Slabá formulace - Weak formulation

Slabá formulace jsou důležitými nástroji pro analýzu matematických rovnic , které umožňují přenos pojmů z lineární algebry vyřešit problémy v jiných oblastech, jako jsou parciálních diferenciálních rovnic . Ve slabé formulaci již není nutné, aby rovnice nebo podmínky držely absolutně (a to není ani dobře definováno), a místo toho má slabá řešení pouze s ohledem na určité „testovací vektory“ nebo „ testovací funkce “. V silné formulaci je prostor řešení konstruován tak, že tyto rovnice nebo podmínky jsou již splněny.

V tomto článku jsou slabé formulace představeny několika příklady a poté je představena hlavní věta řešení, věta Lax – Milgram . Věta je pojmenována po Peteru Laxovi a Arthurovi Milgramovi , kteří to dokázali v roce 1954.

Obecný koncept

Pojďme být Banachovým prostorem . Chceme najít řešení rovnice ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle u \ ve V}$

${\ displaystyle Au = f,}$

kde a , s bytí duální prostor o . ${\ displaystyle A \ dvojtečka V \ až V '}$${\ displaystyle f \ ve V '}$${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle V}$

To je ekvivalentní k nalezení takové, že pro všechny , ${\ displaystyle u \ ve V}$${\ displaystyle v \ ve V}$

${\ displaystyle [Au] (v) = f (v).}$

Zde nazýváme testovací vektor nebo testovací funkce. ${\ displaystyle v}$

Přinášíme to do obecné podoby slabé formulace, konkrétně takové ${\ displaystyle u \ ve V}$

${\ displaystyle a (u, v) = f (v) \ quad \ forall v \ in V,}$

definováním bilineární formy

${\ displaystyle a (u, v): = [Au] (v).}$

Jelikož je to velmi abstraktní, následujme to několika příklady.

Příklad 1: Lineární soustava rovnic

Nyní a být lineární mapování . Potom slabá formulace rovnice ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle A: V \ až V}$

${\ displaystyle Au = f}$

zahrnuje nalezení takového, že pro všechny následující rovnice platí: ${\ displaystyle u \ ve V}$${\ displaystyle v \ ve V}$

${\ displaystyle \ langle Au, v \ rangle = \ langle f, v \ rangle,}$

kde označuje vnitřní produkt . ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Jelikož jde o lineární mapování, stačí testovat s bazickými vektory a dostaneme ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ langle Au, e_ {i} \ rangle = \ langle f, e_ {i} \ rangle, \ quad i = 1, \ ldots, n.}$

Ve skutečnosti se rozšiřováním získáme maticový tvar rovnice ${\ displaystyle u = \ sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {u} = \ mathbf {f},}$

kde a . ${\ displaystyle a_ {ij} = \ langle Ae_ {j}, e_ {i} \ rangle}$${\ displaystyle f_ {i} = \ langle f, e_ {i} \ rangle}$

Bilineární forma spojená s touto slabou formulací je

${\ displaystyle a (u, v) = \ mathbf {v} ^ {T} \ mathbf {A} \ mathbf {u}.}$

Příklad 2: Poissonova rovnice

Naším cílem je vyřešit Poissonovu rovnici

${\ displaystyle - \ nabla ^ {2} u = f,}$

na doméně s její hranicí a chceme později určit prostor řešení . Budeme používat -scalar produkt ${\ displaystyle \ Omega \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle u = 0}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = \ int _ {\ Omega} uv \, dx}$

odvodit naši slabou formulaci. Pak, testování s diferencovatelnými funkcemi , dostaneme ${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle - \ int _ {\ Omega} (\ nabla ^ {2} u) v \, dx = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.}$

Můžeme udělat levou stranu této rovnice symetrickější integrací pomocí částí pomocí Greenovy identity a za předpokladu, že na : ${\ displaystyle v = 0}$${\ displaystyle \ částečné \ Omega}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.}$

Tomu se obvykle říká slabá formulace Poissonovy rovnice . Musíme ještě určit prostor, ve kterém můžeme najít řešení, ale minimálně nám to musí umožnit zapsat tuto rovnici. Proto požadujeme, aby funkce v byly na hranici nula a aby byly deriváty integrovatelné do čtverce . Odpovídající prostor ke splnění těchto požadavků je Sobolev prostor funkcí se slabými deriváty v as nulovými okrajových podmínek, takže jsme si stanovili . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$${\ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$${\ displaystyle V = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$

Obecnou formu získáme přiřazením

${\ displaystyle a (u, v) = \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx}$

a

${\ displaystyle f (v) = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.}$

Věta Lax – Milgram

Toto je formulace věty Lax – Milgram, která se opírá o vlastnosti symetrické části bilineární formy . Není to nejobecnější forma.

Dovolit být prostor Hilbert a na formu bilineární na , což je ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle a (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle V}$

1. ohraničený : a${\ displaystyle | a (u, v) | \ leq C \ | u \ | \ | v \ |}$
2. donucovací :${\ displaystyle a (u, u) \ geq c \ | u \ | ^ {2}.}$

Pak pro každého existuje jedinečné řešení rovnice ${\ displaystyle f \ ve V '}$${\ displaystyle u \ ve V}$

${\ displaystyle a (u, v) = f (v) \ quad \ forall v \ in V}$

a platí

${\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ | _ {V '}.}$

Aplikace na příklad 1

Zde je aplikace věty Lax – Milgram rozhodně silnějším výsledkem, než je potřeba, ale stále ji můžeme použít a dát tomuto problému stejnou strukturu jako ostatní.

• Omezenost: všechny bilineární formy jsou ohraničené. Zejména máme ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

  ${\ displaystyle | a (u, v) | \ leq \ | A \ | \, \ | u \ | \, \ | v \ |}$

• Coercivity: V praxi to znamená, že reálné části těchto čísel z nejsou menší než . Protože to zejména znamená, že žádné vlastní číslo není nula, je systém řešitelný.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c}$

Navíc získáme odhad

${\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ |,}$

kde je minimální skutečná část vlastního čísla z . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A}$

Aplikace na příklad 2

Zde, jak jsme zmínili výše, volíme s normou ${\ displaystyle V = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$

${\ displaystyle \ | v \ | _ {V}: = \ | \ nabla v \ |,}$

kde normou vpravo je -norm on (toto poskytuje skutečnou normu podle Poincarého nerovnosti ). Ale vidíme, že i podle Cauchy-Schwarz nerovnost , . ${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle | a (u, u) | = \ | \ nabla u \ | ^ {2}}$${\ displaystyle | a (u, v) | \ leq \ | \ nabla u \ | \, \ | \ nabla v \ |}$

Proto je pro všechny , je unikátním řešením z Poissonova rovnice a máme odhad ${\ displaystyle f \ in [H_ {0} ^ {1} (\ Omega)] '}$${\ displaystyle u \ ve V}$

${\ displaystyle \ | \ nabla u \ | \ leq \ | f \ | _ {[H_ {0} ^ {1} (\ Omega)] '}}}$

Viz také

• Babuška – Lax – Milgramova věta
• Lions – Lax – Milgramova věta

Reference

• Lax, Peter D .; Milgram, Arthur N. (1954), „Parabolické rovnice“, Příspěvky k teorii parciálních diferenciálních rovnic , Annals of Mathematics Studies, 33 , Princeton, NJ : Princeton University Press , s. 167–190, doi : 10,1515 / 9781400882182- 010 , MR  0067317 , Zbl  0058.08703

externí odkazy

• Stránka MathWorld o větě Lax – Milgram