Thomsonův problém - Thomson problem

Cílem Thomsonova problému je určit minimální konfiguraci elektrostatické potenciální energie N elektronů omezených na povrch jednotkové sféry, které se navzájem odpuzují silou danou Coulombovým zákonem . Fyzik JJ Thomson nastolil problém v roce 1904 poté, co navrhl atomový model, později nazývaný model švestkového pudinku , na základě svých znalostí o existenci negativně nabitých elektronů v neutrálně nabitých atomech.

Související problémy zahrnují studium geometrie konfigurace minimální energie a studium velkého N chování minimální energie.

Matematické prohlášení

Fyzický systém ztělesněný Thomsonovým problémem je zvláštním případem jednoho z osmnácti nevyřešených matematických problémů navržených matematikem Stevem Smaleem- „Distribuce bodů na 2-sféře“. Řešení každého N -elektronového problému se získá, když konfigurace N -elektronu omezená na povrch koule s jednotkovým poloměrem , poskytne globální minimum elektrostatické potenciální energetické energie . ${\ displaystyle r = 1}$ ${\ displaystyle U (N)}$

Elektrostatické interakce energie vyskytující se mezi každým párem elektronů stejných poplatků ( s na elementární náboj elektronu) je dán Coulombova zákona, ${\ Displaystyle e_ {i} = e_ {j} = e}$ ${\ displaystyle e}$

{\ Displaystyle U_ {ij} (N) = k_ {e} {e_ {i} e_ {j} \ over r_ {ij}}.}

Zde je Coulombův konstantní a je vzdálenost mezi každým párem elektronů nacházejících se v bodech na oblasti definované vektory a , resp. ${\ displaystyle k_ {e}}$ ${\ displaystyle r_ {ij} = | \ mathbf {r} _ {i}-\ mathbf {r} _ {j} |}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {j}}$

Zjednodušené jednotky a jsou používány bez ztráty obecnosti. Pak, ${\ displaystyle e = 1}$ ${\ displaystyle k_ {e} = 1}$

{\ Displaystyle U_ {ij} (N) = {1 \ over r_ {ij}}.}

Celková elektrostatická potenciální energie každé konfigurace N -elektronu pak může být vyjádřena jako součet všech párových interakcí

{\ Displaystyle U (N) = \ sum _ {i <j} {\ frac {1} {r_ {ij}}}.}

Globální minimalizaci více než všech možných kolekcí N odlišných bodů obvykle nacházejí numerické minimalizační algoritmy. ${\ displaystyle U (N)}$

Příklad

Řešení Thomsonova problému pro dva elektrony se získá, když jsou oba elektrony na opačných stranách původu co nejdále od sebe , popř. ${\ displaystyle r_ {ij} = 2r = 2}$

{\ Displaystyle U (2) = {1 \ over 2}.}

Známá řešení

Schematická geometrická řešení matematického Thomsonova problému až pro N = 5 elektronů.

Konfigurace minimální energie byly přísně identifikovány pouze v několika málo případech.

Pro N = 1 je řešení triviální, protože elektron může pobývat v kterémkoli bodě na povrchu jednotkové sféry. Celková energie konfigurace je definována jako nula, protože elektron není vystaven elektrickému poli v důsledku jakýchkoli jiných zdrojů náboje.
Pro N = 2 se optimální konfigurace skládá z elektronů v antipodálních bodech .
Pro N = 3 jsou elektrony umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelníku kolem velkého kruhu .
Pro N = 4 jsou elektrony umístěny ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu .
Pro N = 5 bylo v roce 2010 hlášeno matematicky přísné počítačem podporované řešení s elektrony sídlícími ve vrcholech trojúhelníkového dipyramidu .
Pro N = 6 jsou elektrony umístěny ve vrcholech pravidelného osmistěnu .
Pro N = 12 jsou elektrony umístěny ve vrcholech pravidelného icosahedronu .

