Løfte teori - Lifting theory

I matematik blev løfteteori først introduceret af John von Neumann i et banebrydende papir fra 1931, hvor han besvarede et spørgsmål rejst af Alfréd Haar . Teorien blev videreudviklet af Dorothy Maharam (1958) og af Alexandra Ionescu Tulcea og Cassius Ionescu Tulcea (1961). Løfteteori blev i vid udstrækning motiveret af dens slående applikationer. Dens udvikling frem til 1969 blev beskrevet i en monografi af Ionescu Tulceas. Løfteteorien fortsatte med at udvikle sig siden da og gav nye resultater og applikationer.

Definitioner

Et løft på et målerum er en lineær og multiplikativ invers ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$

${\ displaystyle T \ colon L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \ til {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

af kvotientkortet

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \ til L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \\ f \ mapsto [f] \ end {cases}}}$

hvor er det seminormede L ^p- område af målbare funktioner og er dets sædvanlige normerede kvotient. Med andre ord fungerer et løftevalg fra hver ækvivalensklasse [ f ] af afgrænsede målbare funktioner modulo ubetydelig, en repræsentant - som fremover er skrevet T ([ f ]) eller T [ f ] eller simpelthen Tf - på en sådan måde, at ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

${\ displaystyle T (r [f] + s [g]) (p) = rT [f] (p) + sT [g] (p), \ qquad \ forall p \ i X, r, s \ in \ mathbf {R};}$

${\ displaystyle T ([f] \ times [g]) (p) = T [f] (p) \ times T [g] (p), \ qquad \ forall p \ in X;}$

${\ displaystyle T [1] = 1.}$

Løft bruges til at producere opløsninger af målinger , for eksempel betingede sandsynlighedsfordelinger givet kontinuerlige tilfældige variabler og fibreringer af Lebesgue-måling på niveausæt af en funktion.

Eksistensen af ​​løft

Sætning. Antag at ( X , Σ, μ ) er komplet. Derefter ( X , Σ, μ ) optager en løfte- hvis og kun hvis der findes en samling af indbyrdes disjunkte integrable sæt i Σ hvis union er  X . Især hvis ( X , Σ, μ ) er færdiggørelsen af ​​et σ- endeligt mål eller et indre regelmæssigt Borel-mål på et lokalt kompakt rum, så ( X , Σ, μ ) indrømmer en løftning.

Beviset består i at udvide en løftning til stadig større sub- σ -algebras ved at anvende Doobs martingale konvergenssætning, hvis man møder en tællelig kæde i processen.

Stærke løft

Antag at ( X , Σ, μ ) er komplet, og X er udstyret med en helt regelmæssig Hausdorff-topologi τ ⊂ Σ, således at foreningen af ​​enhver samling af ubetydelige åbne sæt igen er ubetydelig - dette er tilfældet, hvis ( X , Σ, μ ) er σ- endelig eller kommer fra et Radon-mål . Derefter støtte af μ , Supp ( μ ), kan defineres som komplementet af største ubetydelig åben delmængde, og samlingen C _b ( X , τ ) af bundne kontinuerte funktioner tilhører . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

Et stærkt løft til ( X , Σ, μ ) er et løft

${\ displaystyle T: L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \ til {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

sådan at Tφ = φ på Supp ( μ ) for alle φ i C _b ( X , τ). Dette er det samme som at kræve, at TU ≥ ( U ∩ Supp ( μ )) for alle åbne sæt U i  τ .

Sætning. Hvis (Σ, μ ) er σ -endelig og komplet, og τ har et tælleligt grundlag, så ( X , Σ, μ ) indrømmer en stærk løftning.

