Scottova kontinuita - Scott continuity

V matematice , daná dvěma částečně uspořádaným množinám P a Q , je funkce f : P → Q mezi nimi Scottova spojitá (pojmenovaná podle matematičky Dany Scottové ), pokud zachovává všechny směrované suprema . To znamená, že pro každé řízené podskupin D z P s supremu v P , jeho obraz má supremum v Q , a že supremum je obraz supremem D , tj , kde se směřuje připojit. Kdy je množina pravdivostních hodnot, tj. Sierpińského prostor , pak Scottovy spojité funkce jsou charakteristické funkce , a tedy Sierpińského prostor je klasifikační topos pro otevřené množiny. ${\ Displaystyle \ sqcup f [D] = f (\ sqcup D)}$ ${\ Displaystyle \ sqcup}$ ${\ displaystyle Q}$

Podskupina O z uspořádaná množina P se nazývá Scott otevření , pokud se jedná o horní sada , a pokud je nepřístupný řízeným připojí , tedy pokud jsou všechny namířené sady D s supremem v O Have neprázdný průnik s O . Scottovy otevřené podmnožiny částečně uspořádané množiny P tvoří topologii na P , Scottovu topologii . Funkce mezi částečně uspořádanými množinami je Scottova spojitá právě tehdy, když je spojitá s ohledem na topologii Scott.

Topologie Scott byla nejprve definována Dana Scottem pro kompletní mříže a později definována pro libovolné částečně uspořádané sady.

Scottovy spojité funkce se projevují při studiu modelů pro lambda kameny a denotační sémantiky počítačových programů.

Vlastnosti

Scottova spojitá funkce je vždy monotónní .

Podskupina řízeného úplného dílčího řádu je uzavřena s ohledem na topologii Scott indukovanou částečným pořadím právě tehdy, pokud je nižší a uzavřená pod suprema směrovaných podskupin.

Směrován kompletní částečné uspořádání (DCPO) s topologií Scott je vždy Kolmogorov prostor (tj splňuje T ₀ separační axiom ). Nicméně dcpo se Scottovou topologií je Hausdorffův prostor právě tehdy, pokud je pořadí triviální. Sady Scott-open tvoří kompletní mřížku, když jsou seřazeny podle zařazení .

Pro jakékoliv Kolmogorov prostor, topologie vyvolává vztah objednávky na tomto prostoru, specializace pořadí : x ≤ y právě tehdy, když každý otevřený sousedství ze x je také otevřená sousedství y . Pořadí pořadí dcpo D lze rekonstruovat ze sad Scott-open jako pořadí specializace indukované Scottovou topologií. Dcpo vybavené Scottovou topologií však nemusí být střízlivé : pořadí specializace vyvolané topologií střízlivého prostoru dělá z tohoto prostoru dppo, ale Scottova topologie odvozená z tohoto řádu je jemnější než původní topologie.

Příklady

Otevřené množiny v daném topologickém prostoru, když jsou uspořádány zařazením, tvoří mřížku, na které lze definovat Scottovu topologii. Podmnožina X z topologického prostoru T je kompaktní s ohledem na topologii na T (v tom smyslu, že každý otevřený kryt z X obsahuje konečný subcover z X ) tehdy a jen tehdy, pokud je sada otevřených čtvrtí z X je otevřená vzhledem k topologie Scott.

Pro CPO , kartézskou uzavřenou kategorii dcpo, jsou dva zvláště pozoruhodné příklady Scottových spojitých funkcí kari a platí .

Nuel Belnap použil Scottovu kontinuitu k rozšíření logických spojek na logiku se čtyřmi hodnotami .

Viz také

Poznámky pod čarou

^ ^a ^b Vickers, Steven (1989). Topologie prostřednictvím logiky . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-36062-3.
^ Scottova topologie v nLab
^ ^a ^b Scott, Dana (1972). „Spojité mříže“. V Lawvere, Bill (ed.). Toposes, algebraická geometrie a logika . Přednášky z matematiky. 274 . Springer-Verlag.
^ ^a ^b ^c ^d Abramsky, S .; Jung, A. (1994). „Teorie domény“ (PDF) . In Abramsky, S .; Gabbay, DM; Maibaum, TSE (eds.). Handbook of Logic in Computer Science . Sv. III. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853762-5. |volume=má další text ( nápověda )
^ ^a ^b Bauer, Andrej & Taylor, Paul (2009). „The Dedekind Reals in Abstract Stone Duality“ . Matematické struktury v informatice . 19 (4): 757–838. CiteSeerX 10.1.1.424.6069 . doi : 10,1017/S0960129509007695 . S2CID 6774320 . Získaný 8. října 2010 .
^ Barendregt, HP (1984). Lambda kalkul . Severní Holandsko. ISBN 978-0-444-87508-2. (Viz věty 1.2.13, 1.2.14)
^ N. Belnap (1975) „How Computers should Think“, strany 30 až 56 v Contemporary Aspects of Philosophy , Gilbert Ryle editor, Oriel Press ISBN 0-85362-161-6

Reference

„Scottova topologie“ . PlanetMath .

[Vickers1989-1] Vickers, Steven (1989). Topologie prostřednictvím logiky . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-36062-3.

[2] Scottova topologie v nLab

[Scott1972-3] Scott, Dana (1972). „Spojité mříže“. V Lawvere, Bill (ed.). Toposes, algebraická geometrie a logika . Přednášky z matematiky. 274 . Springer-Verlag.

[AbramskyJung1994-4] Abramsky, S .; Jung, A. (1994). „Teorie domény“ (PDF) . In Abramsky, S .; Gabbay, DM; Maibaum, TSE (eds.). Handbook of Logic in Computer Science . Sv. III. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853762-5. |volume=má další text ( nápověda )

[BauerTaylor2009-5] Bauer, Andrej & Taylor, Paul (2009). „The Dedekind Reals in Abstract Stone Duality“ . Matematické struktury v informatice . 19 (4): 757–838. CiteSeerX 10.1.1.424.6069 . doi : 10,1017/S0960129509007695 . S2CID 6774320 . Získaný 8. října 2010 .

[6] Barendregt, HP (1984). Lambda kalkul . Severní Holandsko. ISBN 978-0-444-87508-2. (Viz věty 1.2.13, 1.2.14)

[7] N. Belnap (1975) „How Computers should Think“, strany 30 až 56 v Contemporary Aspects of Philosophy , Gilbert Ryle editor, Oriel Press ISBN 0-85362-161-6

Languages

In other projects