Strukturální tuhost - Structural rigidity
V diskrétní geometrii a mechaniky , strukturální tuhost je kombinatorická teorie pro predikci flexibilitu souborů vytvořených těles propojených ohebnými vazbami nebo závěsy .
Definice
Tuhost je vlastnost struktury, která se při použití síly neohýbá ani neohýbá. Opakem tuhosti je flexibilita . V teorii strukturální tuhosti jsou struktury tvořeny sbírkami předmětů, které jsou samy o sobě tuhými těly, často se předpokládá, že nabývají jednoduchých geometrických tvarů, jako jsou přímé tyče (úsečky), s dvojicemi předmětů spojených flexibilními závěsy. Struktura je tuhá, pokud se nemůže ohnout; to znamená, pokud neexistuje žádný souvislý pohyb struktury, který zachovává tvar jejích tuhých komponent a vzor jejich spojení v závěsech.
Existují dva zásadně odlišné druhy tuhosti. Konečná nebo makroskopická tuhost znamená, že se struktura nebude ohýbat, skládat ani ohýbat o kladné hodnoty. Nekonečně malá tuhost znamená, že struktura se neohne ani o částku, která je příliš malá na to, aby byla detekována i teoreticky. (Technicky to znamená, že určité diferenciální rovnice nemají nenulová řešení.) Důležitost konečné tuhosti je zřejmá, ale nekonečně malá tuhost je také klíčová, protože nekonečně malá flexibilita teoreticky odpovídá ohýbání nepatrného reálného světa a následnému zhoršení struktury.
Tuhá graf je vkládání z grafu v euklidovském prostoru , který je strukturálně rigidní. To znamená, že graf je tuhý, pokud je struktura vytvořená nahrazením okrajů tuhými tyčemi a vrcholů pružnými závěsy tuhá. Graf, který není rigidní, se nazývá flexibilní . Formálněji je vložení grafu flexibilní, pokud lze vrcholy posouvat souvisle, přičemž se zachovají vzdálenosti mezi sousedními vrcholy, což má za následek, že se změní vzdálenosti mezi některými nesousedícími vrcholy. Druhá podmínka vylučuje euklidovské kongruence, jako je jednoduchý překlad a rotace.
Je také možné uvažovat problémy s tuhostí u grafů, ve kterých některé hrany představují kompresní prvky (schopné natáhnout se na delší délku, ale ne zmenšit na kratší délku), zatímco jiné hrany představují napínací prvky (schopné zmenšit, ale neroztáhnout). Tuhý graf s okraji těchto typů tvoří matematický model tensegritové struktury.
Matematika tuhosti
Základním problémem je, jak teoreticky analyzovat tuhost struktury, aniž bychom ji museli stavět. Mezi klíčové výsledky v této oblasti patří následující:
- V jakémkoli rozměru je tuhost vazeb tyče a závěsu popsána matroidem . Základem dvojrozměrného matroidu tuhosti (minimálně tuhé grafy v rovině) jsou Lamanovy grafy .
- Cauchyova věta uvádí, že trojrozměrný konvexní mnohostěn konstruovaný s tuhými deskami pro jeho tváře, spojený závěsy podél jeho okrajů, tvoří tuhou strukturu.
- Flexibilní mnohostěn , nekonvexní mnohostěn, který není tuhý, zkonstruovali Raoul Bricard , Robert Connelly a další. Měchy domněnka , nyní prokázáno, uvádí, že jakákoliv kontinuální pohyb pružného mnohostěn musí zachovat svůj objem .
- V případě problému ztužení mřížky , kde je rámcem, který má být proveden tuhý, čtvercová mřížka s přidanými úhlopříčkami jako křížové ztužení , lze tuhost struktury analyzovat jejím překladem do problému s konektivitou podkladového bipartitního grafu .
V mnoha dalších jednoduchých situacích však ještě není vždy známo, jak matematicky analyzovat tuhost struktury navzdory existenci značné matematické teorie.
Dějiny
Jedním ze zakladatelů matematické teorie strukturální tuhosti byl velký fyzik James Clerk Maxwell . Koncem dvacátého století došlo k výkvětu matematické teorie tuhosti, který pokračuje i v jednadvacátém století.
„[A] teorie rovnováhy a výchylek rámců vystavených působení sil působí na tvrdost kvality ... v případech, kdy je rámec ... posílen dalšími spojovacími kusy ... v případech tří dimenze, pravidelnou metodou silových rovnic by každý bod měl tři rovnice k určení rovnováhy, aby se získaly 3s rovnice mezi e neznámými veličinami, jestliže s je počet bodů a e počet spojení [sic]. Existuje však šest rovnic rovnováhy systému, které musí být nutně splněny silami, kvůli rovnosti akce a reakce v každém kusu. Pokud tedy e == 3s-6, účinek jakékoli věčné síly bude být definitivní při vytváření napětí nebo tlaků v různých kusech; ale pokud e> 3s-6, tyto síly budou neurčité ... “[Maxwell 1864]
Viz také
Poznámky
Reference
- Alfakih, Abdo Y. (2007), "O rozměrové tuhosti rámových konstrukcí", Discrete Applied Mathematics , 155 (10): 1244–1253, doi : 10,1016/j.dam.2006.11.011 , MR 2332317.
- Connelly, Robert (1980), „Tuhost určitých kabelových rámců a tuhost druhého řádu libovolně trojúhelníkových konvexních ploch“, Advances in Mathematics , 37 (3): 272–299, doi : 10,1016/0001-8708 (80) 90037-7 , MR 0591730.
- Crapo, Henry (1979), „Structural rigidity“, Structural Topology (1): 26–45, 73, hdl : 2099/521 , MR 0621627.
- Maxwell, JC (1864), „O vzájemných obrázcích a diagramech sil“, Philosophical Magazine , 4. řada, 27 : 250–261, doi : 10,1080/14786446408643663.
- Rybnikov, Konstantin; Zaslavsky, Thomas (2005), „Kritéria pro rovnováhu v abelianských grafech zisku s aplikacemi na lineárně lineární geometrii“, Diskrétní a výpočetní geometrie , 34 (2): 251–268, arXiv : math/0210052 , doi : 10,1007/s00454 -005-1170-6 , MR 2155721.
- Whiteley, Walter (1988), „Spojení matroidů a rigidita rámců“, SIAM Journal on Discrete Mathematics , 1 (2): 237–255, doi : 10,1137/0401025 , MR 0941354
