Forney-algoritme - Forney algorithm

I kodningsteori , den Forney algoritmen (eller Forney algoritme ) beregner fejlværdier på kendte fejllokaliteter. Det bruges som et af trinnene i dekodning af BCH-koder og Reed – Solomon-koder (en underklasse af BCH-koder). George David Forney, Jr. udviklede algoritmen.

Procedure

Brug for at introducere terminologi og opsætningen ...

Kodeord ligner polynomer. Ved design har generatorpolynomet på hinanden følgende rødder α ^c , α ^{c +1} , ..., α ^{c + d −2} .

syndromer

Fejl placering polynom

${\ displaystyle \ Lambda (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ nu} (1-x \, X_ {i}) = 1+ \ sum _ {i = 1} ^ {\ nu} \ lambda _ {i} \, x ^ {i}}$

Nullerne på Λ ( x ) er X ₁ ⁻¹ , ..., X _ν ⁻¹ . Nullerne er gentagelserne for fejlplaceringerne . ${\ displaystyle X_ {j} = \ alpha ^ {i_ {j}}}$

Når fejlplaceringerne er kendt, er det næste trin at bestemme fejlværdierne på disse placeringer. Fejlværdierne bruges derefter til at korrigere de modtagne værdier på disse placeringer for at gendanne det originale kodeord.

I det mere generelle tilfælde, den fejl vægte e _j kan bestemmes ved at løse den lineære ordning

${\ displaystyle s_ {0} = e_ {1} \ alpha ^ {(c + 0) \, i_ {1}} + e_ {2} \ alpha ^ {(c + 0) \, i_ {2}} + \ cdots \,}$

${\ displaystyle s_ {1} = e_ {1} \ alpha ^ {(c + 1) \, i_ {1}} + e_ {2} \ alpha ^ {(c + 1) \, i_ {2}} + \ cdots \,}$

${\ displaystyle \ cdots \,}$

Der er imidlertid en mere effektiv metode kendt som Forney-algoritmen, der er baseret på Lagrange-interpolering . Beregn først fejlevalueringspolynomet

${\ displaystyle \ Omega (x) = S (x) \, \ Lambda (x) {\ pmod {x ^ {2t}}} \,}$

Hvor S ( x ) er det partielle syndrom-polynom:

${\ displaystyle S (x) = s_ {0} x ^ {0} + s_ {1} x ^ {1} + s_ {2} x ^ {2} + \ cdots + s_ {2t-1} x ^ { 2t-1}.}$

Evaluer derefter fejlværdierne:

${\ displaystyle e_ {j} = - {\ frac {X_ {j} ^ {1-c} \, \ Omega (X_ {j} ^ {- 1})} {\ Lambda '(X_ {j} ^ { -1})}} \}$

Værdien c kaldes ofte den "første sammenhængende rod" eller "fcr". Nogle koder vælger c = 1 , så udtrykket forenkles til:

${\ displaystyle e_ {j} = - {\ frac {\ Omega (X_ {j} ^ {- 1})} {\ Lambda '(X_ {j} ^ {- 1})}}}$

Formelt derivat

Λ '( x ) er det formelle derivat af fejllokaliseringspolynomet Λ ( x ):

${\ displaystyle \ Lambda '(x) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ nu} i \, \ cdot \, \ lambda _ {i} \, x ^ {i-1}}$

I ovenstående udtryk, Bemærk, at jeg er et helt tal, og λ _jeg ville være et element i afgrænset område. Operatøren · repræsenterer almindelig multiplikation (gentagen tilføjelse i det endelige felt) og ikke det endelige felts multiplikationsoperatør.

Derivation

Lagrange interpolation

Gill (nd , s. 52-54) giver en afledning af Forney-algoritmen.

sletninger

Definer slettelokatorens polynom

${\ displaystyle \ Gamma (x) = \ prod (1-x \, \ alpha ^ {j_ {i}})}$

Hvor placeringerne for sletning er givet af j _i . Anvend proceduren beskrevet ovenfor, idet man erstatter Γ med Λ.

Hvis der er både fejl og sletning, skal du bruge polynomet til fejl og sletning

${\ displaystyle \ Psi (x) = \ Lambda (x) \, \ Gamma (x)}$

Se også

• BCH-kode
• Reed – Solomon fejlkorrektion

Referencer

• Forney, G., Jr. (oktober 1965), "Om dekodning af BCH-koder", IEEE-transaktioner om informationsteori , 11 (4): 549–557, doi : 10.1109 / TIT.1965.1053825 , ISSN  0018-9448
• Gill, John (nd), EE387 Noter # 7 , Udgave nr. 28 (PDF) , Stanford University, s. 42–45, arkiveret fra originalen (PDF) den 30. juni 2014 , hentet 21. april 2010
• W. Wesley Petersons bog

eksterne links