Affine transformation - Affine transformation

Et billede af en bregnerlignende fraktal ( Barnsleys bregne ), der udviser affin selvlignende lighed . Hvert af bladene på bregnen er relateret til hinanden ved en affin transformation. For eksempel kan det røde blad omdannes til både det mørkeblå blad og ethvert af de lyseblå blade ved en kombination af refleksion, rotation, skalering og translation.

I euklidisk geometri er en affinetransformation eller en affinitet (fra latin affinis , "forbundet med") en geometrisk transformation, der bevarer linjer og parallelisme (men ikke nødvendigvis afstande og vinkler ).

Mere generelt er en affinetransformation en automorfisme af et affint rum (euklidiske rum er specifikke affine rum), det vil sige en funktion, der kortlægger et affinalt rum på sig selv og samtidig bevarer dimensionen af ethvert affinalt underrum (hvilket betyder, at det sender point til punkter, linier til linjer, plan til plan osv.) og forholdet mellem længderne af parallelle linjesegmenter. Følgelig forbliver sæt af parallelle affine underrum parallelle efter en affin transformation. En affinetransformation bevarer ikke nødvendigvis vinkler mellem linjer eller afstande mellem punkter, selvom den bevarer forholdet mellem afstandene mellem punkter, der ligger på en lige linje.

Hvis X er det punkt sæt af en affin rum, derefter hver affin transformation på X kan repræsenteres som den sammensætning af en lineær transformation på X og en oversættelse af X . I modsætning til en rent lineær transformation behøver en affin transformation ikke at bevare oprindelsen til det affine rum. Således er enhver lineær transformation affin, men ikke enhver affin transformation er lineær.

Eksempler på affinetransformationer inkluderer translation, skalering , homothety , lighed , refleksion , rotation , forskydningskortlægning og sammensætninger af dem i en hvilken som helst kombination og sekvens.

Når man ser et affinalt rum som komplementet til et hyperplan ved uendeligt af et projektivt rum , er affine-transformationerne de projicerende transformationer af det projicerende rum, der efterlader hyperplanet ved uendelig invariant , begrænset til komplementet af det hyperplan.

En generalisering af en affin transformation er et affint kort (eller affin homomorfisme eller affin kortlægning ) mellem to (potentielt forskellige) affine rum over det samme felt k . Lad ( X , V , k ) og ( Z , W , k ) være to affine mellemrum med X og Z punktsætene og V og W de respektive tilknyttede vektorrum over feltet k . Et kort f : X → Z er en affin kort hvis der findes en lineær afbildning m _f  : V → W , således at m _f ( x - y ) = f ( x ) - f ( y ) for alle x, y i X .

Definition

Lad ( X , V , k ) være et affinalt rum med dimension mindst to, med X det punkt, der er sat, og V det tilknyttede vektorrum over feltet k . En semiaffintransformation f af X er en sammenhæng mellem X og sig selv og tilfredsstiller:

1. Hvis S er en d -dimensionale affin underrum af X , f ( S ) er også en d -dimensionale affin underrum af X .
2. Hvis S og T er parallelle affine underrum af X , så er f ( S ) || f ( T ) .

Disse to betingelser udtrykker, hvad der præcist menes med udtrykket " f bevarer parallelisme".

Disse betingelser er ikke uafhængige, da det andet følger fra det første. Desuden, hvis feltet k har mindst tre elementer, kan den første betingelse forenkles til: f er en sammenhæng , det vil sige, det kortlægger linjer til linjer.

Hvis dimensionen af affine rum ( X , V , k ) er mindst to, så en affin transformation er en semiaffine transformation f , der tilfredsstiller betingelsen: hvis x ≠ y og p ≠ q er punkter af X , således at liniesegmenterne xy og pq er derefter parallelle

${\ displaystyle {\ frac {\ | {\ overline {pq}} \ |} {\ | {\ overline {xy}} \ |}} = {\ frac {\ | {\ overline {f (p) f ( q)}} \ |} {\ | {\ overline {f (x) f (y)}} \ |}}.}$

Afgræns linjer

Hvis dimensionen af ​​det affine rum er en, det vil sige, at rummet er en affin linie, vil enhver permutation af X automatisk tilfredsstille betingelserne for at være en semiaffintransformation. Så, en affinetransformation af en affinelinie er defineret som en hvilken som helst permutation f af punkterne i X, så hvis x ≠ y og p ≠ q er punkter på X , så

