Kerne (sætteori) - Kernel (set theory)

I sætteori kan kernen i en funktion f (eller ækvivalenskerne ) antages at være en af ​​dem

• den ækvivalensrelationen i funktionens domæne , som nogenlunde udtrykker ideen om "lige så langt som den funktion f kan fortælle", eller
• den tilsvarende partition af domænet.

Definition

For den formelle definition, lad X og Y være sæt og lad f være en funktion fra X til Y . Elementer x ₁ og x ₂ af X er ækvivalente , hvis f ( x ₁ ) og f ( x ₂ ) er lig , dvs. er det samme element af Y . Kernen af f er den således definerede ækvivalensrelation.

Kvoter

Ligesom enhver ækvivalensrelation kan kernen modificeres til at danne et kvotientsæt , og kvottsættet er partitionen:

${\ displaystyle \ left \ {\, \ left \ {\, w \ i X \ mid f (x) = f (w) \, \ right \} \ mid x \ i X \, \ right \}.}$

Dette kvottsæt X / = _f kaldes coimage af funktionen f og betegnes coim f (eller en variation). Den coimage er naturligt isomorf (i set-teoretisk forstand en bijection ) til billedet , im f ; specifikt svarer ækvivalensklassen til x i X (som er et element af coim f ) til f ( x ) i Y (som er et element af im f ).

Som en delmængde af pladsen

Som enhver binær relation , kan kernen af en funktion opfattes som en delmængde af den kartesiske produkt X × X . I denne forklædning kan kernen betegnes ker f (eller en variation) og kan defineres symbolsk som

${\ displaystyle \ operatorname {ker} f: = \ {(x, x ') \ mid f (x) = f (x') \}}$.

Undersøgelsen af ​​egenskaberne ved denne delmængde kan kaste lys over f .

I algebraiske strukturer

Hvis X og Y er algebraiske strukturer af en eller anden fast type (som grupper , ringe eller vektorrum ), og hvis funktionen f fra X til Y er en homomorfisme , så er ker f en kongruensrelation (det er en ækvivalensrelation, som er forenelig med den algebraiske struktur), og den coimage af f er en kvotient af X . Sammenhængen mellem coimage og billedet af f er en isomorfisme i algebraisk forstand; dette er den mest generelle form for den første isomorfiske sætning . Se også Kerne (algebra) .

I topologiske rum

Hvis X og Y er topologiske rum og f er en kontinuert funktion mellem dem, så de topologiske egenskaber af ker f kan belyse rum X og Y . For eksempel, hvis Y er et Hausdorff-mellemrum , skal ker f være et lukket sæt . Omvendt, hvis X er et Hausdorff-rum og ker f er et lukket sæt, så skal coimaget af f , hvis det får kvotient- rumtopologien, også være et Hausdorff-rum.

Referencer

Kilder

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Kategoriteori . Oxford Logic Guides. 49 (2. udgave). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.