Euler klasse - Euler class

I matematik , specielt inden for algebraisk topologi , er Euler-klassen en karakteristisk klasse af orienterede , ægte vektorbundter . Ligesom andre karakteristiske klasser måler det, hvor "snoet" vektorbundtet er. I tilfælde af det tangente bundt af en glat manifold generaliserer det den klassiske forestilling om Euler-karakteristik . Det er opkaldt efter Leonhard Euler på grund af dette.

I hele denne artikel er et orienteret, ægte vektorbundt af rang over et basisrum . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle X}$

Formel definition

Euler klasse er et element af integralet cohomologi gruppe ${\ displaystyle e (E)}$

{\ displaystyle H ^ {r} (X; \ mathbf {Z}),}

konstrueret som følger. En orientering af svarer til et kontinuerligt valg af generator for kohomologien ${\ displaystyle E}$

{\ displaystyle H ^ {r} (\ mathbf {R} ^ {r}, \ mathbf {R} ^ {r} \ setminus \ {0 \}; \ mathbf {Z}) \ cong H ^ {r-1 } (S ^ {r-1}; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z}}

af hver fiber i forhold til komplementet på nul. Fra Thoms isomorfisme inducerer dette en orienteringsklasse ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {r} \ setminus \ {0 \}}$

{\ displaystyle u \ i H ^ {r} (E, E \ setminus E_ {0}; \ mathbf {Z})}

i kohomologien af i forhold til komplementet til nulsektionen . Inklusionerne ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E \ setminus E_ {0}}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$

{\ displaystyle (X, \ emptyset) \ hookrightarrow (E, \ emptyset) \ hookrightarrow (E, E \ setminus E_ {0}),}

hvor inkluderer i som nul sektion, inducere kort ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle E}$

{\ displaystyle H ^ {r} (E, E \ setminus E_ {0}; \ mathbf {Z}) \ til H ^ {r} (E; \ mathbf {Z}) \ til H ^ {r} (X ; \ mathbf {Z}).}

Den Euler klasse e ( E ) er billedet af u under sammensætningen af disse kort.

Ejendomme

Euler-klassen opfylder disse egenskaber, som er aksiomer af en karakteristisk klasse:

Funktionalitet: Hvis er en anden orienteret, ægte vektorbundt og er kontinuerlig og dækket af et orienteringsbevarende kort , så . Især . ${\ displaystyle F \ til Y}$ ${\ displaystyle f \ colon Y \ til X}$ ${\ displaystyle F \ til E}$ ${\ displaystyle e (F) = f ^ {*} (e (E))}$ ${\ displaystyle e (f ^ {*} (E)) = f ^ {*} (e (E))}$
Whitney- sumformel: Hvis derer et andet orienteret, ægte vektorbundt, så gives Euler-klassen af deres direkte sum af ${\ displaystyle F \ til X}$ ${\ displaystyle e (E \ oplus F) = e (E) \ smile e (F).}$
Normalisering: Hvis har et intetsteds-nul sektion, så . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle e (E) = 0}$
Orientering: Hvis er med den modsatte retning, så . ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle e ({\ overline {E}}) = - e (E)}$

Bemærk, at "Normalisering" er et kendetegn ved Euler-klassen. Euler-klassen forhindrer eksistensen af en ikke-forsvindende sektion i den forstand, at hvis den ikke har nogen ikke-forsvindende sektion. ${\ displaystyle e (E) \ neq 0}$ ${\ displaystyle E}$

Også i modsætning til andre karakteristiske klasser, er det koncentreret i en grad, som afhænger af rang af pakken: . Derimod lever Stiefel Whitney-klasser uafhængigt af rang af . Dette afspejler det faktum, at Euler-klassen er ustabil som beskrevet nedenfor. ${\ displaystyle e (E) \ i H ^ {r} (X)}$ ${\ displaystyle w_ {i} (E)}$ ${\ displaystyle H ^ {i} (X; \ mathbb {Z} / 2)}$ ${\ displaystyle E}$