Geometrická řešení Thomsonova problému pro N = 4, 6 a 12 elektronů jsou platonická tělesa, jejichž tváře jsou shodné rovnostranné trojúhelníky. Numerická řešení pro N = 8 a 20 nejsou pravidelné konvexní polyhedrální konfigurace zbývajících dvou platónských těles, jejichž plochy jsou čtvercové a pětiúhelníkové.

Zobecnění

Lze také požádat o základní stavy částic interagujících s libovolnými potenciály. Abychom byli matematicky přesní, nechť f je klesající funkcí s reálnou hodnotou a definuje energetickou funkci ${\ Displaystyle \ sum _ {i <j} f (| x_ {i} -x_ {j} |)}$

Tradičně se považuje za známé také jako Rieszova jádra. Integrovatelná jádra Riesz viz; u neintegrovatelných jader Riesz platí věta o makovém bagetu , viz. Mezi významné případy patří α = ∞, Tammesův problém (balení); α = 1, Thomsonův problém; α = 0, Whyteův problém (maximalizovat součin vzdáleností). ${\ Displaystyle f (x) = x^{-\ alpha}}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$

Lze také uvažovat o konfiguraci N bodů na sféře vyšších dimenzí . Viz sférický design .

Vztahy k dalším vědeckým problémům

Thomsonův problém je přirozeným důsledkem Thomsonova modelu švestkového pudinku bez jeho rovnoměrného kladného náboje na pozadí.

"Žádný objevený fakt o atomu nemůže být triviální, ani nemůže urychlit pokrok fyzikální vědy, protože větší část přírodní filozofie je výsledkem struktury a mechanismu atomu."

—Sir JJ Thomson

Ačkoli experimentální důkazy vedly k opuštění modelu Thomsonova švestkového pudinku jako kompletního atomového modelu, bylo zjištěno, že nepravidelnosti pozorované v numerických energetických řešeních Thomsonova problému odpovídají vyplňování elektronového obalu v přirozeně se vyskytujících atomech v periodické tabulce prvků.

Thomsonův problém také hraje roli při studiu dalších fyzikálních modelů včetně víceelektronových bublin a uspořádání povrchu kapek tekutého kovu uzavřených v Paulových pastech .

Obecný Thomsonův problém vzniká například při určování uspořádání proteinových podjednotek, které obsahují skořápky sférických virů . "Částice" v této aplikaci jsou shluky proteinových podjednotek uspořádaných na skořápce. Další realizace zahrnují pravidelné uspořádání koloidních částic v koloidosomech , navržených pro zapouzdření účinných látek, jako jsou léčiva, živiny nebo živé buňky, fullerenové vzorce atomů uhlíku a teorie VSEPR . Příkladem logaritmických interakcí s dlouhým dosahem jsou Abrikosovské víry, které by se vytvářely při nízkých teplotách v supravodivém kovovém plášti s velkým monopólem uprostřed.

Konfigurace nejmenší známé energie

V následující tabulce je počet bodů (nábojů) v konfiguraci, je energie, typ symetrie je uveden v Schönfliesově notaci (viz Skupiny bodů ve třech rozměrech ) a jsou polohy nábojů. Většina typů symetrie vyžaduje, aby vektorový součet poloh (a tedy elektrický dipólový moment ) byl nulový. ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$

Je obvyklé uvažovat také o mnohostěnu tvořeném konvexním trupem bodů. Je tedy počet vrcholů, kde se daný počet hran setká, ' je celkový počet hran, počet trojúhelníkových ploch, počet čtyřúhelníkových ploch a je nejmenším úhlem, který svírají vektory spojené s nejbližším nábojem pár. Všimněte si toho, že délky hran nejsou obecně stejné; tedy (kromě případů N = 2, 3, 4, 6, 12 a geodetických mnohostěnů ) je konvexní trup pouze topologicky ekvivalentní obrázku uvedenému v posledním sloupci. ${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle f_ {3}}$ ${\ displaystyle f_ {4}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$

