPU-baseret implementering.

Anvendelighed

Mens et LIC-billede formidler orienteringen af feltvektorerne, angiver det ikke deres retning; for stationære felter kan dette afhjælpes ved hjælp af animation. Grundlæggende LIC-billeder uden farve og animation viser ikke vektorernes længde (eller feltets styrke). Hvis denne information skal formidles, er den normalt kodet i farve; alternativt kan animation bruges.

I brugertestning viste LIC sig at være særligt god til at identificere kritiske punkter. Med tilgængeligheden af højtydende GPU-baserede implementeringer er den tidligere ulempe ved begrænset interaktivitet ikke længere til stede.

Languages

In other projects