Uendelig impulsrespons - Infinite impulse response

Uendelig impulsrespons ( IIR ) er en egenskab, der finder anvendelse på mange lineære tids-invariante systemer , der skelnes ved at have et impulsrespons, der ikke bliver nøjagtigt nul forbi et bestemt punkt, men fortsætter på ubestemt tid. Dette er i modsætning til et begrænset impulssvar (FIR) system, i hvilket impulssvaret ikke bliver præcis nul på tidspunkter for nogle finit og er således af begrænset varighed. Almindelige eksempler på lineære tidsinvariante systemer er de fleste elektroniske og digitale filtre . Systemer med denne egenskab er kendt som IIR-systemer eller IIR-filtre . ${\ displaystyle h (t)}$${\ displaystyle t> T}$${\ displaystyle T}$

I praksis nærmer impulsresponsen, selv for IIR-systemer, normalt nul og kan negligeres forbi et bestemt punkt. De fysiske systemer, der giver anledning til IIR- eller FIR-svar, er imidlertid forskellige, og deri ligger vigtigheden af ​​sondringen. For eksempel er analoge elektroniske filtre sammensat af modstande, kondensatorer og / eller induktorer (og måske lineære forstærkere) generelt IIR-filtre. På den anden side er diskrete tidsfiltre (normalt digitale filtre) baseret på en tappet forsinkelseslinje uden brug af feedback nødvendigvis FIR-filtre. Kondensatorerne (eller induktorerne) i det analoge filter har en "hukommelse", og deres indre tilstand slapper aldrig helt af efter en impuls (forudsat den klassiske model af kondensatorer og induktorer, hvor kvanteeffekter ignoreres). Men i sidstnævnte tilfælde, efter at en impuls har nået slutningen af ​​den tappede forsinkelseslinje, har systemet ingen yderligere hukommelse om denne impuls og er vendt tilbage til sin oprindelige tilstand; dens impulsrespons ud over dette punkt er nøjagtigt nul.

Implementering og design

Selvom næsten alle analoge elektroniske filtre er IIR, kan digitale filtre være enten IIR eller FIR. Tilstedeværelsen af ​​feedback i topologien af ​​et diskret tidsfilter (såsom blokdiagrammet vist nedenfor) skaber generelt et IIR-respons. Den z domæne overføringsfunktion af et IIR-filter indeholder en ikke-triviel nævner, der beskriver disse feedback-vilkår. Overførselsfunktionen for et FIR-filter har derimod kun en tæller som udtrykt i den generelle form, der er afledt nedenfor. Alle koefficienter med (tilbagemeldingsbetingelser) er nul, og filteret har ingen endelige poler . ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle i> 0}$

Overførselsfunktionerne vedrørende IIR analoge elektroniske filtre er blevet grundigt undersøgt og optimeret til deres amplitude og fasekarakteristika. Disse kontinuerlige filterfunktioner er beskrevet i Laplace-domænet . Ønskede løsninger kan overføres til tilfældet med diskrete tidsfiltre, hvis overføringsfunktioner udtrykkes i z-domænet, ved anvendelse af visse matematiske teknikker, såsom den bilineære transformation , impulsinvariansion eller pol-nul-matching-metode . Således kan digitale IIR-filtre være baseret på velkendte løsninger til analoge filtre, såsom Chebyshev-filteret , Butterworth-filteret og det elliptiske filter , der arver egenskaberne ved disse løsninger.

Overfør funktionsafledning

Digitale filtre beskrives ofte og implementeres i form af forskelligningen, der definerer, hvordan udgangssignalet er relateret til indgangssignalet:

${\ displaystyle {\ begin {align} y [n] {} = & {\ frac {1} {a_ {0}}} (b_ {0} x [n] + b_ {1} x [n-1] + \ cdots + b_ {P} x [nP] \\ & {} - a_ {1} y [n-1] -a_ {2} y [n-2] - \ cdots -a_ {Q} y [nQ ]) \ end {justeret}}}$

hvor:

• ${\ displaystyle \ P}$ er feedforward-filterrækkefølgen
• ${\ displaystyle \ b_ {i}}$ er feedforward-filterkoefficienterne
• ${\ displaystyle \ Q}$ er feedbackfilterrækkefølgen
• ${\ displaystyle \ a_ {i}}$ er feedbackfilterkoefficienterne
• ${\ displaystyle \ x [n]}$ er indgangssignalet
• ${\ displaystyle \ y [n]}$ er udgangssignalet.