N.	${\ displaystyle E_ {1}}$	Symetrie	${\ Displaystyle \ left \| \ sum \ mathbf {r} _ {i} \ right \|}$	${\ displaystyle v_ {3}}$	${\ displaystyle v_ {4}}$	${\ displaystyle v_ {5}}$	${\ displaystyle v_ {6}}$	${\ displaystyle v_ {7}}$	${\ displaystyle v_ {8}}$	${\ displaystyle e}$	${\ displaystyle f_ {3}}$	${\ displaystyle f_ {4}}$	${\ displaystyle \ theta _ {1}}$	Ekvivalentní mnohostěn
2	0,500000000	${\ displaystyle D _ {\ infty h}}$	0	-	-	-	-	-	-	2	-	-	180 000 °	digon
3	1,732050808	${\ displaystyle D_ {3h}}$	0	-	-	-	-	-	-	3	2	-	120 000 °	trojúhelník
4	3,674234614	${\ displaystyle T_ {d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109,471 °	čtyřstěn
5	6,474691495	${\ displaystyle D_ {3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90 000 °	trojúhelníkový dipyramid
6	9.985281374	${\ displaystyle O_ {h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90 000 °	osmistěn
7	14.452977414	${\ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72 000 °	pětiúhelníkový dipyramid
8	19.675287861	${\ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71,694 °	hranatý antiprism
9	25.759986531	${\ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69,190 °	trojúhelníkový trojúhelníkový hranol
10	32,716949460	${\ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64,996 °	gyroelongátovaný čtvercový dipyramid
11	40,596450510	${\ displaystyle C_ {2v}}$	0,013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58,540 °	hranami stažený ikosahedron
12	49,165253058	${\ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63,435 °	icosahedron ( geodetická sféra {3,5+} _1,0 )
13	58,853230612	${\ displaystyle C_ {2v}}$	0,008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52,317 °
14	69,306363297	${\ displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866 °	gyroelongated hexagonální dipyramid
15	80,670244114	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225 °
16	92,911655302	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48,936 °
17	106.050404829	${\ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50,108 °	dvakrát gyroelongovaný pětiboký dipyramid
18	120,084467447	${\ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47,534 °
19	135,089467557	${\ displaystyle C_ {2v}}$	0,000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44,910 °
20	150,881568334	${\ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46,093 °
21	167,641622399	${\ displaystyle C_ {2v}}$	0,001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44,321 °
22	185,287536149	${\ displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43,302 °
23	203,930190663	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41,481 °
24	223,347074052	${\ displaystyle O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065 °	krycí kostka
25	243,812760299	${\ displaystyle C_ {s}}$	0,001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39,610 °
26	265.133326317	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38,842 °
27	287,302615033	${\ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39,940 °
28	310,491542358	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824 °
29	334,634439920	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391 °
30	359,603945904	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36,942 °
31	385,530838063	${\ displaystyle C_ {3v}}$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373 °
32	412.261274651	${\ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37,377 °	pentakis dodecahedron ( geodetická sféra {3,5+} _1,1 )
33	440,204057448	${\ displaystyle C_ {s}}$	0,004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33,700 °
34	468,904853281	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273 °
35	498,569872491	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33,100 °
36	529,122408375	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229 °
37	560,618887731	${\ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332 °
38	593,038503566	${\ displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236 °
39	626,389009017	${\ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053 °
40	660,675278835	${\ displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916 °
41	695,916744342	${\ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528 °
42	732.078107544	${\ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31,245 °
43	769,190846459	${\ displaystyle C_ {2v}}$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867 °
44	807,174263085	${\ displaystyle O_ {h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31,258 °
45	846,188401061	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207 °
46	886,167113639	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790 °
47	927,059270680	${\ displaystyle C_ {s}}$	0,002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28,778 °
48	968,713455344	${\ displaystyle O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690 °
49	1011,557182654	${\ displaystyle C_ {3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387 °
50	1055,182314726	${\ displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231 °
51	1099,819290319	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165 °
52	1145,418964319	${\ displaystyle C_ {3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670 °
53	1191.922290416	${\ displaystyle C_ {2v}}$	0,000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27,137 °
54	1239,361474729	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27,030 °
55	1287,772720783	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615 °
56	1337.094945276	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683 °
57	1387,383229253	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702 °
58	1438,618250640	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155 °
59	1490,773335279	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26,170 °
60	1543.830400976	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958 °
61	1597,741830199	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392 °
62	1652,909409898	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25,880 °
63	1708.879681503	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257 °
64	1765,802577927	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920 °
65	1823,667960264	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527 °
66	1882,441525304	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765 °
67	1942.122700406	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727 °
68	2002.874701749	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433 °
69	2064,533483235	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137 °
70	2127.100901551	${\ displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24,291 °
71	2190,649906425	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23,803 °
72	2255,001190975	${\ displaystyle I}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492 °	geodetická sféra {3,5+} _2,1
