Vinkel enhed - Angular unit
Gennem historien er vinkler blevet målt i mange forskellige enheder . Disse er kendt som vinkelenheder , hvor de mest moderne enheder er graden (°), radian (rad) og gradian (grad), selvom mange andre er blevet brugt gennem historien . Formålet med denne side er at samle andre begreber, der vedrører vinkelenheden , hvor yderligere forklaring kan gives.
Vinkelmåling generelt
Størrelsen af en geometrisk vinkel er normalt kendetegnet ved størrelsen af den mindste rotation, der kortlægger en af strålerne i den anden. Vinkler, der har samme størrelse siges at være ens , kongruente eller lige store .
I nogle sammenhænge, såsom at identificere et punkt på en cirkel eller beskrive orienteringen af et objekt i to dimensioner i forhold til en referenceorientering, er vinkler, der adskiller sig med et nøjagtigt multiplum af en fuld drejning , faktisk ækvivalente. I andre sammenhænge, såsom at identificere et punkt på en spiralkurve eller at beskrive den kumulative rotation af et objekt i to dimensioner i forhold til en referenceorientering, er vinkler, der adskiller sig ved et ikke-nul-multiplum af en fuld drejning ikke ækvivalente.
For at måle en vinkel θ tegnes en cirkelbue centreret ved vinkelens toppunkt (f.eks. Med et par kompasser ). Forholdet mellem længde s af buen ved hjælp af radius r af cirklen er et mål for vinklen i radianer .
Målingen af vinklen i en anden vinkelenhed opnås derefter ved at multiplicere dens mål i radianer med skaleringsfaktoren k/2 π, hvor k er målestokken for en fuldstændig drejning i den valgte enhed (for eksempel 360 for grader eller 400 for gradienter ):
Værdien af θ således definerede er uafhængig af cirklens størrelse: hvis længden af radius ændres, så buelængden ændrer i samme forhold, så forholdet s / r er uændret. (Bevis. Formlen ovenfor kan omskrives som k =.r/s. Én drejning, for hvilken θ = n enheder, svarer til en lysbue, der er lig med cirkelens omkreds , hvilket er 2 πr , så s = 2 πr . At erstatte n med θ og 2 πr for s i formlen resulterer i k =nr/2 πr = n/2 π.)
Især måling af vinkel er radian kan også fortolkes som buelængden af dens tilsvarende enhedscirkel:
Vinkeladditionspostulat
Vinkeladditionspostulatet angiver, at hvis B er i det indre af vinkel AOC, så
Målingen af vinklen AOC er summen af målingen for vinklen AOB og målingen for vinklen BOC. I dette postulat betyder det ikke noget, i hvilken enhed vinklen måles - så længe hver vinkel måles i den samme enhed.
Enheder
En radian er den vinkel, der er undertrykt af en cirkelbue, der har samme længde som cirkelens radius. Radian er den afledte mængde vinkelmåling i SI- systemet. Per definition er det dimensionsløst , selvom det kan specificeres som rad for at undgå tvetydighed. Vinkler målt i grader vises med symbolet °. Underinddelinger af graden er minut (symbol ′, 1 ′ = 1/60 °) og andet {symbol ″, 1 ″ = 1/3600 °}. En vinkel på 360 ° svarer til den vinkel, der er undertrykt af en fuld cirkel, og er lig med 2 π radianer eller 400 gradianer.
Andre enheder, der bruges til at repræsentere vinkler, er angivet i den følgende tabel. Disse enheder er defineret således, at antallet af drejninger svarer til en fuld cirkel.