Bevis. Lad T ₀ være et løft for ( X , Σ, μ ) og { U ₁ , U ₂ , ...} et tællbart grundlag for τ . For ethvert punkt p i det ubetydelige sæt

${\ displaystyle N: = \ bigcup \ nolimits _ {n} \ left \ {p \ in \ mathrm {Supp} (\ mu) :( T_ {0} U_ {n}) (p) <U_ {n} ( p) \ højre \}}$

lad T _p være enhver karakter på L ^∞ ( X , Σ, μ ), der strækker tegnet φ ↦ φ ( p ), i C _b ( X , τ). Derefter defineres for p i X og [ f ] i L ^∞ ( X , Σ, μ ):

${\ displaystyle (T [f]) ​​(p): = {\ begin {cases} (T_ {0} [f]) ​​(p) & p \ notin N \\ T_ {p} [f] & p \ in N. \ end {cases}}}$

T er det ønskede stærke løft.

Anvendelse: opløsning af en foranstaltning

Antag at ( X , Σ, μ ), ( Y , Φ, ν) er σ- endelige målrum ( μ , ν positive) og π  : X → Y er et målbart kort. En opløsning af μ langs π med hensyn til ν er en række positive σ -additive tiltag på ( X , Σ), således at ${\ displaystyle Y \ ni y \ mapsto \ lambda _ {y}}$

1. λ _y bæres af fiberen af π over y :${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (\ {y \})}$

${\ displaystyle \ {y \} \ i \ Phi \; \; \ mathrm {og} \; \; \ lambda _ {y} \ left ((X \ setminus \ pi ^ {- 1} (\ {y \ }) \ højre) = 0 \ qquad \ forall y \ i Y}$

1. for hver μ -integrerbar funktion f ,

${\ displaystyle \ int _ {X} f (p) \; \ mu (dp) = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {\ pi ^ {- 1} (\ {y \})} f (p) \, \ lambda _ {y} (dp) \ højre) \ nu (dy) \ qquad (*)}$

i den forstand, at for ν- næsten alt y i Y , f er λ _y- integrerbar, er funktionen

${\ displaystyle y \ mapsto \ int _ {\ pi ^ {- 1} (\ {y \})} f (p) \, \ lambda _ {y} (dp)}$

er ν-integrerbar, og den viste lighed (*) holder.

Opløsninger findes under forskellige omstændigheder, hvor bevisene varierer, men næsten alle bruger stærke løft. Her er et ret generelt resultat. Dens korte bevis giver den generelle smag.

Sætning. Antag at X er et polsk rum og Y et adskilleligt Hausdorff-rum, begge udstyret med deres Borel σ -algebras. Lad μ være et σ- endeligt Borel-mål på X og π: X → Y a Σ, Φ – målbart kort. Så findes der et σ-endeligt Borel-mål ν på Y og en opløsning (*). Hvis μ er endelig, kan ν anses for at være pushforward π _∗ μ , og derefter er λ _y sandsynligheder.

Bevis. På grund af den polske natur af X er der en sekvens af kompakte undergrupper af X, der er indbyrdes adskilt, hvis forening har ubetydeligt komplement, og hvor π er kontinuerlig. Denne observation reducerer problemet til det tilfælde, at både X og Y er kompakte, og π er kontinuerlig, og ν = π _∗ μ . Fuldfør Φ under ν og fix et stærkt løft T for ( Y , Φ, ν ). Givet en afgrænset μ- målbar funktion f , lad os betegne dens betingede forventning under π, dvs. Radon-Nikodym-derivatet af π _∗ ( fμ ) med hensyn til π _∗ μ . Så sæt, for hver y i Y , For at vise, at dette definerer en opløsning er et spørgsmål om bogholderi og en egnet Fubini teorem. For at se, hvordan styrken af ​​løftet kommer ind, skal du bemærke det ${\ displaystyle \ lfloor f \ rfloor}$${\ displaystyle \ lambda _ {y} (f): = T (\ lfloor f \ rfloor) (y).}$

${\ displaystyle \ lambda _ {y} (f \ cdot \ varphi \ circ \ pi) = \ varphi (y) \ lambda _ {y} (f) \ qquad \ forall y \ i Y, \ varphi \ i C_ { b} (Y), f \ i L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

og tag det minimale over alle positive φ i C _b ( Y ) med φ ( y ) = 1; det bliver tydeligt, at understøtningen af λ _y ligger i fiberen over  y .

Referencer