Titchmarshova konvoluční věta - Titchmarsh convolution theorem

Titchmarsh konvoluční teorém je pojmenoval Edward Charles Titchmarsh , britský matematik. Věta popisuje vlastnosti podpory na konvoluce dvou funkcí.

Titchmarshova konvoluční věta

EC Titchmarsh prokázal následující větu, známou jako Titchmarshova konvoluční věta, v roce 1926:

Pokud a jsou integrovatelné funkce, takové, že ${\ textstyle \ varphi (t) \,}$${\ textstyle \ psi (t)}$

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{x} \ varphi (t) \ psi (xt) \, dt = 0}$

téměř všude v intervalu , pak existují a uspokojují takové, že téměř všude v a téměř všude v${\ Displaystyle 0 <x <\ kappa \,}$${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$${\ Displaystyle \ mu \ geq 0}$${\ Displaystyle \ lambda +\ mu \ geq \ kappa}$${\ Displaystyle \ varphi (t) = 0 \,}$${\ Displaystyle 0 <t <\ lambda}$${\ Displaystyle \ psi (t) = 0 \,}$${\ Displaystyle 0 <t <\ mu.}$

Následují důsledky:

Pokud je integrál výše 0 pro všechny, pak buď nebo je téměř všude 0 v intervalu${\ textstyle x> 0,}$${\ textstyle \ varphi \,}$${\ textstyle \ psi}$${\ textstyle [0,+\ infty).}$

Konvoluce dvou funkcí na tedy nemůže být identicky nulová, pokud alespoň jedna ze dvou funkcí není identicky nulová. ${\ textstyle [0,+\ infty)}$

Tuto větu lze přepracovat v následující formě:

Nech . Pak je -li pravá strana konečná.${\ Displaystyle \ varphi, \ psi \ in L^{1} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ inf \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ inf \ operatorname {supp} \ varphi +\ inf \ operatorname {supp} \ psi}$

Podobně, pokud je pravá strana konečná.${\ Displaystyle \ sup \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ sup \ operatorname {supp} \ varphi +\ sup \ operatorname {supp} \ psi}$

Tato věta v podstatě uvádí, že je to známé začlenění

${\ displaystyle \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi \ subset \ operatorname {supp} \ varphi +\ operatorname {supp} \ psi}$

je ostrý na hranici.

Vyšší dimenzionální zobecnění z hlediska konvexního trupu podpěr prokázal J.-L. Lvi v roce 1951:

Pokud , tak${\ Displaystyle \ varphi, \ psi \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^{n})}$${\ displaystyle \ operatorname {ch} \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ operatorname {ch} \ operatorname {supp} \ varphi +\ operatorname {ch} \ operatorname {supp} \ psi.}$

Nahoře označuje konvexní trup sady. označuje prostor distribucí s kompaktní podporou . ${\ displaystyle \ operatorname {ch}}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^{n})}$

Věta postrádá elementární důkaz. Původní doklad podle Titchmarsh je založen na principu Phragmén-Lindelöf , jensenova nerovnost je Věta Carleman , a teorém Valiron . Další důkazy jsou obsaženy v:

• "Theorem 4.3.3", Hörmander, L. (1990). Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů, I . Springer Study Edition (2. vyd.). Berlín: Springer-Verlag.

( styl harmonické analýzy )

• „Kapitola VI“, Yosida, K. (1980). Funkční analýza . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Základní principy matematických věd), sv. 123 (6. vydání). Berlín: Springer-Verlag.

( skutečný styl analýzy )

• "Přednáška 16", Levin, B. Ya. (1996). Přednášky o celých funkcích . Translations of Mathematical Monographs, sv. 150. Providence, RI: American Mathematical Society.

( komplexní styl analýzy ).

Bibliografie

• Titchmarsh, ES (1926). „Nuly určitých integrálních funkcí“. Proceedings of the London Mathematical Society . 25 : 283–302. doi : 10,1112/plms/s2-25.1.283 .

• Lions, J.-L. (1951). „Podporuje produkci kompozice“. Les Comptes rendus de l'Académie des sciences (I a II) |format=vyžaduje |url=( pomoc ) . 232 : 1530–1532, 1622–1624.

• Mikusiński, J. a Świerczkowski, S. (1960). „Titchmarshova věta o konvoluci a teorii Dufresnoye“. Prace Matematyczne . 4 : 59–76.Správa CS1: používá parametr autorů ( odkaz )

Reference