${\ displaystyle {\ frac {\ | {\ overline {pq}} \ |} {\ | {\ overline {xy}} \ |}} = {\ frac {\ | {\ overline {f (p) f ( q)}} \ |} {\ | {\ overline {f (x) f (y)}} \ |}}.}$

Struktur

Af definitionen af en affin rum, V virker på X , således at for hvert par ( x , v ) i X × V der er tilknyttet et punkt y i X . Vi kan betegne denne handling ved v → ( x ) = y . Her bruger vi den konvention, at v → = v er to udskiftelige notation for et element af V . Ved at fastgøre et punkt c i X kan man definere en funktion m _c  : X → V med m _c ( x ) = cx → . For enhver c er denne funktion en-til-en, og har således en invers funktion m _c ⁻¹  : V → X givet ved m _c ⁻¹ ( v ) = v → ( c ) . Disse funktioner kan bruges til at gøre X til et vektorrum (med hensyn til punkt c ) ved at definere:

• ${\ displaystyle x + y = m_ {c} ^ {- 1} \ left (m_ {c} (x) + m_ {c} (y) \ right), {\ text {for all}} x, y { \ tekst {in}} X,}$ og
• ${\ displaystyle rx = m_ {c} ^ {- 1} \ left (rm_ {c} (x) \ right), {\ text {for all}} r {\ text {in}} k {\ text {and }} x {\ tekst {i}} X.}$

Dette vektorrum har oprindelse c og skal formelt skelnes fra det affine rum X , men almindelig praksis er at betegne det med det samme symbol og nævne, at det er et vektorrum, efter at en oprindelse er blevet specificeret. Denne identifikation gør det muligt at betragte punkter som vektorer og omvendt.

For enhver lineær transformation λ af V kan vi definere funktionen L ( c , λ ): X → X med

${\ displaystyle L (c, \ lambda) (x) = m_ {c} ^ {- 1} \ left (\ lambda (m_ {c} (x)) \ right) = c + \ lambda ({\ vec {cx }}).}$

Derefter er L ( c , λ ) en affinetransformation af X, som efterlader punktet c fast. Det er en lineær transformation af X , set som et vektorrum med oprindelse c .

Lad σ være affin transformation af X . Vælge et punkt c i X og overveje oversættelsen af X med vektoren , betegnet med T _w . Oversættelser er affinetransformationer, og sammensætningen af ​​affinetransformationer er en affinetransformation. For dette valg af c eksisterer der en unik lineær transformation λ af V, således at ${\ displaystyle {\ mathbf {w}} = {\ overrightarrow {c \ sigma (c)}}}$

${\ displaystyle \ sigma (x) = T _ {\ mathbf {w}} \ left (L (c, \ lambda) (x) \ right).}$

Det vil sige, en vilkårlig affin transformation af X er sammensætningen af en lineær transformation af X (set som et vektorrum) og en oversættelse af X .

Denne repræsentation af affine transformationer tages ofte som definitionen af ​​en affin transformation (med valg af oprindelse implicit).

Repræsentation

Som vist ovenfor er et affinekort sammensætningen af ​​to funktioner: en oversættelse og et lineært kort. Almindelig vektoralgebra bruger matrixmultiplikation til at repræsentere lineære kort og vektoraddition for at repræsentere oversættelser. I det endelige dimensionelle tilfælde, hvis det lineære kort er repræsenteret som en multiplikation med en inverterbar matrix, og oversættelsen som tilføjelsen af ​​en vektor , kan et affinekort, der virker på en vektor, repræsenteres som ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbf {b}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} = f (\ mathbf {x}) = A \ mathbf {x} + \ mathbf {b}.}$

Udvidet matrix

Afspil medier

Affinetransformationer på 2D-planet kan udføres ved lineære transformationer i tre dimensioner. Oversættelse udføres ved at klippe langs over z-aksen, og rotation udføres omkring z-aksen.

