Linjediagram over en hypergraf - Line graph of a hypergraph

I grafteori , især i teorien om hypergrafer , er linjegrafen for en hypergraf H , betegnet L ( H ), grafen, hvis hjørnesæt er sættet med hyperkanterne af H , med to hjørner tilstødende i L ( H ), når deres tilsvarende hyperedges har en ikke tom vejkryds i H . Med andre ord er L ( H ) skæringsgrafen for en familie af endelige sæt. Det er en generalisering af linjediagrammet i en graf.

Spørgsmål om linjegrafer af hypergrafer er ofte generalisering af spørgsmål om linjegrafer af grafer. For eksempel kaldes et hypergraf, hvis kanter alle har størrelse k, k -uniform . (En 2-ensartet hypergraf er en graf). I hypergrafteori er det ofte naturligt at kræve, at hypergrafier er k -uniform. Hver graf er linjediagrammet for en eller anden hypergraf, men i betragtning af en fast kantstørrelse k er ikke hver graf en linjediagram over en eller anden k -uniform hypergraf. Et hovedproblem er at karakterisere dem, der er, for hver k ≥ 3.

En hypergraf er lineær, hvis hvert par hyperkanter krydser i højst et toppunkt. Hver graf er linjediagrammet, ikke kun for noget hypergraf, men for et eller andet lineært hypergraf ( Berge 1989 ).

Linjegrafer af k -uniforme hypergrafier, k ≥ 3

Beineke (1968) karakteriserede linjegrafer af grafer ved en liste over 9 forbudte inducerede undergrafer . (Se artiklen om linjediagrammer .) Der kendes ingen karakterisering af forbudte inducerede underbilleder af linjediagrammer af k-ensartede hypergrafier for nogen k ≥ 3, og Lovász (1977) viste, at der ikke er en sådan karakterisering med en endelig liste, hvis k = 3 .

Krausz (1943) karakteriserede linjegrafer af grafer med hensyn til klikdækninger . (Se linjegrafer .) En global karakterisering af Krausz-typen for linjegraferne af k- ensartede hypergrafer for enhver k ≥ 3 blev givet af Berge (1989) .

Linjegrafer af k -uniforme lineære hypergrafier, k ≥ 3

En global karakterisering af Krausz-typen for linjediagrammerne for k- ensartede lineære hypergrafier for enhver k ≥ 3 blev givet af Naik et al. (1980) . På samme tid fandt de en endelig liste over forbudte inducerede underbilleder til lineære 3-ensartede hypergrafier med mindst en vertexgrad på mindst 69. Metelsky & Tyshkevich (1997) og Jacobson, Kézdy & Lehel (1997) forbedrede denne grænse til 19. Kl. sidste Skums, Suzdal '& Tyshkevich (2005) reducerede denne bånd til 16. Metelsky & Tyshkevich (1997) beviste også, at hvis k > 3, findes der ikke en sådan endelig liste for lineære k -uniforme hypergrafier, uanset hvilken nedre grænse der er placeret på graden.

Vanskeligheden ved at finde en karakterisering af lineære k -uniforme hypergrafier skyldes, at der er uendeligt mange forbudte inducerede subbilleder. For at give eksempler, for m > 0, overvej en kæde af m- diamantgrafer, således at de på hinanden følgende diamanter deler hjørner af grad to. For k ≥ 3, tilføj vedhængskanter ved hvert toppunkt i grad 2 eller 4 for at få en af ​​familierne med minimalt forbudte underbilleder af Naik, Rao og Shrikhande et al. ( 1980 , 1982 ) som vist her. Dette udelukker hverken eksistensen af ​​en polynomiel anerkendelse eller muligheden for en forbudt induceret subgrafkarakterisering svarende til Beinekes linjediagrammer over grafer.

Gentagen diamantgraf.svg

Der er nogle interessante karakteriseringer tilgængelige for linjediagrammer af lineære k -uniforme hypergrafier på grund af forskellige forfattere (Naik, Rao & Shrikhande et al.  1980 , 1982 , Jacobson, Kézdy & Lehel 1997 , Metelsky & Tyshkevich 1997 og Zverovich 2004 ) under begrænsninger på minimumsgraden eller den mindste kantgrad på G. Minimumskantgraden mindst k 3 -2 k 2 +1 i Naik et al. (1980) er reduceret til 2 k 2 -3 k +1 i Jacobson, Kézdy & Lehel (1997) og Zverovich (2004) for at karakterisere linjegrafer af k -uniforme lineære hypergrafier for enhver k ≥ 3.

Kompleksiteten ved at genkende linjediagrammer for lineære k -uniforme hypergrafer uden nogen begrænsning for minimumsgrad (eller minimum kantgrad) er ikke kendt. For k = 3 og mindstegrad mindst 19 er genkendelse mulig i polynomisk tid ( Jacobson, Kézdy & Lehel 1997 og Metelsky & Tyshkevich 1997 ). Skums, Suzdal '& Tyshkevich (2005) reducerede minimumsgraden til 10.

Der er mange interessante åbne problemer og formodninger i Naik et al., Jacoboson et al., Metelsky et al. og Zverovich.

Udelukkelsesgraf

Den disjointness graf af en hypergraph H , betegnet D ( H ), er grafen hvis toppunkt sæt er sættet af hyperedges af H , med to knudepunkter tilstødende i D ( H ), når deres tilsvarende hyperedges er disjunkte i H . Med andre ord er D ( H ) komplementgrafen for L ( H ). En klik i D ( H ) svarer til et uafhængigt sæt i L ( H ) og omvendt.

Referencer

  • Heydemann, MC; Sotteau, D. (1976), "Line graphs of hypergraphs II", Combinatorics (Proc. Fifth Hungarian Colloq., Keszthely, 1976) , Colloq. Matematik. Soc. J. Bolyai, 18 , s. 567–582, MR  0519291.
  • Krausz, J. (1943), "Démonstration nouvelle d'une théorème de Whitney sur les réseaux", Mat. Fiz. Lapok , 50 : 75-85, MR  0018403. (På ungarsk med fransk abstrakt.)
  • Lovász, L. (1977), "Problem 9", Beiträge zur Graphentheorie und deren Anwendungen , Vorgetragen auf dem Internationalen Kolloquium in Oberhof (DDR), s. 313.
  • Naik, Ranjan N .; Rao, SB; Shrikhande, SS ; Singhi, NM (1980), "Intersection charts of k -uniform hypergraphs", kombinatorisk matematik, optimale designs og deres anvendelser (Proc. Sympos. Combin. Math. And Optimal Design, Colorado State Univ., Fort Collins, Colo., 1978 ) , Annals of Discrete Mathematics, 6 , s. 275–279, MR  0593539.
  • Skums, PV; Suzdal ', SV; Tyshkevich, RI (2009), "Kantkrydsning af lineære 3-ensartede hypergrafier", Diskret matematik , 309 : 3500–3517, doi : 10.1016 / j.disc.2007.12.082.