73	2320,633883745	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22,810 °
74	2387,072981838	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966 °
75	2454,369689040	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736 °
76	2522,674871841	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886 °
77	2591,850152354	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286 °
78	2662.046474566	${\ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426 °
79	2733,248357479	${\ displaystyle C_ {s}}$	0,000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22,636 °
80	2805,355875981	${\ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778 °
81	2878,522829664	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892 °
82	2952,569675286	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206 °
83	3027,528488921	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21,646 °
84	3103,465124431	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513 °
85	3180,361442939	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498 °
86	3258.211605713	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522 °
87	3337 000750014	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456 °
88	3416.720196758	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486 °
89	3497,439018625	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182 °
90	3579.091222723	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21,230 °
91	3661,713699320	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105 °
92	3745.291636241	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026 °
93	3829,844338421	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751 °
94	3915,309269620	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952 °
95	4001.771675565	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711 °
96	4089,154010060	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687 °
97	4177,533599622	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20,450 °
98	4266.822464156	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422 °
99	4357,139163132	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284 °
100	4448,350634331	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297 °
101	4540,590051694	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20,011 °
102	4633,736565899	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040 °
103	4727,836616833	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907 °
104	4822,876522746	${\ displaystyle D_ {6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957 °
105	4919.000637616	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842 °
106	5015,984595705	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658 °
107	5113,953547724	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327 °
108	5212,813507831	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327 °
109	5312,735079920	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19,103 °
110	5413,549294192	${\ displaystyle D_ {6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476 °
111	5515.293214587	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255 °
112	5618.044882327	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19,351 °
113	5721,824978027	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978 °
114	5826,521572163	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836 °
115	5932,181285777	${\ displaystyle C_ {3}}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458 °
116	6038,815593579	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386 °
117	6146,342446579	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566 °
118	6254,877027790	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18,455 °
119	6364,347317479	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18,336 °
120	6474,756324980	${\ displaystyle C_ {s}}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418 °
121	6586.121949584	${\ displaystyle C_ {3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18,199 °
122	6698,374499261	${\ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612 °	geodetická sféra {3,5+} _2,2
123	6811,827228174	${\ displaystyle C_ {2v}}$	0,001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17,840 °
124	6926,169974193	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18,111 °
125	7041,473264023	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867 °
126	7157,669224867	${\ displaystyle D_ {4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17,920 °
127	7274,819504675	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877 °
128	7393.007443068	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814 °
129	7512.107319268	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743 °
130	7632.167378912	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683 °
131	7753,205166941	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17,511 °
132	7875,045342797	${\ displaystyle I}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958 °	geodetická sféra {3,5+} _3,1
133	7998,179212898	${\ displaystyle C_ {3}}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17,133 °
134	8122.089721194	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214 °
135	8246,909486992	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431 °
136	8372.743302539	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485 °
137	8499,534494782	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17,560 °
138	8627,406389880	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924 °
139	8756,227056057	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673 °
140	8885,980609041	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16,773 °
141	9016,615349190	${\ displaystyle C_ {2v}}$	0,000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16,962 °
142	9148,271579993	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16,840 °
143	9280,839851192	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782 °
144	9414,371794460	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953 °
145	9548,928837232	${\ displaystyle C_ {s}}$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841 °
146	9684,381825575	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905 °
147	9820,932378373	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458 °
148	9958,406004270	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627 °
149	10096,859907397	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16,344 °
150	10236.196436701	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16,405 °
151	10376,571469275	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163 °
152	10517,867592878	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117 °
153	10660,082748237	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16,390 °
154	10803,372421141	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078 °
155	10947,574692279	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15,990 °