| navn | nummer på en gang | rotationsvinkel | beskrivelse |
|---|---|---|---|
| Tur | 1 | 360 ° | Den turn , også cyklus , fuld cirkel , revolution , og rotation , er fuldstændig cirkulær bevægelse eller foranstaltning (som til tilbagevenden til det samme punkt) med cirkel eller ellipse. En drejning forkortes τ , cyc , rev eller rot afhængigt af applikationen .. Symbolet τ kan også bruges som en matematisk konstant til at repræsentere 2 π radianer. |
| Multipler af π | 2 | 180 ° | De multipla af π (MUL π ) enhed er implementeret i de RPN videnskabelig lommeregner WP 43S . Se også: IEEE 754 anbefalede operationer |
| Kvadrant | 4 | 90 ° | En kvadrant er også kendt som en ret vinkel . Kvadranten er den enhed, der bruges i Euclids elementer . På tysk er symbolet ∟ blevet brugt til at betegne en kvadrant. |
| Sekstant | 6 | 60 ° | Den sekstant var den anvendte enhed af babylonierne , Graden, bueminut og buesekund er seksagesimale underenheder af den babylonske enhed. Det er især let at konstruere med lineal og kompas. |
| Radian | 2 π | 57 ° 17 ′ | Den radian bestemmes af omkredsen af en cirkel, der er ens i længde som radius af cirklen. |
| Hexacontade | 60 | 6 ° | Den hexacontade er en enhed, der anvendes af Eratosthenes . |
| Binær grad | 256 | 1 ° 33'45 " | Den binære grad , også kendt som den binære radian (eller brad ). Den binære grad bruges i computing, så en vinkel effektivt kan repræsenteres i en enkelt byte (omend til begrænset præcision). Andre målinger af vinkler, der anvendes ved beregning, kan være baseret på at dele en hel drejning i 2 n lige store dele for andre værdier på n .
|
| Grad | 360 | 1 ° | En fordel ved denne gamle sexagesimale underenhed er, at mange vinkler, der er almindelige i enkel geometri, måles som et helt antal grader. Brøker af en grad kan skrives i normal decimalnotation (f.eks. 3,5 ° i tre og en halv grad), men "minut" og "anden" sexagesimal underenheder i "grad-minut-sekund" -systemet er også i brug, især for geografiske koordinater og inden for astronomi og ballistik |
| Grad | 400 | 0 ° 54 ′ | Den grad , også kaldet klasse , nygrader eller gon . en ret vinkel er 100 grader. Det er en decimal underenhed af kvadranten. En kilometer blev historisk defineret som en centi -grad af bue langs en meridian af jorden, så de kilometer er decimaltegnet analogen til seksagesimal sømil . Karakteren bruges mest i triangulering . |
| Bue-minut | 21.600 | 0 ° 1 ′ | Det minut af bue (eller MOA , bueminut , eller bare minut ) er1/60af en grad. En sømil blev historisk defineret som et minuts bue langs en stor jordcirkel . |
| Anden af buen | 1.296.000 | 0 ° 0′1 ″ | Den anden bue (eller buesekund , eller bare anden ) er1/60 af et minut bue og 1/3600 af en grad. |
Ækvivalente tidsbeskrivelser
I astronomi , rektascension og deklination er normalt måles i kantede enheder, udtrykt i tid, baseret på en 24-timers dag.
| Enhed | Symbol | Grad | Radianer | Cirkel | Andet |
|---|---|---|---|---|---|
| Time | h | 15 ° | π ⁄ 12 | 1 ⁄ 24 | |
| Minut | m | 0 ° 15 ' | π ⁄ 720 | 1 ⁄ 1.440 | 1 / 60 time |
| Sekund | s | 0 ° 0'15 " | π ⁄ 43200 | 1 ⁄ 86.400 | 1 ⁄ 60 minut |
Andre beskrivelser
- Tau , antallet af radianer i en omgang (1 omdrejning = τ rad), τ = 2 π .
- Chi, en gammel kinesisk vinkelmåling.
- Diameterdel ( n = 376,99 ...): Diameterdelen (lejlighedsvis brugt i islamisk matematik) er1/60radian. En "diameterdel" er ca. 0,95493 °. Der er cirka 376,991 dele i diameter pr. Omdrejning.
