Absolut integrerbar funktion - Absolutely integrable function

I matematik er en absolut integrerbar funktion en funktion, hvis absolutte værdi er integrerbar , hvilket betyder, at integralen af ​​den absolutte værdi over hele domænet er endelig.

For en reel -værdsat funktion, siden

hvor

begge og skal være begrænset. I Lebesgue -integration er dette nøjagtigt kravet for, at enhver målbar funktion f skal betragtes som integrerbar, idet integralet derefter er lig , så faktisk "absolut integrerbar" betyder det samme som "Lebesgue -integrerbar" for målbare funktioner. ${\ textstyle \ int f^{+} (x) \, dx}$${\ textstyle \ int f^{-} (x) \, dx}$ ${\ textstyle \ int f^{+} (x) \, dx- \ int f^{-} (x) \, dx}$

Det samme gælder for en kompleks -værdsat funktion. Lad os definere

hvor og er de virkelige og imaginære dele af . Derefter ${\ displaystyle \ Re f (x)}$${\ displaystyle \ Im f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

$${\ displaystyle | f (x) | \ leq f^{+} (x)+f^{-} (x)+f^{+i} (x)+f^{-i} (x) \ leq {\ sqrt {2}} \, | f (x) |}$$

så

$${\ displaystyle \ int | f (x) | \, dx \ leq \ int f^{+} (x) \, dx+\ int f^{-} (x) \, dx+\ int f^{+i} (x) \, dx+\ int f^{-i} (x) \, dx \ leq {\ sqrt {2}} \ int | f (x) | \, dx}$$

Dette viser, at summen af ​​de fire integraler (i midten) er endelig, hvis og kun hvis integralen af ​​den absolutte værdi er endelig, og funktionen er Lebesgue -integrerbar, hvis alle de fire integraler er begrænsede. Så at have en endelig integral af den absolutte værdi svarer til betingelserne for, at funktionen kan være "Lebesgue integrable".

eksterne links

• "Absolut integrerbar funktion - Matematikens encyklopædi" . Hentet 9. oktober 2015 .