156	11092.798311456	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822 °
157	11238.903041156	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948 °
158	11385,990186197	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987 °
159	11534.023960956	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15,960 °
160	11683.054805549	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961 °
161	11833,084739465	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15,810 °
162	11984.050335814	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813 °
163	12136.013053220	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675 °
164	12288,930105320	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655 °
165	12442,804451373	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651 °
166	12597,649071323	${\ displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15,607 °
167	12753,469429750	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15 600 °
168	12910.212672268	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655 °
169	13068,006451127	${\ displaystyle C_ {s}}$	0,000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15,537 °
170	13226,681078541	${\ displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569 °
171	13386.355930717	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497 °
172	13547,018108787	${\ displaystyle C_ {2v}}$	0,000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15,292 °
173	13708.635243034	${\ displaystyle C_ {s}}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225 °
174	13871,187092292	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366 °
175	14034.781306929	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252 °
176	14199,354775632	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15,111 °
177	14364,837545298	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269 °
178	14531.309552587	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145 °
179	14698,754594220	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14,968 °
180	14867.099927525	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067 °
181	15036,467239769	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15,002 °
182	15206,730610906	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155 °
183	15378,166571028	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747 °
184	15550,421450311	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932 °
185	15723,720074072	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775 °
186	15897.897437048	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739 °
187	16072,975186320	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848 °
188	16249.222678879	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14,740 °
189	16426,371938862	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671 °
190	16604,428338501	${\ displaystyle C_ {3}}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14,501 °
191	16783.452219362	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14,195 °
192	16963,338386460	${\ displaystyle I}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819 °	geodetická sféra {3,5+} _3,2
193	17144,564740880	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144 °
194	17326.616136471	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14,350 °
195	17509,489303930	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375 °
196	17693,460548082	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14,251 °
197	17878,340162571	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147 °
198	18064,262177195	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237 °
199	18251.082495640	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14,153 °
200	18438,842717530	${\ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222 °
201	18627,591226244	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13,830 °
202	18817,204718262	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189 °
203	19007.981204580	${\ displaystyle C_ {s}}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977 °
204	19199,540775603	${\ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291 °
212	20768.053085964	${\ displaystyle I}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118 °	geodetická sféra {3,5+} _4,1
214	21169,910410375	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771 °
216	21575,596377869	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735 °
217	21779,856080418	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902 °
232	24961,252318934	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13,260 °
255	30264,424251281	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12,565 °
256	30506,687515847	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572 °
257	30749,941417346	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672 °
272	34515,193292681	${\ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12,335 °	geodetická sféra {3,5+} _3,3
282	37147.294418462	${\ displaystyle I}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166 °	geodetická sféra {3,5+} _4,2
292	39877,008012909	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857 °
306	43862,569780797	${\ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628 °
312	45629,313804002	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299 °
315	46525,825643432	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11,337 °
317	47128,310344520	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423 °
318	47431,056020043	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11,219 °
334	52407,728127822	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11,058 °
348	56967,472454334	${\ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721 °
357	59999,92239598	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728 °
358	60341,830924588	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647 °
372	65230,027122557	${\ displaystyle I}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531 °	geodetická sféra {3,5+} _4,3
382	68839,426839215	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379 °
390	71797.035335953	${\ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10,222 °
392	72546,258370889	${\ displaystyle C_ {1}}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278 °
400	75582,448512213	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10,068 °
402	76351,192432673	${\ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099 °
432	88353.709681956	${\ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556 °
448	95115,546986209	${\ displaystyle T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322 °
460	100351,763108673	${\ displaystyle T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297 °
468	103920,871715127	${\ displaystyle S_ {6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9,120 °
470	104822,886324279	${\ displaystyle S_ {6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9,059 °