Ved hjælp af en forstærket matrix og en forstærket vektor er det muligt at repræsentere både oversættelsen og det lineære kort ved hjælp af en enkelt matrixmultiplikation . Teknikken kræver, at alle vektorer forstærkes med en "1" i slutningen, og at alle matricer forstærkes med en ekstra række nuller i bunden, en ekstra kolonne - oversættelsesvektoren - til højre og en "1" i nederste højre hjørne. Hvis er en matrix, ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {y} \\ 1 \ end {bmatrix}} = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} & A && \ mathbf {b} \\ 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {array}} \ right] {\ begin {bmatrix} \ mathbf {x} \\ 1 \ end {bmatrix}}}$

svarer til følgende

${\ displaystyle \ mathbf {y} = A \ mathbf {x} + \ mathbf {b}.}$

Den ovennævnte forstærkede matrix kaldes en affinetransformationsmatrix . I det generelle tilfælde, når den sidste rækkevektor ikke er begrænset til at være , bliver matrixen en projektiv transformationsmatrix (da den også kan bruges til at udføre projektive transformationer ). ${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {array}} \ right]}$

Denne repræsentation udstiller sættet med alle inverterbare affine transformationer som det semidirekte produkt af og . Dette er en gruppe, der fungerer under sammensætning af funktioner, kaldet affinegruppen . ${\ displaystyle K ^ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, K)}$

Almindelig matrix-vektor-multiplikation kortlægger altid oprindelsen til oprindelsen og kan derfor aldrig repræsentere en oversættelse, hvor oprindelsen nødvendigvis skal kortlægges til et andet punkt. Ved at tilføje den ekstra koordinat "1" til hver vektor betragter man i det væsentlige rummet, der skal kortlægges, som en delmængde af et rum med en yderligere dimension. I dette rum optager det oprindelige rum den delmængde, hvor den ekstra koordinat er 1. Således kan oprindelsen til det oprindelige rum findes på . En oversættelse inden for det oprindelige rum ved hjælp af en lineær transformation af det højere dimensionelle rum er derefter mulig (specifikt en forskydningstransformation). Koordinaterne i det højere dimensionelle rum er et eksempel på homogene koordinater . Hvis det oprindelige rum er euklidisk , er det højere dimensionelle rum et ægte projektivt rum . ${\ displaystyle (0,0, \ dotsc, 0,1)}$

Fordelen ved at bruge homogene koordinater er, at man kan kombinere et vilkårligt antal affine transformationer til en ved at multiplicere de respektive matricer. Denne egenskab bruges i vid udstrækning til computergrafik , computersyn og robotteknologi .

Eksempel på forstærket matrix

Hvis vektorerne er et grundlag for domænes projektive vektorrum, og hvis de tilsvarende vektorer er i codomain-vektorområdet , er den forstærkede matrix, der opnår denne affine transformation ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ dotsc, \ mathbf {x} _ {n + 1}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {1}, \ dotsc, \ mathbf {y} _ {n + 1}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {y} \\ 1 \ end {bmatrix}} = M {\ begin {bmatrix} \ mathbf {x} \\ 1 \ end {bmatrix}}}$

er

${\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {y} _ {1} & \ cdots & \ mathbf {y} _ {n + 1} \\ 1 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {x} _ {1} & \ cdots & \ mathbf {x} _ {n + 1} \\ 1 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}} ^ {- 1}.}$

Denne formulering fungerer uanset om nogen af ​​domæne-, codomain- og billedvektorrummene har det samme antal dimensioner.

For eksempel bestemmes affinetransformationen af ​​et vektorplan entydigt ud fra kendskabet til, hvor de tre hjørner ( ) af en ikke-degenereret trekant er kortlagt til ( ), uanset antal dimensioner for kodomænet og uanset om trekanten er ikke-degenereret i codomain. ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2}, \ mathbf {x} _ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {1}, \ mathbf {y} _ {2}, \ mathbf {y} _ {3}}$

Ejendomme

Ejendomme bevaret

En affin transformation bevarer:

1. kollinearitet mellem punkter: tre eller flere punkter, der ligger på den samme linje (kaldet kollinære punkter), fortsætter med at være kollinære efter transformationen.
2. parallelisme : to eller flere linjer, der er parallelle, fortsætter med at være parallelle efter transformationen.
3. konveksitet af sæt: et konveks sæt fortsætter med at være konveks efter transformationen. Desuden kortlægges de ekstreme punkter i det originale sæt til de ekstreme punkter i det transformerede sæt.
4. forholdet mellem længder af parallelle linjesegmenter: for forskellige parallelle segmenter defineret af punkter og , og forholdet mellem og er det samme som og .${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle p_ {3}}$${\ displaystyle p_ {4}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {p_ {1} p_ {2}}}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {p_ {3} p_ {4}}}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {f (p_ {1}) f (p_ {2})}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {f (p_ {3}) f (p_ {4})}}$
5. barycentre af vægtede samlinger af point.

