Eksponentiel stabilitet - Exponential stability

Se Lyapunov-stabilitet , som giver en definition af asymptotisk stabilitet for mere generelle dynamiske systemer . Alle eksponentielt stabile systemer er også asymptotisk stabile.

Differentialligninger
Navier – Stokes differentialligninger, der bruges til at simulere luftstrøm omkring en forhindring.
Anvendelsesområde Naturvidenskab ingeniørarbejde Astronomi Fysik Kemi Biologi Geologi Anvendt matematik Kontinuummekanik Kaosteori Dynamiske systemer Samfundsvidenskab Økonomi Befolkningsdynamik
Klassifikation
Typer Almindelig Delvis Differential-algebraisk Integro-differentiel Fraktioneret Lineær Ikke-lineær Efter variabel type Afhængige og uafhængige variabler Autonom Kompleks Koblet / afkoblet Eksakt Homogen  / ikke- homogen Funktioner Bestille Operatør Notation
Forhold til processer Forskel (diskret analog) Stokastisk Stokastisk delvis Forsinke
Opløsning
Eksistens og unikhed Picard – Lindelöf sætning Peano eksistens sætning Carathéodory eksistens sætning Teori om Cauchy – Kowalevski
Generelle emner Wronskian Faseportræt Faseplads Lyapunov  / asymptotisk  / eksponentiel stabilitet Konvergensrate Serie  / integrerede løsninger Numerisk integration Dirac delta funktion
Løsningsmetoder Inspektion Metode for egenskaber Euler Eksponentiel responsformel Endelig forskel   ( Crank – Nicolson ) Endeligt element Uendeligt element Endelig lydstyrke Galerkin Petrov – Galerkin Integrerende faktor Integrerede transformationer Forstyrrelsesteori Runge – Kutta Adskillelse af variabler Ubestemte koefficienter Variation af parametre
Mennesker Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

I kontrolteori er et kontinuerligt lineært tids-invariant system (LTI) eksponentielt stabilt, hvis og kun hvis systemet har egenværdier (dvs. polerne i input-til-output-systemer) med strengt negative reelle dele. (dvs. i venstre halvdel af det komplekse plan ). Et diskret-tids input-til-output LTI-system er eksponentielt stabilt, hvis og kun hvis polerne i dets overføringsfunktion ligger strengt inden for enhedens cirkel centreret på det komplekse plan oprindelse. Eksponentiel stabilitet er en form for asymptotisk stabilitet . Systemer, der ikke er LTI, er eksponentielt stabile, hvis deres konvergens er begrænset af eksponentielt henfald .

Praktiske konsekvenser

Et eksponentielt stabilt LTI-system er et, der ikke vil "sprænge" (dvs. give et ubegrænset output), når det gives en endelig input eller en starttilstand, der ikke er nul. Desuden, hvis systemet får et fast, endeligt input (dvs. et trin ), vil eventuelle resulterende svingninger i udgangen henfalde med en eksponentiel hastighed , og outputtet vil tendens asymptotisk til en ny endelig, steady-state-værdi. Hvis systemet i stedet får en Dirac delta-impuls som input, vil inducerede svingninger dø væk, og systemet vender tilbage til sin tidligere værdi. Hvis svingninger ikke dør væk, eller systemet ikke vender tilbage til dets oprindelige output, når en impuls anvendes, er systemet i stedet marginalt stabilt .

Eksempel på eksponentielt stabile LTI-systemer

Impulsresponserne fra to eksponentielt stabile systemer

Grafen til højre viser impulsresponsen fra to lignende systemer. Den grønne kurve er systemets respons med impulsrespons , mens den blå repræsenterer systemet . Selvom et svar er oscillerende, vender begge tilbage til den oprindelige værdi på 0 over tid. ${\ displaystyle y (t) = e ^ {- {\ frac {t} {5}}}}$${\ displaystyle y (t) = e ^ {- {\ frac {t} {5}}} \ sin (t)}$

Eksempel på den virkelige verden

Forestil dig at lægge en marmor i en øse. Det vil slå sig ned i skovlens laveste punkt og forblive der, medmindre det forstyrres. Forestil dig nu at give bolden et skub, hvilket er en tilnærmelse til en Dirac delta-impuls . Marmoren vil rulle frem og tilbage, men til sidst genbosættes i bunden af ​​sleben. Tegning af marmorens vandrette position over tid ville give en gradvis aftagende sinusformet snarere som den blå kurve i billedet ovenfor.

Et trin input i dette tilfælde kræver understøttelse af marmor væk fra bunden af ​​sleben, så den ikke kan rulle tilbage. Det vil forblive i samme position og vil ikke, som det ville være tilfældet, hvis systemet kun var marginalt stabilt eller helt ustabilt, fortsætte med at bevæge sig væk fra bunden af ​​skovlen under denne konstante kraft svarende til dens vægt.

Det er vigtigt at bemærke, at systemet i dette eksempel ikke er stabilt for alle input. Giv marmoren et stort nok skub, så den falder ud af skovlen og falder og stopper kun, når den når gulvet. For nogle systemer er det derfor korrekt at anføre, at et system er eksponentielt stabilt over et bestemt interval af input .

Se også

• Marginal stabilitet
• Kontrolteori
• Statligt rum (kontrol)

Referencer

eksterne links

• Parameterestimering og asymptotisk stabilitet instokastisk filtrering , Anastasia Papavasiliou 28 28. september 2004