V souladu s domněnkou, je-li , p je mnohostěn tvořena konvexní trupu m bodů, q je počet čtyřstranných tváří p , pak se roztok pro m elektronů je f ( m ): . ${\ Displaystyle m = n+2}$ ${\ Displaystyle f (m) = 0^{n}+3n-q}$

Reference

^ Thomson, Joseph John (březen 1904). „O struktuře atomu: Zkoumání stability a období oscilace řady těles uspořádaných ve stejných intervalech kolem obvodu kruhu; s aplikací výsledků do teorie atomové struktury“ (PDF) . Filozofický časopis . Řada 6. 7 (39): 237–265. doi : 10,1080/14786440409463107 . Archivováno z originálu (PDF) dne 13. prosince 2013.
^ Smale, S. (1998). „Matematické problémy pro příští století“. Matematický zpravodaj . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . doi : 10,1007/bf03025291 . S2CID 1331144 .
^ Föppl, L. (1912). „Stabilní anordnungen von Elektronen im Atom“ . J. Reine Angew. Matematika. (141): 251–301..
^ Schwartz, Richard (2010). „5 elektronový případ Thomsonova problému“. arXiv : 1001,3702 [ math.MG ].
^ Yudin, VA (1992). „Minimum potenciální energie soustavy bodových nábojů“. Discretnaya Matematika . 4 (2): 115–121 (v ruštině).; Yudin, VA (1993). „Minimum potenciální energie soustavy bodových nábojů“. Diskrétní matematika. Appl . 3 (1): 75–81. doi : 10,1515/dma.1993.3.1.75 . S2CID 117117450 .
^ Andreev, NN (1996). „Extrémní vlastnost icosahedronu“. East J. Aproximace . 2 (4): 459–462. MR 1426716 , Zbl 0877.51021
^ Landkof, NS Základy moderní teorie potenciálu. Z ruštiny přeložil AP Doohovskoy. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x+424 pp.
^ Hardin, DP; Saff, EB Diskretizující potrubí prostřednictvím minimálních energetických bodů. Oznámení Amer. Matematika. Soc. 51 (2004), č. 10, 1186–1194
^ Levin, Y .; Arenzon, JJ (2003). „Proč se poplatky dostávají na povrch: zobecněný Thomsonův problém“. Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat/0302524 . Bibcode : 2003EL ..... 63..415L . doi : 10.1209/epl/i2003-00546-1 . S2CID 18929981 .
^ Sir JJ Thomson, The Romanes Lecture, 1914 (Atomová teorie)
^ LaFave Jr, Tim (2013). „Korespondence mezi klasickým elektrostatickým Thomsonovým problémem a atomovou elektronickou strukturou“. Journal of Electrostatics . 71 (6): 1029–1035. arXiv : 1403,2591 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.10.001 . S2CID 118480104 .
^ Kevin Brown. „Minenergetické konfigurace elektronů na kouli“ . Citováno 2014-05-01.
^ "Sloane's A008486 (viz komentář z 3. února 2017)" . On-line encyklopedie celočíselných sekvencí . Nadace OEIS . Citováno 2017-02-08 .