Grupper

En affin transformation er inverterbar , derfor er den inverterbar. I matrixrepræsentationen er det inverse: ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccc | c} & A ^ {- 1} && - A ^ {- 1} {\ vec {b}} \ \\ 0 & \ ldots & 0 & 1 \ end {array} }\ret]}$

De invertible affinetransformationer (af et affinrum på sig selv) danner den affine gruppe , som har den generelle lineære gradgruppe som undergruppe og i sig selv er en undergruppe af den generelle lineære gradgruppe . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n + 1}$

De lighedstransformationer danner undergruppen hvor er en skalar gange en ortogonal matrix . For eksempel, hvis affinetransformationen virker på planet, og hvis determinanten for er 1 eller -1, så er transformationen en ligestillet kortlægning . Sådanne transformationer danner en undergruppe kaldet equi-affinegruppen . En transformation, der både er ligevægtig og en lighed, er en isometri af planet taget med euklidisk afstand . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Hver af disse grupper har en undergruppe af orientering -bevarelse eller positive affine transformationer: dem, hvor determinanten af er positiv. I det sidste tilfælde er dette i 3D gruppen af stive transformationer ( korrekte rotationer og rene oversættelser). ${\ displaystyle A}$

Hvis der er et fast punkt, kan vi tage det som oprindelse, og affinetransformationen reduceres til en lineær transformation. Dette kan gøre det lettere at klassificere og forstå transformationen. For eksempel kan en beskrivelse af en transformation som en rotation med en bestemt vinkel i forhold til en bestemt akse give en klarere idé om transformationens samlede opførsel end at beskrive den som en kombination af en oversættelse og en rotation. Dette afhænger dog af anvendelse og kontekst.

Affine kort

Et affint kort mellem to affine rum er et kort på de punkter, der virker lineært på vektorerne (det vil sige vektorerne mellem punkterne i rummet). I symboler bestemmer en lineær transformation således, at for ethvert par punkter : ${\ displaystyle f \ colon {\ mathcal {A}} \ til {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle P, Q \ i {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {f (P) ~ f (Q)}} = \ varphi ({\ overrightarrow {PQ}})}$

eller

${\ displaystyle f (Q) -f (P) = \ varphi (QP)}$.

Vi kan fortolke denne definition på et par andre måder som følger.

Hvis en oprindelse vælges og betegner dens billede , betyder det for enhver vektor : ${\ displaystyle O \ i {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f (O) \ i {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

${\ displaystyle f \ colon (O + {\ vec {x}}) \ mapsto (B + \ varphi ({\ vec {x}}))}$.

Hvis der også vælges en oprindelse , kan dette nedbrydes som en affin transformation, der sender , nemlig ${\ displaystyle O '\ i {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle g \ colon {\ mathcal {A}} \ til {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle O \ mapsto O '}$

${\ displaystyle g \ colon (O + {\ vec {x}}) \ mapsto (O '+ \ varphi ({\ vec {x}}))}$,

efterfulgt af oversættelsen med en vektor . ${\ displaystyle {\ vec {b}} = {\ overrightarrow {O'B}}}$

Konklusionen er, at den intuitivt består af en oversættelse og et lineært kort. ${\ displaystyle f}$

Alternativ definition

Givet to affine mellemrum og over det samme felt er en funktion et affine kort, hvis og kun hvis for hver familie af vægtede punkter på en sådan måde, at ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle f \ colon {\ mathcal {A}} \ til {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle \ {(a_ {i}, \ lambda _ {i}) \} _ {i \ i I}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} = 1}$,

vi har

${\ displaystyle f \ left (\ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} a_ {i} \ right) = \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} f (a_ {i })}$.

Med andre ord bevarer barycenters . ${\ displaystyle f}$

Historie

Ordet "affine" som et matematisk udtryk er defineret i forbindelse med tangenter til kurver i Eulers 1748 Introductio in analysin infinitorum . Felix Klein tilskriver udtrykket "affin transformation" til Möbius og Gauss .

