Komplement (sætteori) - Complement (set theory)

En cirkel fyldt med rødt inde i en firkant. Området uden for cirklen er ufyldt. Grænserne for både cirklen og firkanten er sorte.

Hvis

A

er området farvet rødt i dette billede ...

En uudfyldt cirkel inde i en firkant. Området inde i firkanten, der ikke er dækket af cirklen, er fyldt med rødt. Grænserne for både cirklen og firkanten er sorte.

... så er komplementet med

A

alt andet.

I mængdelære , at komplementet af et sæt $A$ , ofte betegnet med $A c$ (eller $A'$ ), er de elementer ikke i $A$ .

Når alle sættene under overvejelse betragtes som delmængder af et givet sæt $U$ , den absolutte komplement af $A$ er det sæt af elementer i $U$ , der ikke er i $A$ .

Den relative komplement af $A$ i forhold til et sæt $B$ , også betegnet den indstillede forskel af $B$ og $A$ , som er skrevet er det sæt af elementer i $B$ , der ikke er i $A$ . ${\ displaystyle B \ setminus A,}$

Absolut supplement

Den hvide skives absolutte komplement er den røde region

Definition

Hvis $A$ er et sæt, så er det absolutte komplement til $A$ (eller simpelthen komplementet til $A$ ) det sæt af elementer, der ikke er i $A$ (inden for et større sæt, der er implicit defineret). Med andre ord, lad $U$ være et sæt, der indeholder alle de undersøgte elementer; hvis der ikke er behov for at nævne $U$ , enten fordi det tidligere er angivet, eller det er indlysende og unikt, så er det absolutte komplement af $A$ det relative komplement af $A$ i $U$ :

{\ displaystyle A^{c} = UA.}

Eller formelt:

{\ displaystyle A^{c} = \ {x \ i U: x \ notin A \}.}

Det absolutte komplement til $A$ er normalt betegnet med $A c .$ Andre notationer omfatter ${\ displaystyle {\ overline {A}}, A ',}$ ${\ displaystyle \ complement _ {U} A, {\ text {og}} \ complement A.}$

Eksempler

Antag at universet er et sæt heltal . Hvis $A$ er mængden af ulige tal, så er komplementet med $A$ mængden af lige tal. Hvis $B$ er mængden af multipler på 3, så er komplementet af $B$ mængden af tal, der er kongruente med 1 eller 2 modulo 3 (eller, i enklere termer, heltalene, der ikke er multipla af 3).
Antag at universet er standard 52-kort dæk . Hvis den indstillede $A$ er den dragt af spar, så supplement af $A$ er den forening af de dragter af klubber, diamanter og hjerter. Hvis sæt $B$ er foreningen af dragter af klubber og diamanter, så er supplementet af $B$ foreningen af dragter i hjerter og spader.

Ejendomme

Lad $A$ og $B$ være to sæt i et univers $U$ . Følgende identiteter fanger vigtige egenskaber ved absolutte komplementer:

De Morgans love :

${\ displaystyle \ left (A \ cup B \ right)^{c} = A^{c} \ cap B^{c}.}$
${\ displaystyle \ left (A \ cap B \ right)^{c} = A^{c} \ cup B^{c}.}$

Suppleringslove:

${\ displaystyle A \ cup A^{c} = U.}$
${\ displaystyle A \ cap A^{c} = \ varnothing.}$
${\ displaystyle \ varnothing ^{c} = U.}$
${\ displaystyle U^{c} = \ varnothing.}$
${\ displaystyle {\ text {If}} A \ subseteq B {\ text {, derefter}} B^{c} \ subseteq A^{c}.}$
(dette følger af ækvivalensen af en betinget med dens kontrapositiv ).

Involution eller dobbelt komplement lov:

${\ displaystyle \ left (A^{c} \ right)^{c} = A.}$

Forholdet mellem relative og absolutte komplementer:

${\ displaystyle A \ setminus B = A \ cap B^{c}.}$
${\ displaystyle (A \ setminus B)^{c} = A^{c} \ cup B = A^{c} \ cup (B \ cap A).}$

Forhold med en bestemt forskel:

${\ displaystyle A^{c} \ setminus B^{c} = B \ setminus A.}$

De første to komplement love ovenfor viser, at hvis $A$ er en ikke-tom, ægte delmængde af $U$ , derefter ${A, A c}$ er en partition af $U$ .