Endomorfisme - Endomorphism

Ortogonal projektion på en linje, m , er en lineær operator på flyet. Dette er et eksempel på en endomorfisme, der ikke er en automorfisme .

I matematik er en endomorfisme en morfisme fra et matematisk objekt til sig selv. En endomorfisme, der også er en isomorfisme, er en automorfisme . For eksempel er en endomorfien af et vektorrum V er en lineær afbildning f : V → V , og en endomorfien af en gruppe G er en gruppehomomorfi f : G → G . Generelt kan vi tale om endomorfier i enhver kategori . I kategorien sæt er endomorfismer funktioner fra et sæt S til sig selv.

Under alle kategorien sammensætning af to endomorphisms af X er igen en endomorfien af X . Det følger heraf, at sættet med alle endomorfier af X danner en monoid , den fulde transformation monoid , og betegnes End ( X ) (eller End _C ( X ) for at understrege kategori C ).

Automorfismer

En inverterbar endomorfisme af X kaldes en automorfisme . Mængden af alle automorphisms er en delmængde af End ( X ) med en gruppe struktur, kaldet automorfi gruppe af X og betegnet Aut ( X ) . I det følgende diagram angiver pilene implikation:

Endomorfisme ringer

Enhver to endomorfismer fra en abelisk gruppe , A , kan føjes sammen ved reglen ( f + g ) ( a ) = f ( a ) + g ( a ) . Under denne tilføjelse og med multiplikation defineret som funktionssammensætning danner endomorfismerne i en abelsk gruppe en ring ( endomorfisringen ). For eksempel er sættet med endomorfismer af ℤ ⁿ ringen af ​​alle n × n- matricer med heltalsposter . Endomorfismerne i et vektorrum eller modul danner også en ring, ligesom endomorfismerne for ethvert objekt i en forudgående kategori . Endomorfismerne i en ikke -abelisk gruppe genererer en algebraisk struktur kendt som en nærring . Hver ring med en er endomorfismen i sit almindelige modul , og det samme er en subring af en endomorfisme i en abelsk gruppe; dog er der ringe, der ikke er endomorfismens ring af nogen abelsk gruppe.

Operatørsteori

I enhver konkret kategori , især for vektorrum , er endomorfier kort fra et sæt ind i sig selv og kan fortolkes som unære operatorer på dette sæt, der virker på elementerne og giver mulighed for at definere begrebet omløb af elementer osv.

Afhængigt af den ekstra struktur, der er defineret for den aktuelle kategori ( topologi , metrisk , ...), kan sådanne operatører have egenskaber som kontinuitet , afgrænsning osv. Flere detaljer findes i artiklen om operatorteori .

Endofunktioner

En endofunktion er en funktion, hvis domæne er lig med dets codomain . En homomorf endofunktion er en endomorfisme.

Lad S være et vilkårligt sæt. Blandt endofunctions på S finder permutationer af S og konstant funktion forbinder til hver x i S det samme element c i S . Hver permutation af S har kodæne lig med sit domæne og er bijektiv og inverterbar. Hvis S har mere end et element, har en konstant funktion på S et billede, der er en ordentlig delmængde af dets kodomæne, og er således ikke bijektiv (og dermed ikke inverterbar). Funktionen, der knytter sig til hvert naturlige tal n gulvet i n / 2, har sit billede lig med dets kodæne og er ikke inverterbar.

Endelige endofunktioner svarer til rettet pseudoforests . For sæt af størrelse n er der n ⁿ endofunktioner på sættet.

Særlige eksempler på bijektive endofunktioner er involveringerne ; dvs. funktionerne falder sammen med deres inverser.

Se også

• Tilstødende endomorfisme
• Epimorfisme (Surjective morphism)
• Frobenius endomorfisme
• Monomorfisme (Injektiv morfisme)

Bemærkninger

Referencer

• Jacobson, Nathan (2009), grundlæggende algebra , 1 (2. udgave), Dover, ISBN   978-0-486-47189-1

eksterne links

• "Endomorfisme" , encyklopædi for matematik , EMS Press , 2001 [1994]