En mere kondenseret form af forskelsligningen er:

${\ displaystyle \ y [n] = {\ frac {1} {a_ {0}}} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} x [ni] - \ sum _ { j = 1} ^ {Q} a_ {j} y [nj] \ right)}$

som, når de omarrangeres, bliver:

${\ displaystyle \ \ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} y [nj] = \ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} x [ni]}$

For at finde filterets overførselsfunktion tager vi først Z-transformen på hver side af ovenstående ligning, hvor vi bruger tidsforskydningsegenskaben til at opnå:

${\ displaystyle \ \ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j} Y (z) = \ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ { -i} X (z)}$

Vi definerer overførselsfunktionen til at være:

${\ displaystyle {\ begin {align} H (z) & = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} \\ & = {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {P } b_ {i} z ^ {- i}} {\ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j}}} \ end {justeret}}}$

I betragtning af at i de fleste IIR-filterdesignkoefficienter er 1, tager IIR-filteroverføringsfunktionen den mere traditionelle form: ${\ displaystyle \ a_ {0}}$

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ {- i}} {1+ \ sum _ {j = 1} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j}}}}$

Et eksempel på et blokdiagram over et IIR-filter. Den blok er en enhed forsinkelse.${\ displaystyle z ^ {- 1}}$

Stabilitet

Overførselsfunktionen giver en mulighed for at bedømme, om et system er begrænset-input, begrænset-output (BIBO) stabilt . For at være specifikt kræver BIBO-stabilitetskriteriet, at systemets ROC inkluderer enhedens cirkel. For eksempel for et kausalsystem skal alle poler i overføringsfunktionen have en absolut værdi mindre end en. Med andre ord skal alle poler placeres inden for en enhedscirkel i -planet. ${\ displaystyle z}$

Polerne er defineret som de værdier, der gør nævneren lig med 0: ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle H (z)}$

${\ displaystyle \ 0 = \ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j}}$

Det er klart, at hvis polerne ikke er placeret ved oprindelsen af flyet. Dette er i modsætning til FIR- filteret, hvor alle poler er placeret ved oprindelsen og derfor altid er stabile. ${\ displaystyle a_ {j} \ neq 0}$${\ displaystyle z}$

IIR filtre er undertiden foretrækkes frem FIR filtre, fordi et IIR filter kan opnå en meget skarpere overgangsområde roll-off end et FIR-filter af samme størrelsesorden.

Eksempel

Lad overførselsfunktionen for et diskret tidsfilter gives af: ${\ displaystyle H (z)}$

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {B (z)} {A (z)}} = {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}$

styres af parameteren , et reelt tal med . er stabil og kausal med en pol ved . Impulsresponset på tidsdomænet kan vises at være givet ved: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 0 <| a | <1}$${\ displaystyle H (z)}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle h (n) = a ^ {n} u (n)}$

hvor er enhedens trinfunktion . Det kan ses, at det ikke er nul for alle , således et impulsrespons, der fortsætter uendeligt. ${\ displaystyle u (n)}$${\ displaystyle h (n)}$${\ displaystyle n \ geq 0}$

IIR filtereksempel

Fordele og ulemper

Den største fordel, at digitale IIR-filtre har i forhold til FIR-filtre, er deres effektivitet i implementeringen for at imødekomme en specifikation med hensyn til passbånd, stopbånd, ripple og / eller roll-off. Et sådant sæt specifikationer kan opnås med en lavere orden ( Q i ovenstående formler) IIR-filter, end det ville være nødvendigt for et FIR-filter, der opfylder de samme krav. Hvis det implementeres i en signalprocessor, indebærer dette et tilsvarende færre antal beregninger pr. Tidstrin; beregningsbesparelserne er ofte af en ret stor faktor.

På den anden side kan FIR-filtre være lettere at designe, for eksempel for at matche et bestemt frekvensresponskrav. Dette gælder især når kravet ikke er et af de sædvanlige tilfælde (high-pass, low-pass, hak osv.), Som er blevet undersøgt og optimeret til analoge filtre. FIR-filtre kan også let gøres til at være lineær fase (konstant gruppeforsinkelse versus frekvens) - en egenskab, der ikke let imødekommes ved hjælp af IIR-filtre og derefter kun som en tilnærmelse (for eksempel med Bessel-filteret ). Et andet spørgsmål vedrørende digitale IIR-filtre er potentialet for grænsecyklusadfærd , når det er inaktiv, på grund af feedback-systemet i forbindelse med kvantisering.