Forsvindingssted for generisk sektion

Euler-klassen svarer til det forsvindende sted i en sektion på følgende måde. Antag, at det er en orienteret glat manifold af dimension . Lade være en glat sektion, der krydser nul sektionen på tværs . Lad være nul locus af . Så er en codimension submanifold af som repræsenterer en homologi klasse og er Poincarés dual af . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ sigma \ colon X \ til E}$ ${\ displaystyle Z \ subseteq X}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle [Z] \ i H_ {dr} (X; \ mathbf {Z})}$ ${\ displaystyle e (E)}$ ${\ displaystyle [Z]}$

Selvkryds

For eksempel, hvis er en kompakt undermanifold, så er Euler-klassen af det normale bundt af in naturligt identificeret med selvkrydsningen af in . ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$

Forhold til andre invarianter

I det specielle tilfælde når det pågældende bundt E er tangentbundtet i en kompakt, orienteret, r- dimensionel manifold, er Euler-klassen et element i manifoldens topkohomologi, som naturligvis identificeres med heltalene ved at evaluere kohomologiklasser om den grundlæggende homologiklasse . Under denne identifikation svarer Euler-klassen til tangentbundtet til Euler-karakteristikken for manifolden. På sproget med karakteristiske tal er Euler-karakteristikken det karakteristiske antal, der svarer til Euler-klassen.

Således er Euler-klassen en generalisering af Euler-karakteristikken for andre vektorbundter end tangentbundter. Til gengæld er Euler-klassen arketypen for andre karakteristiske klasser af vektorbundter, idet hver "øverste" karakteristiske klasse er lig med Euler-klassen som følger.

Modding ud af 2 inducerer et kort

{\ displaystyle H ^ {r} (X, \ mathbf {Z}) \ til H ^ {r} (X, \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}).}

Billedet af Euler-klassen under dette kort er den øverste Stiefel-Whitney klasse w _r ( E ). Man kan se denne Stiefel-Whitney-klasse som "Euler-klassen, ignorerer orientering".

Ethvert komplekst vektorbundt E med kompleks rang d kan betragtes som et orienteret, reelt vektorbundt E med reel rang 2 d . Euler-klassen af E er givet af den højeste dimensionelle Chern-klasse ${\ displaystyle e (E) = c_ {d} (E) \ i H ^ {2d} (X)}$

Kvadrater til top Pontryagin-klasse

Den Pontryagin klassen er defineret som Chern klasse af complexification af E : . ${\ displaystyle p_ {r} (E)}$ ${\ displaystyle p_ {r} (E) = c_ {2r} (\ mathbf {C} \ otimes E)}$

Kompleksiseringen er isomorf som et orienteret bundt til . Sammenligning af Euler-klasser ser vi det ${\ displaystyle \ mathbf {C} \ tid E}$ ${\ displaystyle E \ oplus E}$

{\ displaystyle e (E) \ smile e (E) = e (E \ oplus E) = e (E \ otimes \ mathbf {C}) = c_ {r} (E \ otimes \ mathbf {C}) \ in H ^ {2r} (X, \ mathbf {Z}).}

Hvis rang r af E er lige så hvor er den øverste dimensionelle Pontryagin-klasse af . ${\ displaystyle e (E) \ smile e (E) = c_ {r} (E) = p_ {r / 2} (E)}$ ${\ displaystyle p_ {r / 2} (E)}$ ${\ displaystyle E}$

Ustabilitet

En karakteristisk klasse er stabil, hvis hvor er en trivial bundt. I modsætning til de fleste andre karakteristiske klasser er Euler-klassen ustabil . Faktisk . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c (E \ oplus {\ understregning {R}} ^ {1}) = c (E)}$ ${\ displaystyle {\ understregning {R}} ^ {1}}$ ${\ displaystyle e (E \ oplus {\ understregning {R}} ^ {1}) = e (E) \ smile e ({\ understregning {R}} ^ {1}) = 0}$

Euler-klassen er repræsenteret af en kohomologiklasse i klassificeringsrummet BSO ( k ) . Ustabiliteten i Euler-klassen viser, at den ikke er tilbagetrækningen fra en klasse under inkluderingen . ${\ displaystyle e \ i H ^ {k} (\ mathrm {BSO} (k))}$ ${\ displaystyle H ^ {k} (\ mathrm {BSO} (k + 1))}$ ${\ displaystyle \ mathrm {BSO} (k) \ til \ mathrm {BSO} (k + 1)}$