Poznámky

Whyte, LL (1952). „Unikátní uspořádání bodů na kouli“. Amer. Matematika. Měsíčně . 59 (9): 606–611. doi : 10,2307/2306764 . JSTOR 2306764 .
Cohn, Harvey (1956). „Stabilitní konfigurace elektronů na kouli“ . Matematika. Výpočet . 10 (55): 117–120. doi : 10,1090/S0025-5718-1956-0081133-0 .
Goldberg, Michael (1969). „Stabilitní konfigurace elektronů na kouli“ . Matematika. Comp . 23 (108): 785–786. doi : 10,1090/S0025-5718-69-99642-2 .
Erber, T .; Hockney, GM (1991). „rovnovážné konfigurace N stejných nábojů na kouli“. J. Phys. A: Matematika. Gen . 24 (23): L1369. Bibcode : 1991JPhA ... 24L1369E . doi : 10,1088/0305-4470/24/23/008 .
Morris, JR; Deaven, DM; Ho, KM (1996). „Minimalizace energie genetického algoritmu pro bodové náboje na kouli“. Fyz. Rev. B . 53 (4): R1740 – R1743. Bibcode : 1996PhRvB..53.1740M . CiteSeerX 10.1.1.28.93 . doi : 10,1103/PhysRevB.53.R1740 . PMID 9983695 .
Erber, T .; Hockney, GM (1997). Komplexní systémy: Rovnovážné konfigurace stejných poplatků na sféře ${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle (2 \ leq N \ leq 112)}$ . Pokroky v chemické fyzice . 98 . s. 495–594. doi : 10,1002/9780470141571.ch5 . ISBN 9780470141571..
Altschuler, EL; Williams, TJ; Ratner, ER; Tipton, R .; Stong, R .; Dowla, F .; Wooten, F. (1997). „Možné globální minimální mřížkové konfigurace pro Thomsonův problém nábojů na kouli“ . Fyz. Rev.Lett . 78 (14): 2681–2685. Bibcode : 1997PhRvL..78.2681A . doi : 10,1103/PhysRevLett.78.2681 .
Bowick, M .; Cacciuto, A .; Nelson, DR; Travesset, A. (2002). „Krystalický řád na kouli a zobecněný Thomsonův problém“. Fyz. Rev.Lett . 89 (18): 249902. arXiv : cond-mat/0206144 . Bibcode : 2002PhRvL..89r5502B . doi : 10,1103/PhysRevLett.89.185502 . PMID 12398614 . S2CID 20362989 .
Dragnev, PD; Legg, DA; Townsend, DW (2002). „Diskrétní logaritmická energie na kouli“ . Pacific J. Math . 207 (2): 345–358. doi : 10,2140/pjm.2002.207.345 ..
Katanforoush, A .; Shahshahani, M. (2003). „Distribuce bodů na kouli. Já“. Expert. Math . 12 (2): 199–209. doi : 10.1080/10586458.2003.10504492 . S2CID 7306812 .
Wales, David J .; Ulker, Sidika (2006). „Struktura a dynamika sférických krystalů charakterizovaných pro Thomsonův problém“ . Fyz. Rev. B . 74 (21): 212101. Bibcode : 2006PhRvB..74u2101W . doi : 10,1103/PhysRevB.74.212101 . S2CID 119932997 .Konfigurace přetištěné ve Walesu, DJ; Ulker, S. "Klastrová databáze Cambridge" .
Slosar, A .; Podgornik, R. (2006). „K problému Thomson s připojenými poplatky“. Europhys. Lett . 75 (4): 631. arXiv : cond-mat/0606765 . Bibcode : 2006EL ..... 75..631S . doi : 10,1209/epl/i2006-10146-1 . S2CID 119005054 .
Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2007). „Univerzálně optimální rozdělení bodů na sféry“. J. Amer. Matematika. Soc . 20 (1): 99–148. arXiv : matematika/0607446 . Bibcode : 2007JAMS ... 20 ... 99C . doi : 10,1090/S0894-0347-06-00546-7 . S2CID 26614691 .
Wales, DJ; McKay, H .; Altschuler, EL (2009). „Vadné motivy pro sférické topologie“. Fyz. Rev. B . 79 (22): 224115. Bibcode : 2009PhRvB..79v4115W . doi : 10,1103/PhysRevB.79.224115 .. Konfigurace reprodukované ve Walesu, DJ; Ulker, S. "Klastrová databáze Cambridge" .
Ridgway, WJM; Cheviakov, AF (2018). „Iterační postup pro hledání místně a globálně optimálních uspořádání částic na jednotkové sféře“. Výpočet. Fyz. Komun . 233 : 84–109. Bibcode : 2018CoPhC.233 ... 84R . doi : 10,1016/j.cpc.2018.03.029 .
Cecka, Cris; Bowick, Mark J .; Middleton, Alan A. "Thomsonův problém @ SU"
Tato webová stránka obsahuje mnoho dalších konfigurací elektronů s nejnižší známou energií: https://www.hars.us .