Designmetoder

Impulsvariation

Impuls invariance er en teknik til at designe diskrete tid infinite-impulse respons (IIR) filtre fra kontinuerlige tidsfiltre, hvor impulssvaret fra systemet med kontinuerlig tid samples for at producere impulssvaret fra det diskrete tidssystem. Impuls invariance er en af ​​de almindeligt anvendte metoder til at opfylde de to grundlæggende krav til kortlægningen fra s-planet til z-planet. Dette opnås ved at løse T (z), der har den samme outputværdi på samme samplingtid som det analoge filter, og det er kun anvendeligt, når indgangene er i en puls.
Bemærk, at alle indgange på det digitale filter, der genereres ved denne metode, er omtrentlige værdier, bortset fra pulsindgange, der er meget nøjagtige. Dette er den enkleste IIR filter design metode. Det er det mest nøjagtige ved lave frekvenser, så det bruges normalt i lavpasfiltre.

For Laplace-transformation eller z-transformation er output efter transformation bare input ganget med den tilsvarende transformationsfunktion, T (s) eller T (z). Y (s) og Y (z) er den konverterede output af henholdsvis input X (s) og input X (z).

${\ displaystyle Y (s) = T (s) X (s)}$

${\ displaystyle Y (z) = T (z) X (z)}$

Når du anvender Laplace-transform eller z-transform på enhedens impuls, er resultatet 1. Derfor er outputresultaterne efter konverteringen

${\ displaystyle Y (s) = T (s)}$

${\ displaystyle Y (z) = T (z)}$

Nu er output fra det analoge filter bare den omvendte Laplace-transformation i tidsdomænet.

${\ displaystyle y (t) = L ^ {- 1} [Y (s)] = L ^ {- 1} [T (s)]}$

Hvis vi bruger nT i stedet for t, kan vi få output y (nT) afledt af pulsen på samplingstidspunktet. Det kan også udtrykkes som y (n)

${\ displaystyle y (n) = y (nT) = y (t) | _ {t = sT}}$

Dette diskrete tidssignal kan anvendes z-transform for at få T (z)

${\ displaystyle T (z) = Y (z) = Z [y (n)]}$

${\ displaystyle T (z) = Z [y (n)] = Z [y (nT)]}$

${\ displaystyle T (z) = Z \ venstre \ {L ^ {- 1} [T (s)] _ {t = nT} \ højre \}}$

Den sidste ligning beskriver, at et digitalt IIR-filter i matematik skal udføre z-transformation på det analoge signal, der er blevet samplet og konverteret til T (s) af Laplace, hvilket normalt er forenklet til

${\ displaystyle T (z) = Z [T (s)] * T}$

Vær opmærksom på, at der er en multiplikator T, der vises i formlen. Dette skyldes, at selvom Laplace-transformationen og z-transformationen for enhedspulsen er 1, er selve pulsen ikke nødvendigvis den samme. For analoge signaler har pulsen en uendelig værdi, men arealet er 1 ved t = 0, men det er 1 ved den diskrete tidspuls t = 0, så eksistensen af ​​en multiplikator T er påkrævet.

Trinvariation

Trin-invarians er en bedre designmetode end impuls-invariant. Det digitale filter har flere indgangssegmenter med forskellige konstanter ved sampling, som er sammensat af diskrete trin. Trinvariabelt IIR-filter er mindre nøjagtigt end det samme indgangstrinsignal til ADC. Det er dog en bedre tilnærmelse for ethvert input end impulsvarianten.
Trinvariant løser problemet med de samme prøveværdier, når T (z) og T (s) begge er trininput. Indgangen til det digitale filter er u (n), og indgangen til det analoge filter er u (t). Anvend z-transform og Laplace-transform på disse to indgange for at opnå det konverterede udgangssignal.
Udfør z-transformation på trinindgang Konverteret output efter z-transformation Udfør Laplace-transformation på trinindgang Konverteret output efter Laplace-transformation Outputtet fra det analoge filter er y (t), som er den inverse Laplace-transformation af Y (s). Hvis der samples hvert T-sekund, er det y (n), hvilket er den omvendte konvertering af Y (z). Disse signaler bruges til at løse det digitale filter og det analoge filter og har samme output på samplingstiden. Den følgende ligning påpeger løsningen af ​​T (z), som er den omtrentlige formel for det analoge filter.${\ displaystyle Z [u (n)] = {\ dfrac {z} {z-1}}}$
${\ displaystyle Y (z) = T (z) U (z) = T (z) {\ dfrac {z} {z-1}}}$
${\ displaystyle L [u (t)] = {\ dfrac {1} {s}}}$
${\ displaystyle Y (s) = T (s) U (s) = {\ dfrac {T (s)} {s}}}$

