Přechodná sada - Transitive set

V teorii množin , odvětví matematiky , se množina A nazývá tranzitivní, pokud platí některá z následujících ekvivalentních podmínek:

Podobně, třída M je přechodný, pokud každý prvek M je podmnožinou M .

Příklady

Pomocí definice pořadových čísel navržené Johnem von Neumannem jsou pořadová čísla definována jako dědičně tranzitivní množiny: pořadové číslo je tranzitivní množina, jejíž členy jsou také tranzitivní (a tedy řadové). Třída všech ordinals je tranzitivní třída.

Kterýkoli ze stupňů V α a L α vedoucí ke konstrukci von Neumannova vesmíru V a Gödelova konstruovatelného vesmíru L jsou tranzitivní množiny. Samotné vesmíry L a V jsou tranzitivní třídy.

Toto je úplný seznam všech konečných přechodných sad s až 20 závorkami:

Vlastnosti

Množina X je tranzitivní právě tehdy, když , kde je sjednocení všech prvků X , které jsou soupravy, .

Pokud je X tranzitivní, pak je tranzitivní. Pokud jsou X a Y tranzitivní, pak X ∪ Y ∪ { X , Y } je tranzitivní. Obecně platí, že pokud X je třída, jejíž všechny prvky jsou tranzitivní sady, pak je tranzitivní.

Množina X , který neobsahuje urelements je tranzitivní právě tehdy, když se jedná o podmnožinu vlastního elektrického souboru , napájecí sada tranzitivní sady bez urelements je tranzitivní.

Přechodné uzavření

Tranzitivní uzávěr z množiny X je nejmenší (s ohledem na vložení) tranzitivní sadě, která obsahuje X . Předpokládejme, že jeden dostane množinu X , pak tranzitivní uzavření X je

Důkaz. Označte a . Pak tvrdíme, že sada

je tranzitivní a kdykoli je to tranzitivní množina včetně pak .

Předpokládejme . Pak pro některé a tak . Vzhledem k tomu , . Je tedy tranzitivní.

Nyní buďme jako výše. Dokážeme to indukcí, že pro všechny , čímž dokážeme , že : Základní případ platí od . Nyní předpokládej . Potom . Ale je tranzitivní, takže odkud . Tím je důkaz hotový.

Všimněte si, že toto je množina všech objektů souvisejících s X podle tranzitivní uzavření vztahu členství, protože svazek souboru může být vyjádřen v podmínkách relativní produktu z členství vztahu se sebou samým.

Přechodné modely teorie množin

Tranzitivní třídy se často používají pro konstrukci interpretací teorie množin samy o sobě, obvykle se jim říká vnitřní modely . Důvodem je, že vlastnosti definované ohraničenými vzorci jsou pro tranzitivní třídy absolutní .

Přechodná množina (nebo třída), která je modelem formálního systému teorie množin, se nazývá tranzitivní model systému (za předpokladu, že vztah prvku modelu je omezením vztahu skutečného prvku k vesmíru modelu) . Přechodnost je důležitým faktorem při určování absolutnosti vzorců.

V nadstavbovém přístupu k nestandardní analýze nestandardní vesmíry uspokojují silnou tranzitivitu.

Viz také

Reference

externí odkazy