[1] Thomson, Joseph John (březen 1904). „O struktuře atomu: Zkoumání stability a období oscilace řady těles uspořádaných ve stejných intervalech kolem obvodu kruhu; s aplikací výsledků do teorie atomové struktury“ (PDF) . Filozofický časopis . Řada 6. 7 (39): 237–265. doi : 10,1080/14786440409463107 . Archivováno z originálu (PDF) dne 13. prosince 2013.

[2] Smale, S. (1998). „Matematické problémy pro příští století“. Matematický zpravodaj . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . doi : 10,1007/bf03025291 . S2CID 1331144 .

[3] Föppl, L. (1912). „Stabilní anordnungen von Elektronen im Atom“ . J. Reine Angew. Matematika. (141): 251–301..

[4] Schwartz, Richard (2010). „5 elektronový případ Thomsonova problému“. arXiv : 1001,3702 [ math.MG ].

[5] Yudin, VA (1992). „Minimum potenciální energie soustavy bodových nábojů“. Discretnaya Matematika . 4 (2): 115–121 (v ruštině).; Yudin, VA (1993). „Minimum potenciální energie soustavy bodových nábojů“. Diskrétní matematika. Appl . 3 (1): 75–81. doi : 10,1515/dma.1993.3.1.75 . S2CID 117117450 .

[6] Andreev, NN (1996). „Extrémní vlastnost icosahedronu“. East J. Aproximace . 2 (4): 459–462. MR 1426716 , Zbl 0877.51021

[7] Landkof, NS Základy moderní teorie potenciálu. Z ruštiny přeložil AP Doohovskoy. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x+424 pp.

[8] Hardin, DP; Saff, EB Diskretizující potrubí prostřednictvím minimálních energetických bodů. Oznámení Amer. Matematika. Soc. 51 (2004), č. 10, 1186–1194

[9] Levin, Y .; Arenzon, JJ (2003). „Proč se poplatky dostávají na povrch: zobecněný Thomsonův problém“. Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat/0302524 . Bibcode : 2003EL ..... 63..415L . doi : 10.1209/epl/i2003-00546-1 . S2CID 18929981 .

[10] Sir JJ Thomson, The Romanes Lecture, 1914 (Atomová teorie)

[11] LaFave Jr, Tim (2013). „Korespondence mezi klasickým elektrostatickým Thomsonovým problémem a atomovou elektronickou strukturou“. Journal of Electrostatics . 71 (6): 1029–1035. arXiv : 1403,2591 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.10.001 . S2CID 118480104 .

[12] Kevin Brown. „Minenergetické konfigurace elektronů na kouli“ . Citováno 2014-05-01.

[geom_sol-13] "Sloane's A008486 (viz komentář z 3. února 2017)" . On-line encyklopedie celočíselných sekvencí . Nadace OEIS . Citováno 2017-02-08 .

Languages

In other projects