${\ displaystyle T (z) = {\ dfrac {z-1} {z}} Y (z)}$

${\ displaystyle T (z) = {\ dfrac {z-1} {z}} Z [y (n)]}$

${\ displaystyle T (z) = {\ dfrac {z-1} {z}} Z [Y (s)]}$

${\ displaystyle T (z) = {\ dfrac {z-1} {z}} Z [{\ dfrac {T (s)} {s}}]}$

Bilinær transformation

Den bilineære transformation er et specielt tilfælde af en konform kortlægning, der ofte bruges til at konvertere en overførselsfunktion af et lineært, tids-invariant (LTI) filter i det kontinuerlige tidsdomæne (ofte kaldet et analogt filter) til en overføringsfunktion af et lineært , skift-invariant filter i det diskrete tidsdomæne. Den bilineære transformation er en førsteordens tilnærmelse af den naturlige logaritmefunktion, der er en nøjagtig kortlægning af z- planet til s- planet. Når Laplace-transformationen udføres på et diskret tidssignal (med hvert element i den diskrete tidssekvens knyttet til en tilsvarende forsinket enhedsimpuls), er resultatet nøjagtigt Z-transformationen af ​​den diskrete tidssekvens med erstatningen af ${\ displaystyle H_ {a} (s)}$${\ displaystyle H_ {d} (z)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} z & = e ^ {sT} \\ & = {\ frac {e ^ {sT / 2}} {e ^ {- sT / 2}}} \\ & \ approx {\ frac {1 + sT / 2} {1-sT / 2}} \ ende {justeret}}}$

hvor er den numeriske integrationstrinsstørrelse af den trapezformede regel, der anvendes i den bilineære transformationsafledning; eller med andre ord prøveudtagningsperioden. Ovenstående bilineære tilnærmelse kan løses eller en lignende tilnærmelse kan udføres. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s = (1 / T) \ ln (z)}$

Den omvendte af denne kortlægning (og dens første ordens bilineære tilnærmelse) er

${\ displaystyle {\ begin {align} s & = {\ frac {1} {T}} \ ln (z) \\ & = {\ frac {2} {T}} \ venstre [{\ frac {z-1 } {z + 1}} + {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {z-1} {z + 1}} \ right) ^ {3} + {\ frac {1} { 5}} \ left ({\ frac {z-1} {z + 1}} \ right) ^ {5} + {\ frac {1} {7}} \ left ({\ frac {z-1} { z + 1}} \ right) ^ {7} + \ cdots \ right] \\ & \ approx {\ frac {2} {T}} {\ frac {z-1} {z + 1}} \\ & = {\ frac {2} {T}} {\ frac {1-z ^ {- 1}} {1 + z ^ {- 1}}} \ ende {justeret}}}$

Dette forhold bruges i Laplace-overførselsfunktionen for ethvert analogt filter eller det digitale uendelige impulsrespons (IIR) filter T (z) i det analoge filter.
Den bilineære transformation bruger i det væsentlige denne første ordens tilnærmelse og erstatter den kontinuerlige tidsoverføringsfunktion,${\ displaystyle H_ {a} (s)}$

${\ displaystyle s \ leftarrow {\ frac {2} {T}} {\ frac {z-1} {z + 1}}.}$

Det er

${\ displaystyle H_ {d} (z) = H_ {a} (s) {\ bigg |} _ {s = {\ frac {2} {T}} {\ frac {z-1} {z + 1} }} = H_ {a} \ venstre ({\ frac {2} {T}} {\ frac {z-1} {z + 1}} \ højre). \}$

som bruges til at beregne det digitale IIR-filter startende fra det analoge filters Laplace-overføringsfunktion.

Se også

• Autoregressiv model
• Elektronisk filter
• Endelig impulsrespons
• Gentagelsesforhold , matematisk formalisering
• Systemanalyse

eksterne links

• Det femte modul i BORES Signal Processing DSP kursus - Introduktion til DSP ] på Wayback Machine (arkiveret 2. juli 2016)
• IIR Digital Filter Design Applet på Wayback Machine (arkiveret 13. februar 2010)
• IIR Digital Filter designværktøj - producerer koefficienter, grafer, poler, nuller og C-kode
• EngineerJS Online IIR Design Tool - kræver ikke Java