Billedtransformation

I deres applikationer til digital billedbehandling er affinetransformationerne analoge med at udskrive på et ark gummi og strække arkets kanter parallelt med planet. Denne transformation flytter pixels, der kræver intensitetsinterpolering for at tilnærme værdien af ​​flyttede pixels, bicubisk interpolation er standarden for billedtransformationer i billedbehandlingsapplikationer. Affine transformationer skalerer, roterer, oversætter, spejler og forskydes billeder som vist i følgende eksempler:

Transformationsnavn	Affine matrix	Eksempel
Identitet (transformer til originalt billede)	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$
Oversættelse	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & v_ {x}> 0 \\ 0 & 1 & v_ {y} = 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$
Afspejling	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$
vægt	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c_ {x} = 2 & 0 & 0 \\ 0 & c_ {y} = 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$
Rotere	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) & - \ sin (\ theta) & 0 \\\ sin (\ theta) & \ cos (\ theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$	hvor θ = π/6 = 30 °
Klippe	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & c_ {x} = 0.5 & 0 \\ c_ {y} = 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

De affine transformationer gælder for registreringsprocessen, hvor to eller flere billeder er justeret (registreret). Et eksempel på billedregistrering er genereringen af ​​panoramabilleder, der er resultatet af flere billeder syet sammen.

Affine vridning

Affinetransformationen bevarer parallelle linjer. Imidlertid er stræk- og klipningstransformationerne kædeformer, som det følgende eksempel viser:

Dette er et eksempel på billedforvrængning. Imidlertid letter affinetransformationerne ikke projektion på en buet overflade eller radiale forvrængninger .

I flyet

En central udvidelse. Trekanterne A1B1Z, A1C1Z og B1C1Z bliver kortlagt til henholdsvis A2B2Z, A2C2Z og B2C2Z.

Affine transformationer i to reelle dimensioner inkluderer:

• rene oversættelser,
• skalering i en given retning i forhold til en linje i en anden retning (ikke nødvendigvis vinkelret) kombineret med translation, der ikke er rent i skaleringsretningen; tager "skalering" i en generaliseret forstand inkluderer det tilfældene, at skaleringsfaktoren er nul ( projektion ) eller negativ; sidstnævnte inkluderer refleksion , og kombineret med oversættelse inkluderer det glidereflektion ,
• rotation kombineret med en homøthet og en oversættelse,
• forskydningskortlægning kombineret med homotæthed og oversættelse, eller
• squeeze mapping kombineret med en homøthetisk og en oversættelse.

For at visualisere den generelle affine transformation af det euklidiske plan , tag mærkede parallelogrammer ABCD og A′B′C′D ′ . Uanset valg af punkter er der en affinetransformation T af planet, der tager A til A ' , og hvert toppunkt på samme måde. Lad os antage vi udelukker det degenererede tilfælde, hvor ABCD har nul område , der er en unik sådan affin transformation T . Tegning af et helt gitter af parallelogrammer baseret på ABCD , billedet T ( P ) for ethvert punkt P bestemmes ved at bemærke, at T ( A ) = A ′ , T anvendt på linjesegmentet AB er A′B ′ , T anvendes til linjestykket AC er A'C ' , og T respekterer skalære multipla af vektorer baseret på A . [Hvis A , E , F er collinear, så er forholdslængden ( AF ) / længden ( AE ) lig med længden ( A ′ F ′) / længden ( A ′ E ′).] Geometrisk T transformerer gitteret baseret på ABCD til der er baseret på A′B′C′D ′ .

Affinetransformationer respekterer ikke længder eller vinkler; de multiplicerer arealet med en konstant faktor

område af A′B′C′D ′ / område af ABCD .

Et givet T kan enten være direkte (respektorientering) eller indirekte (omvendt orientering), og dette kan bestemmes af dets virkning på signerede områder (som defineret for eksempel af krydsproduktet af vektorer).

Eksempler

Over de reelle tal

Funktionerne med og i er netop de affine transformationer af den virkelige linje . ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \; f (x) = mx + c}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Over et begrænset felt

Den følgende ligning udtrykker en affinetransformation af GF (2 ⁸ ) betragtet som et 8-dimensionelt vektorrum over GF (2), der bruges i kryptoalgoritmen Rijndael (AES) :

${\ displaystyle \ {a '\} = M \ {a \} \ oplus \ {v \},}$

hvor er matrixen nedenfor, er en fast vektor og specifikt, ${\ displaystyle [M]}$${\ displaystyle \ {v \}}$${\ displaystyle \ {a \} = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, a_ {5}, a_ {6}, a_ {7}) .}$ ${\ Displaystyle M \ {a \} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {0} \\ a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\ a_ {4} \\ a_ {5} \\ a_ {6} \ \ a_ {7} \ end {bmatrix}}}$ og ${\ displaystyle \ {v \} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