- Milliradian og afledte definitioner: Den sande milliradian defineres som en tusindedel af en radian, hvilket betyder, at en rotation på en omgang ville svare til nøjagtigt 2000π mil (eller ca. 6283,185 mil), og næsten alle anvendelsesområder for skydevåben er kalibreret til denne definition. Derudover er der tre andre afledte definitioner, der anvendes til artilleri og navigation, som omtrent svarer til en milliradian. Under disse tre andre definitioner udgør en drejning nøjagtigt 6000, 6300 eller 6400 mils, hvilket svarer til at spænde over området fra 0,05625 til 0,06 grader (3,375 til 3,6 minutter). Til sammenligning er den sande milliradian ca. 0,05729578 grader (3,43775 minutter). En " NATO- mil" defineres som1/6400af en cirkel. Ligesom med den sande milliradian udnytter hver af de andre definitioner mils nyttige egenskab ved subtensioner, dvs. at værdien af en milliradian omtrent svarer til den vinkel, der er neddykket med en bredde på 1 meter set fra 1 km væk (2 π/6400 = 0.0009817… ≈ 1/1000).
- Akhnam og zam. I det gamle Arabien blev en tur opdelt i 32 Akhnam, og hver akhnam blev opdelt i 7 zam, så en tur er 224 zam.
Positive og negative vinkler
Selvom definitionen af målingen af en vinkel ikke understøtter begrebet negativ vinkel, er det ofte nyttigt at indføre en konvention, der tillader positive og negative vinkelværdier at repræsentere orienteringer og rotationer i modsatte retninger i forhold til en eller anden reference.
I et todimensionalt kartesisk koordinatsystem defineres en vinkel typisk af dets to sider med dets toppunkt ved oprindelsen. Den indledende side er på den positive x-akse , mens den anden side (dvs. terminalen ) er defineret af målingen fra den indledende side i radianer, grader eller drejninger. Typisk repræsenterer positive vinkler rotationer mod den positive y-akse , og negative vinkler repræsenterer rotationer mod den negative y-akse. Når kartesiske koordinater er repræsenteret af standardposition , defineret af x-aksen til højre og y-aksen opad, er positive rotationer mod uret , og negative rotationer er med uret .
I mange sammenhænge, en vinkel på - θ er reelt svarer til en vinkel på "en fuld omdrejning minus θ ". For eksempel svarer en retning repræsenteret som -45 ° effektivt til en orientering repræsenteret som 360 ° - 45 ° eller 315 °. En rotation på -45 ° ville dog ikke være den samme som en rotation på 315 °.
I tredimensionel geometri har "med uret" og "mod uret" ingen absolut betydning, så retningen af positive og negative vinkler skal defineres i forhold til en eller anden reference, som typisk er en vektor, der passerer gennem vinkelens toppunkt, og som er vinkelret på det plan, i hvilket vinklens stråler ligger.
I navigation , lejer måles i forhold til nord. Efter konvention set ovenfra er lejevinklen positiv med uret, så en pejling på 45 ° svarer til en nordøstlig retning. Negative lejer bruges ikke til navigation, så en nordvestlig retning svarer til en pejling på 315 °.
Alternative måder at måle størrelsen på en vinkel på
Der er flere alternativer til at måle størrelsen på en vinkel med den tilsvarende rotationsvinkel. Den kvalitet af en skråning , eller gradient , er lig med tangens af vinklen, eller undertiden (sjældent) den sinus . Gradienter udtrykkes ofte som en procentdel. For meget små værdier (mindre end 5%) er karakteren af en hældning omtrent det mål for en vinkel i radianer.
I rationel geometri er spredningen mellem to linjer defineret ved sinus-firkanten af vinklen mellem linjerne. Da sinus af en vinkel og sinus for dens supplerende vinkel er ens, fører enhver rotationsvinkel, der kortlægger en af linjerne ind i den anden, til den samme værdi af spredningen mellem linjerne.
Astronomiske tilnærmelser
Astronomer måler vinkelseparation af objekter i grader fra deres observationspunkt.
- 0,5 ° er omtrent bredden af solen eller månen.
- 1 ° er omtrent bredden af en lillefinger i armlængde.
- 10 ° er omtrent bredden af en lukket knytnæve i armlængde.
- 20 ° er omtrent bredden af et håndspan i armlængde.
Disse målinger afhænger tydeligt af det enkelte motiv, og ovenstående bør kun behandles som grove tommelfingerregler .
Målinger, der ikke er vinklede enheder
Ikke alle vinkelmålinger er vinkelenheder. For en vinkelmåling er det afgørende, at vinkeladditionspostulatet holder.
Nogle vinkelmålinger, hvor vinkeladditionspostulatet ikke holder, inkluderer:
