Sammenlignelighed - Comparability

Hassediagram over de naturlige tal , delvist sorteret efter " x ≤ y, hvis x deler y ". Tallene 4 og 6 er uforlignelige, da ingen af ​​dem deler den anden.

I matematik siges to elementer x og y for et sæt P at være sammenlignelige med hensyn til et binært forhold ≤, hvis mindst et af x ≤ y eller y ≤ x er sandt. De kaldes uforlignelige, hvis de ikke er sammenlignelige.

Streng definition

En binær relation på et sæt per definition enhver delmængde af I betragtning skrives hvis og kun hvis tilfælde, hvor siges at være relateret til ved Et element siges at være -comparable eller sammenlignelig ( i forhold til ), til et element , hvis eller ofte bruges et symbol, der angiver sammenligning, såsom (eller og mange andre) i stedet for i hvilket tilfælde skrives i stedet for , hvorfor udtrykket "sammenlignelig" bruges. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle P \ times P.}$${\ displaystyle x, y \ i P,}$ ${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle (x, y) \ i R,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle R.}$${\ displaystyle x \ i P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle y \ i P}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle yRx.}$${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle \, \ leq \ ,,}$ ${\ displaystyle \,>, \,}$ ${\ displaystyle \ geq,}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle xRy,}$

Sammenlignelighed med hensyn til inducerer en kanonisk binær relation på ; specifikt er sammenlignelighedsforholdet induceret af defineret til at være sættet af alle par sådan, at det kan sammenlignes med ; det vil sige sådan, at mindst en af og er sandt. Tilsvarende er uforlignelighedsforholdet på induceret af defineret til at være sættet for alle par, således at det er uforligneligt med det, sådan at hverken eller er sandt. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle (x, y) \ i P \ gange P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle yRx}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle (x, y) \ i P \ gange P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y;}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle yRx}$

Hvis symbolet bruges i stedet for, er sammenlignelighed med hensyn til undertiden betegnet med symbolet og uforlignelighed med symbolet . Således er det for et hvilket som helst to element og af et delvist ordnet sæt nøjagtigt et af og sandt. ${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}}}$${\ displaystyle {\ cancel {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}}} \!}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}} \ y}$${\ displaystyle x {\ cancel {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}}} y}$

Eksempel

Et totalt ordnet sæt er et delvist ordnet sæt , hvor to af de to elementer er sammenlignelige. Den Szpilrajn udvidelse sætning hedder det, at enhver delvis ordre er indeholdt i en samlet ordre. Sætningen siger intuitivt, at enhver metode til at sammenligne elementer, der efterlader nogle par uforlignelige, kan udvides på en sådan måde, at hvert par bliver sammenlignelige.

Ejendomme

Begge forholdets sammenlignelighed og uforlignelighed er symmetriske , det vil sige kan sammenlignes med, hvis og kun hvis er sammenligneligt med og ligeledes for uforlignelighed. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x,}$

Sammenlignelighed grafer

Sammenlignelighedsgrafen for et delvist ordnet sæt har som hjørner elementerne i og har som kanter netop de par af elementer, for hvilke . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ {x, y \}}$${\ displaystyle x \ {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}} \ y}$

Klassifikation

Ved klassificering af matematiske objekter (fx topologiske rum ) siges to kriterier at være sammenlignelige, når objekterne, der adlyder det ene kriterium, udgør en delmængde af objekterne, der adlyder det andet, det vil sige, når de er sammenlignelige under den delvise rækkefølge ⊂. For eksempel T ₁ og T ₂ kriterier er sammenlignelige, mens T ₁ og ædruelighed kriterier ikke.

Se også

• Streng svag ordning , en delvis ordning, hvor uforlignelighed er en forbigående relation

Referencer

"PlanetMath: delvis ordre" . Hentet 6. april 2010 .