For eksempel beregnes affinetransformationen af ​​elementet i big-endian binær notation som følger: ${\ displaystyle \ {a \} = y ^ {7} + y ^ {6} + y ^ {3} + y = \ {11001010_ {2} \}}$

${\ displaystyle a_ {0} '= a_ {0} \ oplus a_ {4} \ oplus a_ {5} \ oplus a_ {6} \ oplus a_ {7} \ oplus 1 = 0 \ oplus 0 \ oplus 0 \ oplus 1 \ oplus 1 \ oplus 1 = 1}$

${\ displaystyle a_ {1} '= a_ {0} \ oplus a_ {1} \ oplus a_ {5} \ oplus a_ {6} \ oplus a_ {7} \ oplus 1 = 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 1 \ oplus 1 \ oplus 1 = 0}$

${\ displaystyle a_ {2} '= a_ {0} \ oplus a_ {1} \ oplus a_ {2} \ oplus a_ {6} \ oplus a_ {7} \ oplus 0 = 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 1 \ oplus 1 \ oplus 0 = 1}$

${\ displaystyle a_ {3} '= a_ {0} \ oplus a_ {1} \ oplus a_ {2} \ oplus a_ {3} \ oplus a_ {7} \ oplus 0 = 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 1 \ oplus 1 \ oplus 0 = 1}$

${\ displaystyle a_ {4} '= a_ {0} \ oplus a_ {1} \ oplus a_ {2} \ oplus a_ {3} \ oplus a_ {4} \ oplus 0 = 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 0 = 0}$

${\ displaystyle a_ {5} '= a_ {1} \ oplus a_ {2} \ oplus a_ {3} \ oplus a_ {4} \ oplus a_ {5} \ oplus 1 = 1 \ oplus 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 0 \ oplus 1 = 1}$

${\ displaystyle a_ {6} '= a_ {2} \ oplus a_ {3} \ oplus a_ {4} \ oplus a_ {5} \ oplus a_ {6} \ oplus 1 = 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 0 \ oplus 1 \ oplus 1 = 1}$

${\ displaystyle a_ {7} '= a_ {3} \ oplus a_ {4} \ oplus a_ {5} \ oplus a_ {6} \ oplus a_ {7} \ oplus 0 = 1 \ oplus 0 \ oplus 0 \ oplus 1 \ oplus 1 \ oplus 0 = 1.}$

Således . ${\ displaystyle \ {a '\} = y ^ {7} + y ^ {6} + y ^ {5} + y ^ {3} + y ^ {2} +1 = \ {11101101_ {2} \} }$

I plan geometri

En simpel affinetransformation på det virkelige plan

Effekt af at anvende forskellige 2D affine transformationsmatricer på en enhedsplads. Bemærk, at reflektionsmatricerne er specielle tilfælde af skaleringsmatrixen.

I , transformationen vist til venstre gennemføres ved hjælp af kortet givet af: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end { bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} -100 \\ - 100 \ end {bmatrix}}}$

Transformering af de tre hjørnepunkter i den oprindelige trekant (i rødt) giver tre nye punkter, der danner den nye trekant (i blåt). Denne transformation skæv og oversætter den oprindelige trekant.

Faktisk er alle trekanter forbundet med hinanden ved affine transformationer. Dette gælder også for alle parallelogrammer, men ikke for alle firkanter.

Se også

• Anamorfose - kunstneriske anvendelser af affine transformationer
• Affine geometri
• 3D-projektion
• Homografi
• Flad (geometri)
• Bøjet funktion

Bemærkninger

Referencer

• Berger, Marcel (1987), Geometry I , Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Brannan, David A .; Esplen, Matthew F .; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Nomizu, Katsumi ; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Klein, Felix (1948) [1939], Elementær matematik fra et avanceret synspunkt: Geometri , Dover
• Samuel, Pierre (1988), Projective Geometry , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Sharpe, RW (1997). Differentiel geometri: Cartans generalisering af Kleins Erlangen-program . New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], Metric Affine Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-66108-7
• Wan, Zhe-xian, geometri af klassiske grupper over endelige felter , Chartwell-Bratt, ISBN 0-86238-326-9

eksterne links

• Medier relateret til Affine transformation på Wikimedia Commons
• "Affine transformation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Geometriske operationer: Affine Transform , R. Fisher, S. Perkins, A. Walker og E. Wolfart.
• Weisstein, Eric W. "Affine Transformation" . MathWorld .
• Affine Transform af Bernard Vuilleumier, Wolfram Demonstrations Project .
• Affine Transformation med MATLAB