Dette kan intuitivt ses ved, at Euler-klassen er en klasse, hvis grad afhænger af bundtets dimension (eller manifold, hvis tangentbundtet): Euler-klassen er et element, hvor er bunddimensionen, mens den anden klasser har en fast dimension (f.eks. er den første Stiefel-Whitney-klasse et element i ). ${\ displaystyle H ^ {d} (X)}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (X)}$

Det faktum, at Euler-klassen er ustabil, bør ikke ses som en "defekt": snarere betyder det, at Euler-klassen "opdager ustabile fænomener". For eksempel er det tangente bundt af en jævn dimensionel sfære stabilt trivielt, men ikke trivielt (den sædvanlige inkludering af sfæren har trivielt normalt bundt, således er det tangentbundt af sfæren plus et trivielt linjebundt det tangente bundt af det euklidiske rum, begrænset til , hvilket er trivielt), således forsvinder andre karakteristiske klasser alle for sfæren, men Euler-klassen forsvinder ikke for selv sfærer, hvilket giver en ikke-triviel invariant. ${\ displaystyle S ^ {n} \ subseteq \ mathrm {R} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$

Eksempler

Kugler

Euler-karakteristikken for n -sfæren S ⁿ er:

{\ displaystyle \ chi (\ mathbf {S} ^ {n}) = 1 + (- 1) ^ {n} = {\ begin {cases} 2 & n {\ text {even}} \\ 0 & n {\ text {odd }}. \ end {cases}}}

Således er der ingen ikke-forsvindende del af det tangente bundt af lige kugler (dette er kendt som den hårede kugle sætning ). Især er det tangente bundt af en jævn kugle ikke-kortvarig - dvs. er ikke en paralleliserbar manifold og kan ikke indrømme en løgruppestruktur . ${\ displaystyle S ^ {2n}}$

For ulige sfærer, S ^{2 n -1} ⊂ R ^{2 n} , en intetsteds forsvindende sektion er givet ved

{\ displaystyle (x_ {2}, - x_ {1}, x_ {4}, - x_ {3}, \ prikker, x_ {2n}, - x_ {2n-1})}

hvilket viser, at Euler-klassen forsvinder; dette er kun n kopier af det sædvanlige afsnit over cirklen.

Som Euler-klassen for en jævn sfære svarer til , kan vi bruge det faktum, at Euler-klassen af en Whitney-sum af to bundter kun er koppeproduktet fra Euler-klassen af de to bundter for at se, at der ikke er nogen ikke-trivielle underbundter af det tangente bundt af en jævn kugle. ${\ displaystyle 2 [S ^ {2n}] \ i H ^ {2n} (S ^ {2n}, \ mathbf {Z})}$

Da kuglens tangentbundt er stabilt trivielt, men ikke trivielt, forsvinder alle andre karakteristiske klasser på det, og Euler-klassen er den eneste almindelige kohomologiklasse, der registrerer ikke-trivialiteten af det tangente bundt af kugler: at bevise yderligere resultater, en skal bruge sekundær kohomologi operationer eller K-teori .

Cirkel

Cylinderen er en linjebundt over cirklen ved den naturlige fremspring . Det er et trivielt linjebundt, så det har et intetsteds-nul sektion, og dets Euler-klasse er således 0. Det er også isomorf til cirkelens tangente bundt; det faktum, at dens Euler-klasse er 0 svarer til det faktum, at Euler-karakteristikken for cirklen er 0. ${\ displaystyle \ mathrm {R} ^ {1} \ gange S ^ {1} \ til S ^ {1}}$

Se også

Andre klasser

Referencer

Bott, Raoul og Tu, Loring W. (1982). Differentielle former i algebraisk topologi . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.CS1 maint: flere navne: forfatterliste ( link )
Bredon, Glen E. (1993). Topologi og geometri . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Karakteristiske klasser . Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0.

Languages

In other projects